成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 選修2-1,常用邏輯用語(yǔ),第一章,1.2 充分條件與必要條件,第一章,1當(dāng)命題“如果p，則q”經(jīng)過(guò)推理證明斷定是真命題時(shí)，我們就說(shuō)由p成立可推出q成立，記作_，讀作_. 2如果pq，則p叫作q的_條件 3如果qp，則p叫作q的_條件 4如果既有pq成立，又有qp成立，記作_，則p叫作q的_條件,pq,p推出q,充分,必要,pq,充要,1對(duì)充分條件的理解 (1)“p是q的充分條件”的等價(jià)說(shuō)法有： “若p，則q”為真； pq； q是p的必要條件 (2)充分條件是某一個(gè)結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，當(dāng)命題具備此條件時(shí)，就可以得出此結(jié)論；或要使此結(jié)論成立，只要具備此條件就足夠了，當(dāng)命題不具備此條件時(shí)，結(jié)論也有可能成立例如x6x236，但是當(dāng)x6時(shí)，x236也可以成立，“x6”也是“x236成立”的充分條件,2對(duì)必要條件的理解 (1)必要條件是在充分條件的基上得出的，真命題“若p，則q”的條件p是結(jié)論q的充分條件，同時(shí)，結(jié)論q是條件p的必要條件，所以“p是q的必要條件”的等價(jià)說(shuō)法：“若q，則p”為真；qp；q是p的充分條件,(2)借助于電路圖理解必要條件：如圖，當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí)，燈泡B不一定亮，但是當(dāng)開(kāi)關(guān)A不閉合時(shí)，燈泡B一定不亮；當(dāng)燈泡B亮?xí)r，可以知道開(kāi)關(guān)A一定是閉合的；所以要使燈泡B亮，開(kāi)關(guān)A必須是閉合的，我們稱開(kāi)關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要條件,3從集合的觀點(diǎn)上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的判定： 首先建立與p、q相應(yīng)的集合，即p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x).,4.判斷充分條件與必要條件的基本思路： (1)首先分清楚條件是什么，結(jié)論是什么； (2)然后嘗試用條件推結(jié)論，或用結(jié)論推條件(舉反例說(shuō)明其不成立是常用的推理方法)； (3)最后再指出條件是結(jié)論的什么條件 事實(shí)上，p是q的充分條件，就是條件p足以能保證結(jié)論q成立這種情況下，也可以理解為：條件p成立，必有q成立，說(shuō)明對(duì)p來(lái)說(shuō)，q是必要的，所以q是p的必要條件由此可見(jiàn)，判斷充分條件或者必要條件實(shí)質(zhì)上就是要判斷命題“若p，則q”(或者其逆命題)的真假，即判斷條件A能否推出B(或者條件B能否推出A),5一般地，關(guān)于充要條件的判斷主要有以下幾種方法： (1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷 (2)等價(jià)法：“pq”表示p等價(jià)于q，等價(jià)命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們要證明p成立時(shí)，就可以去證明q成立這里要注意“原命題逆否命題”、“否命題逆命題”只是等價(jià)形式之一，對(duì)于條件或結(jié)論是不等式關(guān)系(否定式)的命題一般應(yīng)用等價(jià)法 (3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件p和結(jié)論q都是集合，那么若pq，則p是q的充分條件；若pq，則p是q的必要條件；若pq，則p是q的充要條件,1“x22 013”是“x22 012”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 答案 A 解析 x22 013的條件下可以推出x22 012，但x22 012不能推出x22 013，所以x22 013是x22 012的充分不必要條件,2設(shè)an是等比數(shù)列，則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 答案 C 解析 等比數(shù)列中“a1a2a3”可以推出公比q1，故an為遞增數(shù)列；反之，an為遞增的等比數(shù)列，一定會(huì)有a1a2a3，所以是充分必要條件,3函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是( ) Am2 Bm2 Cm1 Dm1 答案 A,答案 D 解析 ab，則需2(x1)20，解得x0，反之，x0時(shí)，1220，ab,判斷下列各命題中，p是q的什么條件？ (1)p：x20，q：(x2)(x3)0； (2)p：t2，q：t24. (3)p：0x3；q：|x1|2； (4)p：ABC為直角三角形；q：ABC為等腰三角形； (5)p：ABS，q：SBSA 分析 先判定“若p則q”、“若q則p”的真假，再得兩者之間關(guān)系即可，也可從集合的角度入手,充分條件、必要條件、充要條件的判定,總結(jié)反思 1.判斷p是q的什么條件其實(shí)質(zhì)是判斷“若p則q”及其逆命題“若q則p”是真是假，原命題為真而逆命題為假，則p是q的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；原命題、逆命題均為假，則p是q的既不充分也不必要條件 2判斷p是q的什么條件，應(yīng)掌握幾種常用的判斷方法 (1)定義法；(2)集合法；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法；(4)傳遞法有時(shí)借助數(shù)軸、韋恩圖、集合等知識(shí)形象、直觀的特點(diǎn)或舉反例，賦特殊值對(duì)判斷各條件之間的推斷關(guān)系常常起到事半功倍的效果,(1)“x0”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件,(2)(2014浙江文)設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件,(3)設(shè)集合AxR|x20，BxR|x0，則“xAB”是“xC”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 答案 (1)A (2)A (3)C,解析 (1)本題主要考查充要條件的判定 由“x0”，但“x210”時(shí)，x1或x0”的充分而不必要條件，選A (2)該題考查充要條件的判斷與菱形的幾何性質(zhì)菱形的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形,(3)本題考查了集合的運(yùn)算與邏輯語(yǔ)言的充分必要條件的運(yùn)用 AxR|x20，BxR|x2， Cx|x(x2)0 x|x2， ABC， xAB是xC的充要條件,求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0. 分析 第一步，審題，分清條件與結(jié)論： “p是q的充要條件”中p是條件，q是結(jié)論；“p的充要條件是q”中，p是結(jié)論，q是條件本題中條件是“abc0”，結(jié)論是“關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1” 第二步，建聯(lián)系確定解題步驟 分別證明“充分性”與“必要性”，先證充分性：“條件結(jié)論”；再證必要性：“結(jié)論條件” 第三步，規(guī)范解答,充要條件的證明,證明 必要性： 關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1， x1滿足方程ax2bxc0. a12b1c0，即abc0. 充分性： abc0， cab，代入方程ax2bxc0中可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0. 因此，方程有一個(gè)根為x1. 故關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0.,總結(jié)反思 一般地，證明“p成立的充要條件為q”時(shí)，在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即qp；證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即pq.,證明一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,所以方程ax2bxc0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào) 即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根 綜上可知：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,用集合法判斷充分條件與必要條件,分析 對(duì)p、q所對(duì)應(yīng)的集合A、B若AB，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若BA，則p是q的必要條件；若BA，則p是q的必要不充分條件；若AB，則p、q互為充要條件,已知p：x2x60和q：mx10，且p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的值 解析 p：xx|x2x60即p：x2，3 q：xx|mx10 p是q的必要不充分條件 x|mx102，3 當(dāng)x|mx10時(shí)成立，即m0.,利用充要條件求解參數(shù),已知條件p：Ax|x2(a1)xa0，條件q：Bx|x23x20，當(dāng)a為何值時(shí)， (1)p是q的充分不必要條件； (2)p是q的必要不充分條件； (3)p是q的充要條件 分析 用條件的充分性、必要性確定范圍，一般轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系,解析 由p：Ax|(x1)(xa)0， 由q：B1,2 (1)p是q的充分不必要條件，AB且AB， 當(dāng)A1時(shí)，a1； 當(dāng)A1，a時(shí)，12a2. (3)p是q的充要條件，ABa2. 總結(jié)反思 當(dāng)命題的形式是集合時(shí)，其充分條件和必要條件的判定，就是集合包含關(guān)系的判定,使不等式x30成立的一個(gè)充分不必要條件是( ) Ax3 Bx4 Cx2 Dx1,2,3,如果a、b、cR，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 誤解 判別式b24ac0，即方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根，則判別式b24ac0，即b24aC綜上可知“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的充要條件，選C 正解 B,迷津點(diǎn)撥 判別式b24ac只適用于一元二次方程的實(shí)數(shù)根存在情況的判斷，對(duì)于方程ax2bxc0，當(dāng)a0時(shí)，原方程為一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判別式，所以當(dāng)b24ac時(shí)不能推出方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根；若方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根，則它的判別式b24ac0，即b24aC由上可知，“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要不充分條件,