專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)附加題部分(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第107頁)(限時(shí)：120分鐘)1(本小題滿分10分)(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：(t為參數(shù))，與曲線C：(k為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長解法一：直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x3y4，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y24x.4分聯(lián)立方程組解得或所以A(4,4)，B.所以AB.10分法二：將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y24x.直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得24，即4t215t250，8分所以t1t2，t1t2.所以AB|t1t2|.10分2(本小題滿分10分)(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解(1)224，所以x2y24；因?yàn)?2cos2，2分所以222，所以x2y22x2y20.6分(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.8分化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sin.10分3(本小題滿分10分)(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)設(shè)nN*，f (n)3n7n2.(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)n，f (n)是8的倍數(shù)解(1)代入求出f (1)8，f (2)56，f (3)368.2分(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，f (1)8是8的倍數(shù)，命題成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即f (k)3k7k2是8的倍數(shù)，那么當(dāng)nk1時(shí)，f (k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1)， 6分因?yàn)?k1是偶數(shù)，所以4(7k1)是8的倍數(shù)，又由歸納假設(shè)知3(3k7k2)是8的倍數(shù)，所以f (k1)是8的倍數(shù)，所以當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立根據(jù)知命題對(duì)任意nN*成立.10分4(本小題滿分10分)利用二項(xiàng)式定理證明：當(dāng)nN*時(shí)，32n28n9能被64整除解32n28n99n18n9(81)n18n98n1C·8nC·8n1C·82C·818n982·(8n1C·8n2C·8n3C)，6分而8n1C·8n2C·8n3CN*，所以32n28n9能被64整除.10分5(本小題滿分10分)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394086】證明a，b，c為正實(shí)數(shù)，a2b，b2c，c2a，4分將上面三個(gè)式子相加得：abc2a2b2c，abc.10分6(本小題滿分10分)(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè))已知函數(shù)f (x)|x1|x|a.(1)若不等式f (x)0的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若方程f (x)x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)令g(x)|x1|x|，則f (x)0的解集為空集g(x)a的解集為空集g(x)a恒成立，g(x)|x1|x|，作出函數(shù)g(x)的圖象，由圖可知，函數(shù)g(x)的最大值為g(x)max1，所以a1，即a1.5分綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，1)(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)g(x)|x1|x|圖象和yx的圖象如圖所示，由題意可知，把函數(shù)yg(x)的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)(不包括1個(gè)單位)與yx的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而1a0.10分7(本小題滿分10分)(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)如圖119，已知ABC內(nèi)接于O，連接AO并延長交O于點(diǎn)D，ACBADC.求證：AD·BC2AC·CD.圖119證明ACBADC，AD是O的直徑，AD垂直平分BC，設(shè)垂足為E(圖略)，ACBEDC，ACDCED，ACDCED，6分，AD·BCAC·CD，AD·BC2AC·CD.10分8(本小題滿分10分)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)如圖1110，直線DE切圓O于點(diǎn)D，直線EO交圓O于A，B兩點(diǎn)，DCOB于點(diǎn)C，且DE2BE，求證：2OC3BC.圖1110證明連接OD，設(shè)圓的半徑為R，BEx，則ODR，DE2BE2x，RtODE中，DCOB，OD2OC·OE，R2OC(Rx)，4分直線DE切圓O于點(diǎn)D，DE2BE·AE，4x2x(2Rx)，x，8分代入，解得OC，BCOBOC，2OC3BC.10分9(本小題滿分10分)(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)已知向量是矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3,3)，求矩陣A.解設(shè)A，因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值1的一個(gè)特征向量，所以(1).所以6分因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3,3)，所以.所以8分解得a1，b2，c2，d1，所以A.10分10(本小題滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)已知為矩陣A屬于的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，的值及A2.解由條件可知，解得a2.6分因此A，所以A2.10分11(本小題滿分10分)(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)某樂隊(duì)參加一戶外音樂節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱(1)求該樂隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a(a為常數(shù))，演唱一首經(jīng)典歌曲觀眾與樂隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a，求觀眾與樂隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和X的概率分布及數(shù)學(xué)期望. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394087】解(1)設(shè)“該樂隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲”的事件為A，則P(A)1P()1.4分(2)由題意可得：X5a,6a,7a,8a.P(X5a)，P(X6a)，6分P(X7a)，P(X8a).X5a6a7a8aPE(X)5a×6a×7a×8a×a.10分12(本小題滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在一次游戲中摸出3個(gè)白球的概率；(2)在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望解(1)記“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i0,1,2,3)則P(A3).故在一次游戲中摸出3個(gè)白球的概率為.4分(2)獲獎(jiǎng)的概率為P(A2A3)P(A2)P(A3).X的所有可能取值為0,1,2.P(X0)×，P(X1)C×，P(X2)×.8分X的分布列為X012P故X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×.10分(或：XB，E(X)2×，同樣給分)13(本小題滿分10分)(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖1111，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQBB1(0)圖1111(1)若，求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)的值解以，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)因?yàn)?1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP與AQ所成角的余弦值為.4分(2)由題意可知，(0,0,2)，(2,0,2)設(shè)平面APQ的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x2，y2.所以n(2，2，2).7分又因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成角為45°，所以|cosn，|，可得5240，又因?yàn)?，所以.10分14(本小題滿分10分)(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖1112，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90°，ADAP4，ABBC2，M為PC的中點(diǎn). 圖1112(1)求異面直線AP，BM所成角的余弦值；(2)點(diǎn)N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值解(1)因?yàn)镻A平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，又因?yàn)锽AD90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則由AD2AB2BC4，PA4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(1,1,2)所以(1,1,2)，(0,0,4)，所以cos， 所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.6分(2)因?yàn)锳N，所以N(0，0)(04)，則(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)，設(shè)平面PBC的法向量為m(x，y，z)，則即令x2，解得y0，z1，所以m(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.8分因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos，m|，解得10,4，所以的值為1.10分15(本小題滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)已知拋物線C的方程為y22px(p0)，點(diǎn)R(1,2)在拋物線C上圖1113(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)Q(1,1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A，B.若直線AR，BR分別交直線l：y2x2于M，N兩點(diǎn)，求線段MN最小時(shí)直線AB的方程解(1)將R(1,2)代入拋物線中，可得p2，所以拋物線方程為y24x.2分(2)設(shè)AB所在直線方程為xm(y1)1(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，與拋物線聯(lián)立得：y24my4(m1)0，所以y1y24m，y1y24(m1)設(shè)AR：yk1(x1)2，由得xM，而k1，可得xM，同理xN.6分所以|MN|xMxN|2，令m1t(t0)，則mt1，所以|MN|xMxN|2， 此時(shí)m1，AB所在直線方程為xy20.10分16(本小題滿分10分)(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線x22py(p0)上的點(diǎn)M(m,1)到焦點(diǎn)F的距離為2，(1)求拋物線的方程；(2)如圖1114，點(diǎn)E是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)E處的切線與x軸相交于點(diǎn)P，直線PF與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求EAB面積的最小值 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394088】圖1114解(1)拋物線x22py(p0)的準(zhǔn)線方程為y，因?yàn)镸(m,1)，由拋物線定義，知MF1，所以12，即p2，所以拋物線的方程為x24y.2分(2)因?yàn)閥x2，所以yx.設(shè)點(diǎn)E，t0，則拋物線在點(diǎn)E處的切線方程為yt(xt)令y0，則x，即點(diǎn)P.因?yàn)镻，F(xiàn)(0,1)，所以直線PF的方程為y，即2xtyt0.則點(diǎn)E到直線PF的距離為d.4分聯(lián)立方程消元，得t2y2(2t216)yt20.因?yàn)?2t216)24t464(t24)0，所以y1，y2，所以ABy11y21y1y222.6分所以EAB的面積為S×××.不妨設(shè)g(x)(x0)，則g(x)·(2x24)因?yàn)閤(0，)時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；x(，)上，g(x)0，所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增所以當(dāng)x時(shí)，g(x)min6.所以EAB的面積的最小值為3.10分