題型練10大題綜合練(二)1.在等差數(shù)列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.9=0,2.6=2.2.為了調(diào)查高一新生中女生的體重情況,校衛(wèi)生室隨機(jī)選取20名女生作為樣本測(cè)量她們的體重(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45,(45,50,(50,55,(55,60進(jìn)行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中體重在區(qū)間(45,50上的女生數(shù)與體重在區(qū)間(50,60上的女生數(shù)之比為43.(1)求a,b的值;(2)從樣本中體重在區(qū)間(50,60上的女生中隨機(jī)抽取兩人,求體重在區(qū)間(55,60上的女生至少有一人被抽中的概率.3.如圖,四邊形ABCD為矩形,DA平面ABE,AE=EB=BC=2,BF平面ACE于點(diǎn)F,且點(diǎn)F在CE上. (1)求證:AEBE;(2)求三棱錐D-AEC的體積;(3)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN平面DAE.4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過(guò)點(diǎn)3,12,焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若OAB的面積為267,求直線l的方程.5.(2019江西南昌二模,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax,aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a=34時(shí),證明:x3>f(x).題型練10大題綜合練(二)1.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.當(dāng)n=1,2,3時(shí),12n+35<2,bn=1;當(dāng)n=4,5時(shí),22n+35<3,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時(shí),32n+35<4,bn=3;當(dāng)n=9,10時(shí),42n+35<5,bn=4.所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.2.解(1)樣本中體重在區(qū)間(45,50上的女生有a×5×20=100a(人),樣本中體重在區(qū)間(50,60上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),依題意,有100a=43×100(b+0.02),即a=43×(b+0.02).根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,解得:a=0.08,b=0.04.(2)樣本中體重在區(qū)間(50,55上的女生有0.04×5×20=4人,分別記為A1,A2,A3,A4,體重在區(qū)間(55,60上的女生有0.02×5×20=2人,分別記為B1,B2.從這6名女生中隨機(jī)抽取兩人共有15種情況:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中體重在(55,60上的女生至少有一人共有9種情況:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).記“從樣本中體重在區(qū)間(50,60上的女生隨機(jī)抽取兩人,體重在區(qū)間(55,60上的女生至少有一人被抽中”為事件M,則P(M)=915=35.3.(1)證明AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE,AEBC.又BF平面ACE,BFAE,BCBF=B,AE平面BCE,又BE平面BCE,AEBE.(2)解在ABE中,過(guò)點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H,則EH平面ACD.由已知及(1)得EH=12AB=2,SADC=22.故VD-AEC=VE-ADC=13×22×2=43.(3)解在ABE中過(guò)點(diǎn)M作MGAE交BE于點(diǎn)G,在BEC中,過(guò)點(diǎn)G作GNBC交BC于點(diǎn)N,連接MN,則由CNCE=BGBE=MBAB=13,得CN=13CE.MGAE,MG平面ADE,AE平面AED,MG平面ADE.GNBC,BCAD,GN平面ADE.平面MGN平面ADE.又MN平面MGN,MN平面ADE.當(dāng)點(diǎn)N為線段CE上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),MN平面ADE.4.解(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).又點(diǎn)3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.因此,橢圓C的方程為x24+y2=1.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.(2)設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3,所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.因?yàn)閤0,y0>0,所以x0=2,y0=1.因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).因?yàn)镺AB的面積為267,所以12AB·OP=267,從而AB=427.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2.因?yàn)閤02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,則2x04-45x02+100=0,解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此P的坐標(biāo)為102,22.綜上,直線l的方程為y=-5x+32.5.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,+),f'(x)=1x+a=ax+1x.則當(dāng)a0時(shí),f'(x)0恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)>0,得x<-1a,所以f(x)在區(qū)間0,-1a內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-1a,+內(nèi)單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-1a,單調(diào)遞減區(qū)間為-1a,+.(2)證明當(dāng)x>0時(shí),x-1lnx.所以欲證x3>lnx+34x,只要證x3>(x-1)+34x=74x-1.設(shè)g(x)=x3-74x+1(x>0),則g'(x)=3x2-74.令g'(x)=0,可得x0=723.且當(dāng)x(0,x0)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x(x0,+)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(x)g(x0)=772437783+1=1-77123.因?yàn)?77)2=343<(123)2=432,所以77<123.所以g(x)g(x0)>0,即x3>(x-1)+34x恒成立.所以x3>lnx+34x恒成立,即x3>f(x).