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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.2.1《雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程》教案湘教版選修1-1 教學(xué)背景分析 本小節(jié)是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)對(duì)橢圓的定義的類比聯(lián)想，很容易想到研究到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.要充分注意雙曲線定義中“”，“絕對(duì)值”的詞匯的定性描述，正確理解概念，注重思維的嚴(yán)密性.雙曲線定義的理解以及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，三個(gè)量的關(guān)系都可以與橢圓進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，從而理解兩種曲線的聯(lián)系與區(qū)別. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)中類比完成.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是初步研究雙曲線的對(duì)稱性，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，注重方程化簡(jiǎn)過(guò)程中的合理變形.對(duì)于“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上”的證明，有條件的還是需要的，使方程的推導(dǎo)更完備. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)回顧 思考并回答下列問(wèn)題 1、橢圓的定義是什么？ 2、橢圓定義中有哪些注意點(diǎn)？ 3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？ 二、講授新課 1、概念引入 問(wèn)題引入：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化呢？ ①若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線；若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線； ②若，則無(wú)軌跡； ③在條件下軌跡是存在的，我們把這時(shí)得到的軌跡叫做雙曲線. [說(shuō)明]通過(guò)對(duì)橢圓定義的類比，啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)的軌跡的變化規(guī)律.此時(shí)可設(shè)計(jì)探究實(shí)驗(yàn)：學(xué)生用筆、細(xì)繩等工具試驗(yàn)畫(huà)出滿足條件的軌跡圖形（可以讓學(xué)生在上課前做一些實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)備），教師利用多媒體演示（并加以說(shuō)明）.通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度. 2、概念形成 n 雙曲線定義 定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距. n 雙曲線定義中的注意點(diǎn) 在概念的理解中要注意： （1）是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)非零正常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)小于 . （2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支， 時(shí)為雙曲線的另一支. 3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 可以仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 如圖8-12建系，設(shè)，取過(guò)點(diǎn)的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是所求軌跡上的點(diǎn). 依已知條件有，，，， 移項(xiàng)得：， 平方得： （*） 再平方得：， 即，令 則，即 反之：設(shè)是上的點(diǎn)，則， =，， ∴當(dāng)時(shí)， ，，有； 當(dāng)時(shí)，，，有 綜上：焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是①，其中，焦點(diǎn). 同樣如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上(圖8－13)，那么，此時(shí)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？ 焦點(diǎn)是F1(0，－c)、F2(0，c)時(shí)，a、b的意義同上，那么只要將方程①的x、y互換，就可以得到焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中，焦點(diǎn). 思考：將方程推導(dǎo)過(guò)程中的方程（*）做變形可得，即，且，那么其中又蘊(yùn)涵著怎樣的幾何意義呢？ 思考其幾何意義可知，雙曲線上的點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)，這是雙曲線的一個(gè)幾何性質(zhì).反之，如果一個(gè)點(diǎn)滿足，且，即點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線嗎？這個(gè)問(wèn)題留給課后思考. 教學(xué)反思 1、用類比聯(lián)想的方法從橢圓的定義中提出新的問(wèn)題，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？再通過(guò)探究解答問(wèn)題，并提出雙曲線的定義，這樣可以使學(xué)生正確理解雙曲線的概念，并能在學(xué)習(xí)中主動(dòng)加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.特別注意雙曲線定義中“”，“絕對(duì)值”的詞匯的定性描述，當(dāng)沒(méi)有絕對(duì)值時(shí)，通常表示為雙曲線的一支.在問(wèn)題的探究過(guò)程中，可以設(shè)計(jì)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)參與的精神. 2、由于前一節(jié)學(xué)生接觸了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，對(duì)建、設(shè)、列、化、證等步驟有所熟悉，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程可以在教師的引導(dǎo)下由學(xué)生嘗試完成.特別是證明“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上”的過(guò)程可以由師生共同完成，以培養(yǎng)思維、論證的嚴(yán)密性. 3、本解課可以安排兩節(jié)課時(shí)，第一節(jié)主要是理解雙曲線的定義和正確推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.可以完成例1、例3，課后作業(yè)完成1.第二節(jié)課主要是學(xué)習(xí)根據(jù)已知條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用雙曲線的方程解決簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題.完成例2、例4和鞏固練習(xí).課后作業(yè)完成2. 4、運(yùn)用對(duì)比教學(xué)的方法，使學(xué)生區(qū)分橢圓與雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、三個(gè)量的異同.