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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案（3）湘教版選修1-1 教學(xué)目標(biāo) 1、能利用橢圓中的基本量a、b、c、e熟練地求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2、掌握橢圓的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程解一些簡單的問題 3、培養(yǎng)理解能力，知識應(yīng)用能力 教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)回顧 ⑴說出橢圓x2/4＋y2＝1的范圍、長軸長、短軸長、離心率、頂點和焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。 ⑵求中心在原點，過點，一條準(zhǔn)線方程是的橢圓方程。 ⑶我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心（地球的中心）F2為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠(yuǎn)地點B（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面2384km，并且A、B、F2在同一直線上，地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星的運(yùn)行軌道方程（精確到1km）。 分析：幾個概念的理解，坐標(biāo)系的建立，由a＋c，a－c求a、b、c。x2/77832+y2/77222=1 2、探索研究 橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo) 以原點為圓心，分別以a、b(a＞b＞0)為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN⊥Ox，垂足為N，過B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡方程。 解：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y)，φ是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正角。取φ為參數(shù)，則，即 這就是點M的軌跡的參數(shù)方程， 消去參數(shù)φ后得到方程x2/a2＋y2/b2＝1，由此可知點M的軌跡是橢圓。 點評：這道題給出了橢圓的一種畫法。 　　　大家想一想：畫橢圓的方法有幾種？ 3、反思應(yīng)用 例1　 將橢圓方程x2/16＋y2/9＝1化為參數(shù)方程。 例2　在橢圓x2＋8y2＝8上到直線l：x－y＋4＝0距離最短的點的坐標(biāo)是______，最短距離是___。 解一（化歸法）：設(shè)平行于l的橢圓的切線方程為：x－y＋a＝0, 由 消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0 ∴Δ＝4a2―4??9(a2―8)＝0，解得a＝3或a＝－3， 此時或， 與直線l距離較小的切線方程為x－y＋3＝0， 這條切線與直線l的距離為，此時點P(－8/3,1/3) 解二：（參數(shù)法）設(shè)點，則點P到直線l的距離， 其中, 當(dāng)sin(α－θ)＝－1時，d取得最小值，此時,∴點P(－8/3,1/3) 解三：（換元法）設(shè)，則u2＋v2＝8，直線l：， 由解得或（舍），，∴點P(－8/3,1/3) 點P到直線l的最短距離為 例3　已知橢圓x2/25＋y2/16＝1，點P(x,y)是橢圓上一點，⑴求x2＋y2的最大值與最小值；⑵求3x＋5y的范圍；⑶若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，點A的橫坐標(biāo)為5，點C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形ABCD的最大面積。 分析⑴一（消元法）：由x2/25＋y2/16＝1得y2＝16(1－ x2/25),∴x2＋y2＝x2＋16(1－ x2/25)＝16＋9x2/25 ∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16 　　　二（參數(shù)法）：設(shè)x=5cosθ,y=4sinθ,∴x2＋y2=(5cosθ)2+(4sinθ)2=16+9sin2θ, ∴x2＋y2的最大值是25，最小值是16 ⑵方法一：設(shè)x=5cosθ,y=4sinθ,則3x＋5y＝15 cosθ＋20 sinθ＝25 sin(θ+α),∴3x＋5y的范圍是［－25,25］ 方法二：設(shè)t＝3x＋5y，則直線3x＋5y－t＝0與橢圓x2/25＋y2/16＝1有交點 由消去y得：25x2－6tx＋t2－400＝0，∴Δ＝36t2―100(t2―400)≥0,解之得：　　　 t∈［－25,25］，即3x＋5y的范圍是［－25,25］ ⑶由橢圓方程知A(5,0),C(0,4),∴直線AC的方程是4x＋5y－20＝0， 設(shè)B(5cosθ,4sinθ)(0<θ<π/2),D(5cosα,4sinα)(π<α<2π),則點B到直線AC的距離是 ∴四邊形ABCD的最大面積是S＝|AC|(dB+dD)/2＝ 例4　已知橢圓x2＋2y2＝98及點P(0,5)，求點P到橢圓距離的最大值與最小值。 分析：以點P(0,5)為圓心，內(nèi)切于橢圓的圓的半徑為r1，，即為點P到橢圓的最小值；以點P(0,5)為圓心，外切于橢圓的圓的半徑為r1，，即為點P到橢圓的最大值。 解：∵0＋252＜98，∴點P在橢圓的內(nèi)部，設(shè)以點P(0,5)為圓心，與橢圓相切的圓的方程為：x2＋(y－5)2＝r2,將橢圓方程x2＋2y2＝98代入得r2＝98－2y2＋(y－5)2＝－(y＋5)2＋144(－7≤y≤7) ∴當(dāng)y＝－5時，rmax2＝148，即rmax＝ ；當(dāng)y＝7時，rmin2＝4，即rmin＝2。 注意：本題的解法稱為輔助圓法 例5　求定點A(a,0)到橢圓x2＋2y2＝2上的點之間的最短距離。 分析：設(shè)點B(x,y)為橢圓上的任一點，由|AB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋1－x2/2＝(x－2a)2＋1－a2 注意：本題的解法稱為函數(shù)法 隨堂練習(xí) ⑴曲線的參數(shù)方程，則此曲線是（?。? A、橢圓　　　　　B、直線　　　　　　　C、橢圓的一部分　　　　　　D、線段 ⑵把參數(shù)方程，寫成普通方程，并求出離心率，準(zhǔn)線方程。 x2/9＋y2/16＝1，離心率，準(zhǔn)線方程 ⑶已知橢圓的參數(shù)方程，則此橢圓的長軸長是____，短軸長是___。 ，2 4、歸納總結(jié) ? 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、類比的思想、特殊到一般 ? 數(shù)學(xué)方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法 ? 知識點：橢圓的參數(shù)方程、橢圓中的最值問題 5、作業(yè)