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2019-2020年高中數(shù)學 2.1.1《橢圓的定義及其標準方程》教案 湘教版選修1-1 一、教材分析 (一)教材所處的地位、內(nèi)容和作用。 本節(jié)內(nèi)容是橢圓的定義及其標準方程，是在學習了曲線與方程、求曲線的方程以及曲線的交點之后展開的，它是繼續(xù)學習橢圓的幾何性質(zhì)和雙曲線、拋物線的定義和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學生自主學習能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。 （二）教學目標 1、知識目標：A識記：① 記住橢圓的定義；② 區(qū)分橢圓的兩種類型的標準方程及其對應(yīng)的圖形；③能根據(jù)a、b、c的值寫出橢圓的標準方程。 B理解：①理解橢圓的焦點、焦距的意義；②會推導橢圓的標準方程；③能掌握a、b、c之間的關(guān)系，會由其中的兩個求出第三個。C掌握：學會運用定義法、待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合等方法解題。 2、能力目標：① 培養(yǎng)學生建立適當坐標系的解析法解題能力。② 鞏固與發(fā)展學生的定義法解題、待定系數(shù)法解題和數(shù)形結(jié)合的解題能力。 3、情感目標：培養(yǎng)學生勇于探索的精神和滲透辯證唯物主義的方法論和認識論。 （三）教學重點、難點 1、教學重點： ①．橢圓的定義； ②．橢圓標準方程的形式與圖形、焦點坐標的對應(yīng)關(guān)系；③根據(jù)條件求橢圓的標準方程。 2、教學難點：① 橢圓標準方程的推導；② 應(yīng)用標準方程的形式與圖形、焦點坐標對應(yīng)關(guān)系解題。 二、學生情況分析 在學習橢圓之前，學生對曲線與方程有了一定的了解；基本能運用求曲線方程的一般方法求曲線的方程。橢圓是常見的圖形，學生對橢圓已有一定的感性認識，例如：行星的運動軌跡等等。 三、教學過程 （一）復(fù)習 同學們，前一段時間我們重點學習了求曲線的軌跡方程的兩種方法，提問：方法一是基本法，其求動點軌跡的一般步驟是什么？；方法二是待定系數(shù)法，其解題步驟又是什么？ （說明：通過回憶性質(zhì)的提問，明示這節(jié)課所要學的內(nèi)容與原來所學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為后面橢圓的標準方程的推導及用待定系數(shù)法求橢圓方程作好準備。） （二）引入 我們曾經(jīng)運用方法一成功地推導出了圓的標準方程，今天我們又要運用這種方法繼續(xù)研究一種特殊曲線的方程?，F(xiàn)在先看一個實例問題（演示行星運行的軌道），請同學們注意觀察地球繞太陽運轉(zhuǎn)的軌跡形狀象什么？ （進一步使學生明確學習橢圓的重要性和必要性，借助地理模型的直觀性，使學生印象加深，以便更好地掌握橢圓的形狀。） （三）新授： 1、引導學生發(fā)現(xiàn)橢圓的定義： 根據(jù)地球繞太陽運轉(zhuǎn)的事例思考：提問：點滿足什么條件運動時形成的軌跡是橢圓呢？讓學生進行分組討論。(平面內(nèi)兩個定點分別是F1和F2，且該兩點之間的距離是2c，點M是平面內(nèi)任意一點，M到兩點F1和F2的距離之和是2a，顯然2a>2c) 提問：滿足上述條件的點M是否只有一個點呢？根據(jù)學生的回答畫點，然后連線，看來并不是只有一個點滿足條件，而是有無數(shù)個點都滿足條件。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)就可以得到滿足條件的所有的點。讓我們來看一看最終可以得到什么圖形?(是一個橢圓) 提問：有什么辦法可以更好的畫橢圓的圖象呢？讓學生在討論后嘗試動筆畫一個橢圓。教師在黑板上根據(jù)定義畫一個橢圓。 2、師生共同歸納概括橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距（一般用2c表示）。 3、橢圓的定義的再認識： 提問：在橢圓的定義中為什么要滿足2a>2c？去掉這個條件可不可以呢？先讓學生思考，討論。 正面直接解決這個問題，顯然比較難，這時我們常采用“正難則反”的思考策略。而其反面是：（1）當2a=2c時，到兩定點距離等于定長的點的軌跡是什么？（2）當2a<2c時，到兩定點距離等于定長的點的軌跡是什么？讓學生自己畫圖歸納，然后自己給學生總結(jié)。由此可知：1、命題“到兩定點距離等于定長的點的軌跡是一個橢圓”是錯誤的。正確的是應(yīng)分三種情況：（1）當2a>2c時，到兩定點距離等于定長的點的軌跡是一個橢圓：（2）當2a=2c時，到兩定點距離等于定長的點的軌跡是一條線段；（3）當2a<2c時，到兩定點距離等于定長的點的軌跡不存在。這恰是同學們今后運用定義解題時應(yīng)當注意的。2、不論M如何移動，三角形MF1F2的周長恒為定值，等于2a+2c. 4、學生推導橢圓的標準方程的過程： 提問：如何求軌跡的方程？（引導學生推導橢圓的標準方程）推導中注意： （1）、推導方程的方法--------求曲線方程的一般方法（用對稱法建立坐標系） （2）、推導方程的難點--------方程的化簡 （要抓住“怎樣消去方程中的根式”這一關(guān)鍵問題，演算雖較繁，也能迎刃而解） （3）推導方程的做法---------以學生分組探索為主、老師點撥為輔完成 （4）如果焦點在 軸上，則焦點為F1（0， ）、F2（0,c），這時只要將方程中 ， 互換就可得到它的方程。 板書：橢圓的標準方程的推導過程。 橢圓的標準方程： （ ） （ ） 5、橢圓的標準方程的再認識： （1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1。 （2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。 （3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（見練習1） （4）橢圓的標準方程中，焦點的位置由分母的大小來確定。 （5）橢圓的標準方程是由三個參數(shù)a、b、c及焦點位置唯一確定，即只要知道三個參數(shù)a、b、c的值，就可以寫出橢圓的標準方程。因此我們需要求橢圓的標準方程時，應(yīng)該運用待定系數(shù)法（其步驟是：先設(shè)方程、再求參數(shù)、最后寫出方程），其關(guān)鍵是求a、b的值。 6、例題精析 （讓學生自己動手） 例1、（1）求出滿足a=4,b=1，焦點在x軸上的橢圓的標準方程。 （2）求出滿足a=4,c= ，焦點在y軸上的橢圓的標準方程。 例2、平面內(nèi)兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點的距離的和是10的點的軌跡方程 例3、已知 DABC的周長為36，求DABC的頂點C的軌跡方程。 7、例題點評： 例1補充說明： 注意橢圓的標準方程的形式書寫，大家應(yīng)熟練掌握兩種形式的標準方程。 例2補充說明： 1、我們是把焦點建立在x軸上從而解決了問題，問可不可以把焦點建立在y軸上呢？ 2、把焦點建立在x軸上或y軸上，這是問題的兩種不同的解法，而不是兩種情況，我們在解題時只需選擇其中之一即可。 3、理解橢圓的定義，熟練地掌握橢圓方程的推導方法（尤其是建立坐標系的方法）是解決本題的關(guān)鍵。 例3補充說明： 1、充分利用橢圓的定義使本題的解法巧妙，計算簡單。否則若設(shè)動點坐標再求軌跡方程時，則方法會比較復(fù)雜。 2、注意三個參數(shù)a、b、c應(yīng)滿足關(guān)系式：a2=b2+c2 3、注意曲線方程的完備性。 （四）課堂練習 1、形成性練習 （1） 指出下列橢圓中a、b、c的值，并說出焦點所在的坐標軸 ① ② （2）若方程 表示焦點在 軸上的橢圓，則 的取值范圍是 _________________。 2、鞏固性練習 （1）已知橢圓 上一點P到一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離是（ ） A、2 B、3 C、5 D、7 （2） 橢圓 的焦距為2，則m的值為（ ） A 5 B 3 C 3或5 D.6 （3）已知DABC的周長為36，AB邊長為10，求DABC頂點C的軌跡方程。 3、發(fā)展性練習 已知P是橢圓 上一點，其中F1，F(xiàn)2為其焦點，且F1PF2=600，求三角形F1PF2的面積。 （五）小結(jié)：（先由學生歸納，教師根據(jù)情況補充。） 本節(jié)課學習了橢圓的定義及標準方程,應(yīng)注意以下幾點: ①橢圓的定義中, ②橢圓的標準方程中,焦點的位置看 , 的分母大小來確定 ③ 、 、 的幾何意義 （六）、作業(yè)布置