剛體：剛體：形狀和大小都不變的物體。形狀和大小都不變的物體。第第 三三 章章剛體和流體的運(yùn)動(dòng)剛體和流體的運(yùn)動(dòng) 實(shí)質(zhì)上可以把實(shí)質(zhì)上可以把剛體剛體看作是看作是質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布的的且任意兩質(zhì)量元之間且任意兩質(zhì)量元之間距離保持不變距離保持不變的的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系。最基本的運(yùn)動(dòng)形式：最基本的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)3-1 3-1 剛體模型及其運(yùn)動(dòng)剛體模型及其運(yùn)動(dòng)一、剛體的基本運(yùn)動(dòng)一、剛體的基本運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)始終保持平行。兩點(diǎn)的連線(xiàn)始終保持平行?？梢杂觅|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)處理剛體的方法來(lái)處理剛體的平動(dòng)問(wèn)題。的平動(dòng)問(wèn)題。注：注：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線(xiàn)做圓周運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線(xiàn)做圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng).剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+3-2 3-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩一、對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩1 1、力矩的大小、力矩的大小FrdM=F d=F r sin換個(gè)角度！換個(gè)角度！M使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M與與F、r、有關(guān)有關(guān)M 合合=F合合 r sin=M i若力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則若力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則F轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸F/對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)2 2、力矩的矢量式、力矩的矢量式zd大小和方向？大小和方向？F1轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)二、角速度的矢量性二、角速度的矢量性 角加速度角加速度一般情況：規(guī)定一般情況：規(guī)定方向：方向：由右手螺旋法則確定由右手螺旋法則確定大?。捍笮。壕€(xiàn)速度與角速度之間的關(guān)系：線(xiàn)速度與角速度之間的關(guān)系：角加速度矢量：角加速度矢量：方向呢？方向呢？其方向與其方向與 方向一致方向一致 也就是與也就是與 增加方向一致增加方向一致討論：當(dāng)討論：當(dāng) 隨時(shí)間隨時(shí)間 增大時(shí)增大時(shí)當(dāng)當(dāng) 隨時(shí)間隨時(shí)間 減小時(shí)減小時(shí)增大增大減小減小勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 miz三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系合外力矩：合外力矩：合外力矩：合外力矩：合內(nèi)力矩：合內(nèi)力矩：合內(nèi)力矩：合內(nèi)力矩：加速度：加速度：加速度：加速度：其中：其中：其中：其中：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：miz mi 力使物體產(chǎn)生加速度，力矩改變剛體的轉(zhuǎn)力使物體產(chǎn)生加速度，力矩改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度！動(dòng)狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度！討論：討論：（1）物理意義：）物理意義：（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中：）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中：Mz=J M有正負(fù)有正負(fù)（3）=0，=0（是恒矢量）是恒矢量）勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) =恒矢量，恒矢量，=恒矢量恒矢量 勻變角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變角速轉(zhuǎn)動(dòng) 恒矢量，恒矢量，恒矢量恒矢量 變角速轉(zhuǎn)動(dòng)變角速轉(zhuǎn)動(dòng)四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J J2 2、物理含義：、物理含義：出現(xiàn)一次：出現(xiàn)一次：Jm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度1 1、定義：、定義：或或3 3、影響因素、影響因素到轉(zhuǎn)軸的垂直距離到轉(zhuǎn)軸的垂直距離與剛體的與剛體的形狀、體積、密度、轉(zhuǎn)軸形狀、體積、密度、轉(zhuǎn)軸有關(guān)。有關(guān)。J決定于剛體各部分的質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布情況決定于剛體各部分的質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布情況4 4、計(jì)算方法、計(jì)算方法 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或或 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量元：質(zhì)量元2 對(duì)質(zhì)量線(xiàn)分布的剛體：對(duì)質(zhì)量線(xiàn)分布的剛體：質(zhì)量線(xiàn)密度：質(zhì)量線(xiàn)密度2 對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度2 對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度oxzdxdmx解解:(1)選質(zhì)元選質(zhì)元 dm 如圖所示如圖所示例例1:1:均勻細(xì)棒均勻細(xì)棒,質(zhì)量為質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 l求求(1)通過(guò)棒的通過(guò)棒的質(zhì)心質(zhì)心與棒垂直的軸的與棒垂直的軸的J (2)通過(guò)棒的通過(guò)棒的端點(diǎn)端點(diǎn)與棒垂直的軸的與棒垂直的軸的Joxzdxdmx(2)選質(zhì)元選質(zhì)元dm如圖所示如圖所示同一剛體同一剛體,不同轉(zhuǎn)軸的兩不同轉(zhuǎn)軸的兩J有聯(lián)系嗎有聯(lián)系嗎?mR R R RJ Jz z（2 2）平行軸定理）平行軸定理 若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J Jc c，則對(duì)則對(duì)與該軸相距為與該軸相距為d d的平行軸的平行軸z z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J Jz z是是J Jc c兩轉(zhuǎn)軸距離兩轉(zhuǎn)軸距離 l/2以轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的以轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心的J最小最小!d例例例例2 2 2 2、一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m，長(zhǎng)為長(zhǎng)為l l的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在o o點(diǎn)，距點(diǎn)，距A A端端l l/3/3。今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞今使棒從靜止開(kāi)始由水平位置繞o o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2 2）垂直）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。位置時(shí)的角速度和角加速度。解：解：coBA（1 1）dmgcoBA（2 2 2 2）mg 例題例題3:求下列剛體的求下列剛體的J。已知已知 m,R（1）質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與環(huán)）質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與環(huán)面垂直面垂直（2）質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與盤(pán)）質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與盤(pán)面垂直面垂直（3）質(zhì)量均勻分布的圓球，轉(zhuǎn)軸沿直徑）質(zhì)量均勻分布的圓球，轉(zhuǎn)軸沿直徑解：解：解：選質(zhì)元解：選質(zhì)元dm如圖所示如圖所示ordrR（2）質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與）質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)，轉(zhuǎn)軸過(guò)中心與盤(pán)面垂直盤(pán)面垂直yRodyry（3）質(zhì)量均勻分布的圓球，轉(zhuǎn)軸沿直徑）質(zhì)量均勻分布的圓球，轉(zhuǎn)軸沿直徑解：選質(zhì)元解：選質(zhì)元dm如圖所示如圖所示例例4：一細(xì)繩跨過(guò)定滑輪，在繩的兩端各懸質(zhì)量為：一細(xì)繩跨過(guò)定滑輪，在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和和m2的物體，其中的物體，其中m1m2,求它們求它們 的加速度及的加速度及繩兩端的張力繩兩端的張力T1和和T2(滑輪質(zhì)量為滑輪質(zhì)量為m半徑為半徑為R)解解:分別隔離分別隔離m1、m2和滑輪和滑輪分析受力分析受力mm1m2mm1mm2R以運(yùn)動(dòng)方向作為正向：以運(yùn)動(dòng)方向作為正向：對(duì)于對(duì)于m2：對(duì)于滑輪：對(duì)于滑輪：又繩和又繩和滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) 則：則：對(duì)于對(duì)于m1：mm1mm2Rm2m1m解得：解得：例例5 5、質(zhì)量為質(zhì)量為M=16kgM=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R=0.15mR=0.15m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m m的物體。求的物體。求（1 1）由靜止開(kāi)始）由靜止開(kāi)始1 1秒鐘后，物體下降的距離。秒鐘后，物體下降的距離。（2 2）繩子的張力。）繩子的張力。解：解：mMma例例例例6 6 6 6、一半徑為一半徑為R R，質(zhì)量為質(zhì)量為m m的均勻圓盤(pán)平放在粗糙的的均勻圓盤(pán)平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為水平面上。若它的初速度為 o o，繞中繞中o o心旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)心旋轉(zhuǎn)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤(pán)才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為）oRRdrdrr r解：解：解：解：例例7 7、計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量、計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為為m m，半徑為半徑為r r，擺桿質(zhì)量也為擺桿質(zhì)量也為m m，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2r2r）ro解：解：解：解：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：