2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教案 北師大版選修2-1 知識(shí)與技能目標(biāo)了解平面解析幾何研究的主要問(wèn)題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)方程，研究曲線的性質(zhì)理解雙曲線的范圍、對(duì)稱性及對(duì)稱軸，對(duì)稱中心、離心率、頂點(diǎn)、漸近線的概念；掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)例題和探究了解雙曲線的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進(jìn)一步見(jiàn)識(shí)圓錐曲線的統(tǒng)一定義 過(guò)程與方法目標(biāo)（1）復(fù)習(xí)與引入過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過(guò)對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對(duì)這種研究方法的進(jìn)一步地培養(yǎng)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對(duì)稱性；由圓錐曲線頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)軸、虛軸的概念；應(yīng)用信息技術(shù)的幾何畫板探究雙曲線的漸近線問(wèn)題；類比橢圓通過(guò)的思考問(wèn)題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率板書222雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）新課講授過(guò)程（i）通過(guò)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì)提問(wèn)：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來(lái)研究？通過(guò)對(duì)雙曲線的范圍、對(duì)稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置要從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線及其他特征性質(zhì)來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì) （ii）雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)一步得：，或這說(shuō)明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；對(duì)稱性：由以代，以代和代，且以代這三個(gè)方面來(lái)研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒(méi)有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對(duì)稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)因此雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，由于雙曲線的對(duì)稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對(duì)稱軸叫做虛軸；漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率（）（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展例3 求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是擴(kuò)展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率解法剖析：雙曲線的漸近線方程為焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，點(diǎn)在雙曲線上，無(wú)解；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，點(diǎn)在雙曲線上，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率這個(gè)要進(jìn)行分類討論，但只有一種情形有解，事實(shí)上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長(zhǎng)度量精確到）解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；關(guān)于的近似值，原則上在沒(méi)有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來(lái)決定引申：如圖所示，在處堆放著剛購(gòu)買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場(chǎng)中去鋪墊，已知，能否在足球場(chǎng)上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說(shuō)明理由解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點(diǎn)，則，即（定值），“等距離”線是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為理由略例5 如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)的軌跡方程引申：用幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線若點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程是雙曲線其中定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn)線；另一焦點(diǎn)，相應(yīng)于的準(zhǔn)線： 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)在合作、互動(dòng)的教學(xué)氛圍中，通過(guò)師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動(dòng)實(shí)現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)活動(dòng)情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，充分利用圖形對(duì)稱性，注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認(rèn)同與熟悉：取近似值的兩個(gè)原則：實(shí)際問(wèn)題可以近似計(jì)算，也可以不近似計(jì)算，要求近似計(jì)算的一定要按要求進(jìn)行計(jì)算，并按精確度要求進(jìn)行，沒(méi)有作說(shuō)明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進(jìn)教學(xué)輔助手段的技能 能力目標(biāo)（1） 分析與解決問(wèn)題的能力：通過(guò)學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（2） 思維能力：會(huì)把幾何問(wèn)題化歸成代數(shù)問(wèn)題來(lái)分析，反過(guò)來(lái)會(huì)把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)思考；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問(wèn)題引申到一般性來(lái)研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識(shí)能力（4） 創(chuàng)新意識(shí)能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題的能力，探究解決問(wèn)題的一般的思想、方法和途徑