專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)A 空間向量與立體幾何(時(shí)間：10分鐘35分鐘) 基礎(chǔ)演練夯知識(shí)1. 直線l1的方向向量s1(1，0，2)，直線l2的方向向量s2(1，2，2)，則直線l1，l2所成角的余弦值是()A. B C. D2平面，的法向量分別是 n1(1，1，1)，n2(1，0，1)，則平面，所成銳二面角的余弦值是()A. B C. D3已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則平面ABC的單位法向量是()A±(1，1，1) B± C. ± D. ±4. 已知a，b是兩個(gè)非零的向量，是兩個(gè)平面，下列命題中正確的是()Aab的必要條件是a，b是共面向量 Ba，b是共面向量，則abC. a，b，則 D. a，b，則a，b不是共面向量5若ab，ac，lb c(，R)，ma，則m與l一定()A共線 B相交 C. 垂直 D不共面提升訓(xùn)練強(qiáng)能力圖14­16. 如圖14­1所示，三棱錐A­BCD的棱長全相等，E為AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為()A. B.C. D.7. 在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為()A. B. C. D8. 對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有xyz(x，y，zR)，則x2，y3，z2是P，A，B，C四點(diǎn)共面的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C. 充要條件 D既不充分又不必要條件圖14­29如圖14­2, 在長方體ABCD­A1B1C1D1中，體對(duì)角線B1D與平面A1BC1相交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為A1BC1的()A垂心 B內(nèi)心C外心 D重心10考慮向量m(a，b，0)，n(c，d，1)，其中a2b2c2d21.如下說法中正確的有_(寫出所有正確說法的編號(hào))向量n與z軸正方向的夾角恒為定值(即與c，d值無關(guān))；m·n的最大值為；m，n(m，n的夾角)的最大值為；adbc的值可能為；若定義u×v|u|·|v|sinu，v，則|m×n|的最大值為.11. 如圖14­3，在四棱錐P14­3ABCD中，底面ABCD為菱形，ABC60°，PA底面ABCD，AB2PA，E為BC的中點(diǎn)(1)求證：ADPE；(2)求平面APE與平面PCD所成銳二面角的余弦值圖14­312如圖14­4所示，E是以AB為直徑的半圓O上異于A，B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且AB2AD2a.(1)求證：EAEC；(2)若異面直線AE和DC所成的角為，求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值圖14­413如圖14­5，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)(1)證明：D1EA1D；(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； (3)AE等于何值時(shí)，二面角D1­EC­D的大小為？圖14­5 14如圖14­6，平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面，點(diǎn)C為AB上的點(diǎn)， 點(diǎn)M為BC中點(diǎn)(1)求證：B1M平面O1AC；(2)若ABAA1，CAB30°，求二面角C­AO1­B的余弦值圖14­6專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)B 空間向量與立體幾何(時(shí)間：10分鐘35分鐘) 基礎(chǔ)演練夯知識(shí)1如圖14­7所示，三棱錐P­ABC中，ACB90°，PA底面ABC.(1)求證：平面PAC平面PBC；(2)若ACBCPA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值圖14­72如圖14­8所示，在四棱錐P­ABCD中，四邊形ABCD是正方形，CDPD，ADP90°，CDP120°，E，F(xiàn)，G分別為PB，BC，AP的中點(diǎn)(1)求證：平面EFG平面PCD；(2)求二面角D ­EF­B的平面角的大小圖14­8提升訓(xùn)練強(qiáng)能力3如圖14­9所示，已知菱形ABCD的邊長為6，BAD60°，ACBDO，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD3，得到三棱錐B ­ACD.(1)若M是BC的中點(diǎn)，求證：在三棱錐B­ACD中，直線OM與平面ABD平行；(2)求二面角A­BD­O的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)N是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定N點(diǎn)的位置，使得CN4.圖14­94如圖14­10所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABADCD2，點(diǎn)M在EC上，且不與E，C重合(1)當(dāng)點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BM平面ADEF；(2)當(dāng)平面BDM與平面ABF所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M ­BDE的體積圖14­105如圖14­11所示，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，CDE是邊長為2的等邊三角形，AB5.沿CE將BCE折起，使B至B處，且BCDE，然后再將ADE沿DE折起，使A至A處，且平面ADE平面CDE.BCE和ADE在平面CDE的同側(cè)(1)求證：BC平面CDE；(2)求平面BAD與平面CDE所成的銳二面角的余弦值 圖14­11專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)A【基礎(chǔ)演練】1A解析 cos s1，s2，故直線l1，l2所成角的余弦值是.2C解析 cos n1，n2，故平面，所成的銳二面角的余弦值是.3C 解析 易得平面ABC的一個(gè)法向量是(1，1，1)，單位化得±.4A解析 選項(xiàng)B中，a，b共面不一定平行；選項(xiàng)C中，根據(jù)a，b不能得出，的關(guān)系；選項(xiàng)D中，a，b可能共面5C解析 因?yàn)閙a，所以ma，m·la·a·ba·c0，故ml.【提升訓(xùn)練】6A解析 設(shè)棱長為a，則|a，·()·()，所以cos，所以直線CE與BD所成角的余弦值為.7B解析 設(shè)正方體棱長為1 ，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D，E，A，C，所以，所以cos ，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為.8B解析 當(dāng)x2，y3，z2時(shí)，232，則23()2()，即32，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之當(dāng)P，A，B，C四點(diǎn)共面時(shí)，有mn，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，這組數(shù)顯然不止2，3，2.故是充分不必要條件9D解析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DAa，DCb，DD1c，則A1(a，0，c)，B(a，b，0)，C1(0，b，c)，B1(a，b，c)，因此()由點(diǎn)E在直線DB1上得：存在實(shí)數(shù)，使得，又點(diǎn)E在平面A1BC1上，所以1，即，因此點(diǎn)E為A1BC1的重心10解析 z軸正方向上的單位向量為k(0，0，1)，因此cosn，k，正確；m·nacbd(a2c2)(b2d2)1，錯(cuò)；|cosm，n|，當(dāng)m(1，0，0)，n(1，0，1)時(shí)，cosm，n，正確；由|ad|，|bc|得adbc1，錯(cuò)；由知m，n，得|m×n|1××sinm，n，正確11解： (1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ABC60°，且E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.又BCAD，所以AEAD.又PA底面ABCD，所以PAAD.于是AD平面PAE，進(jìn)而可得ADPE.(2)分別以AE，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP1，則P(0，0，1)，E(，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)顯然，平面APE的一個(gè)法向量為n(0，1，0)，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為m(1，y，z)，則由解得m(1，2)所以cosm，n.故平面APE與平面PCD所成銳二面角的余弦值為.12解： (1)證明：平面ABCD垂直于圓O所在的平面，兩平面的交線為AB，BC平面ABCD，BCAB，BC垂直于圓O所在的平面又EA在圓O所在的平面內(nèi)，BCEA.AEB是直角，BEEA，EA平面EBC，EAEC.(2) 如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為y軸，過點(diǎn)O與BC平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.由異面直線AE和DC所成的角為，ABDC知BAE，BOE，E，由題設(shè)可知C(0，a，a)，D(0，a，a)，.設(shè)平面DCE的一個(gè)法向量為p(x0，y0，z0)，由·p0，·p0得z0x0，y00，取x02，得z0.p(2，0，)又平面AEB的一個(gè)法向量為q(0，0，1)，cosp，q.平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值為.13解： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AEx，則A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)(1)因?yàn)?#183;(1，0，1)·(1，x，1)0，所以，即D1EA1D.(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(1，1，0)，從而(1，1，1)，(1，2，0)，(1，0，1)，設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n(a，b，c)，則也即得取a2，則n(2，1，2)，所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h. (3)設(shè)平面D1EC的一個(gè)法向量為n(a，b，c)，(1，x2，0)，(0，2，1)，由令b1，c2，a2x，n(2x，1，2)又平面ECD的一個(gè)法向量為(0，0，1)，依題意cos.x12(舍去)，x22.AE2時(shí)，二面角D1­EC­D的大小為. 14解： (1)證明：連接OB1，OM，O1B1AB且O1B1ABOA.四邊形AOB1O1為平行四邊形，OB1AO1.M，O分別為BC，AB的中點(diǎn)，OMAC.由平面OMB1平面O1AC.又B1M平面OMB1.B1M平面O1AC.(2)方法一：過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，過點(diǎn)D作DEO1A，垂足為E，連接CE.BB1平面ABC，CD平面ABC，BB1CD.注意到ABBB1B，CD平面ABB1A1，CDAO1，AO1平面CDE，CEAO1，故CED即為二面角C­AO1­B的平面角令A(yù)B2a，在RtCDE中，CDa，DEa，CEa.cosCED.方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABAA14a，CAB30°，ACB90°，A(0，2a，0)，C(a，a，0)，O1(0，0，4a)設(shè)平面AO1C的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，(0，2a，4a)，(a，3a，0)由n與n取y1，則x，z，n.平面ABB1A1的一個(gè)法向量為m(1，0，0)，|cosn，m|.即二面角C­AO1­B的余弦值為.專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)B1解：(1)因?yàn)镻A底面ABC，所以BCPA.又因?yàn)锳CB90°，即BCAC.因?yàn)镻AACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.又BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.(2)取PC中點(diǎn)D，連接AD，DM，則ADPC.又平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，所以AD平面PBC.則AMD就是AM與平面PBC所成的角設(shè)ACBCPAa，則ADa，DMBCa，所以tanAMD.2解：(1)因?yàn)镋，G分別為BP，AP中點(diǎn)，所以EGAB.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ABCD，所以EGCD，所以EG平面PCD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BP，BC中點(diǎn)，所以EFPC，所以EF平面PCD.又因?yàn)镋FEGE.所以平面EFG平面PCD.(2)方法一：易知ADCD，又ADPD，故AD平面PCD.故以D為原點(diǎn)DC，DA為x軸、z軸，垂直于平面ABCD的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)不妨設(shè)ADCDPD2，則B(2，0，2)，F(xiàn)(2，0，1)，P(1，0)，所以E，(0，0，1)，.設(shè)m(x1，y1，z1)是平面BEF的法向量，則所以令x11，則y1，z10，即m(1，0)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面DEF的法向量，則所以令x21，則y2，z22，即n(1，3，2)設(shè)二面角D­EF­B的平面角的大小為，cosm，n.由圖可知，cos ，故面角D­EF­B的平面角的大小為.方法二：設(shè)PC的中點(diǎn)為M，連接EM，DM，則EMBC，又AD平面PCD，ADBC，所以BC平面PCD，所以EM平面PCD，所以EMDM，EMPC.因?yàn)镃DDP，則DMPC，又EMPCM，所以DM平面PCB.又因?yàn)镋FPC，所以EFEM所以DEM就是二面角D­EF­B的平面角的補(bǔ)角不妨設(shè)ADCDPD2，則EM1，DM1，所以DEM.所以二面角D­EF­B的平面角的大小為，3解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M是ABC的中位線，OMAB.因?yàn)镺M平面ABD，AB平面ABD，所以O(shè)M平面ABD.(2)由題意可知，OBOD3.因?yàn)锽D3，所以BOD90°，OBOD，又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以O(shè)BAC，ODAC.建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz，如圖所示，則A(3，0，0)，D(0，3，0)，B(0，0，3)，所以(3，0，3)，(3，3，0)設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y，z，所以n(1，)因?yàn)锳COB，ACOD，所以AC平面BOD，平面BOD的法向量與AC平行，所以平面BOD的一個(gè)法向量為n0(1，0，0)，cosn0，n.因?yàn)槎娼茿­BD­O是銳角，所以二面角A­BD­O的余弦值為.(3)設(shè)N(x1，y1，z1)因?yàn)镹是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，即(x1，y1，z13)(0，3，3)，所以x10，y13，z133，則N(0，3，33)，(3，3，33)由CN4，得4，即92920，解得或，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1，2)或(0，2，1)4解：(1)證明：以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，M(0，2，1)，(2，0，1)，平面ADEF的一個(gè)法向量(0，4，0)·0，即BM平面ADEF.(2)依題意設(shè)M(0<t<4)設(shè)平面BDM的法向量為n1(x，y，z)，則·n12x2y0，·n1tyz0.令y1，則n.平面ABF的一個(gè)法向量為n2(1，0，0)|cosn1，n2|，解得t2，M(0，2，1)為EC的中點(diǎn)，SDEMSCDE2，又B到平面DEM的距離h2.V三棱錐M­BDESDEM·h.5解：(1)證明：在直角梯形ABCD中，可算得AD，BC2，CE2，EB4.根據(jù)勾股定理可得BCEC，即BCEC，又BCDE，DECEE，所以BC平面CDE；(2)以C為原點(diǎn)，CE為y軸，CB為z軸，垂直于平面BCE的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則C(0，0，0)，B(0，0，2)，D(，1，0)，E(0，2，0)作AHDE并交DE于點(diǎn)H.因?yàn)槠矫鍭DE不面CDE，易知AH平面CDE，且AH，所以H，所以A.易知平面CDE的法向量為n1(0，0，1)設(shè)平面PAD的法向量為n2(x，y，z)又，.所以令z，則x，y2，所以n2.故cosn1，n2.故所求平面BAD與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為.