高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
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高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．對于向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中的真命題是 ( )．
A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0
B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，則b＝c
解析 對于A，可舉反例：當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；
對于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
對于D，a·b＝a·c可以移項(xiàng)整理推得a⊥(b－c)．
答案 B
2．如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是 ( )．
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析 2·＝－a2，故A錯(cuò)；2·＝－a2，故B錯(cuò)；
2·＝－a2，故D錯(cuò)，只有C正確．
答案 C
3．空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為 ( )．
A. B. C．－ D．0
解析 因?yàn)?#183;＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－
||||cos〈，〉，
又因?yàn)椤?，〉＝〈，〉＝?
||＝||，所以·＝0，
所以⊥，所以cos〈，〉＝0.
答案 D
4．已知a，b是空間兩個(gè)向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，則cos〈a，b〉＝________．
解析 將|a－b|＝化為(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得
cos〈a，b〉＝.
答案
5．已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
答案?。?3
6．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：
(1)·；(2)·
解 如圖所示，設(shè)＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
綜合提高（限時(shí)25分鐘）
7．已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為 ( )．
A. B．2 C. D.
解析：∵＝＋＋
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1
＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.
答案：D
8．已知a，b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是 ( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 ∵·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴a與b的夾角為60°.
答案 C
9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________．
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×
4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.
答案 －
10．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______．
解析 不妨設(shè)棱長為2，則＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝
0，故填90°.
答案 90°
11．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求證：BD⊥平面ADC.
證明 不妨設(shè)AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°＝××
＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.
12．(創(chuàng)新拓展)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為.
(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長．
(1)證明 ＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC為正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 結(jié)合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝)2＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即側(cè)棱長為2.
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