有 限 元 分 析 及 應(yīng) 用 第 一 章 有 限 元 法 簡 介 2 有 限 元 法 介 紹 有 限 元 法 的 基 本 思 想 是 將 結(jié) 構(gòu) 離 散 化 ， 用有 限 個 容 易 分 析 的 單 元 來 表 示 復 雜 的 對 象 ，單 元 之 間 通 過 有 限 個 結(jié) 點 相 互 連 接 ， 然 后根 據(jù) 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件 綜 合 求 解 。 由 于 單 元 的數(shù) 目 是 有 限 的 ， 結(jié) 點 的 數(shù) 目 也 是 有 限 的 ，所 以 稱 為 有 限 元 法 (FEM， Finite Element Method)。 3 有 限 元 法 是 最 重 要 的 工 程 分 析 技 術(shù) 之 一 。它 廣 泛 應(yīng) 用 于 彈 塑 性 力 學 、 斷 裂 力 學 、 流體 力 學 、 熱 傳 導 等 領(lǐng) 域 。 有 限 元 法 是 60年代 以 來 發(fā) 展 起 來 的 新 的 數(shù) 值 計 算 方 法 ， 是計 算 機 時 代 的 產(chǎn) 物 。 雖 然 有 限 元 的 概 念 早在 40年 代 就 有 人 提 出 ， 但 由 于 當 時 計 算 機尚 未 出 現(xiàn) ， 它 并 未 受 到 人 們 的 重 視 。 4 隨 著 計 算 機 技 術(shù) 的 發(fā) 展 ， 有 限 元 法 在 各 個工 程 領(lǐng) 域 中 不 斷 得 到 深 入 應(yīng) 用 ， 現(xiàn) 已 遍 及宇 航 工 業(yè) 、 核 工 業(yè) 、 機 電 、 化 工 、 建 筑 、海 洋 等 工 業(yè) ， 是 機 械 產(chǎn) 品 動 、 靜 、 熱 特 性分 析 的 重 要 手 段 。 早 在 70年 代 初 期 就 有 人給 出 結(jié) 論 ： 有 限 元 法 在 產(chǎn) 品 結(jié) 構(gòu) 設(shè) 計 中 的應(yīng) 用 ， 使 機 電 產(chǎn) 品 設(shè) 計 產(chǎn) 生 革 命 性 的 變 化 ，理 論 設(shè) 計 代 替 了 經(jīng) 驗 類 比 設(shè) 計 。 5 有 限 元 法 的 孕 育 過 程 及 誕 生 和 發(fā) 展 牛 頓 (Newton) 萊 布 尼 茨 (Leibniz G. W.) 6 大 約 在 300年 前 ， 牛 頓 和 萊 布 尼 茨 發(fā) 明 了 積分 法 ， 證 明 了 該 運 算 具 有 整 體 對 局 部 的 可 加性 。 雖 然 ， 積 分 運 算 與 有 限 元 技 術(shù) 對 定 義 域的 劃 分 是 不 同 的 ， 前 者 進 行 無 限 劃 分 而 后 者進 行 有 限 劃 分 ， 但 積 分 運 算 為 實 現(xiàn) 有 限 元 技術(shù) 準 備 好 了 一 個 理 論 基 礎(chǔ) 。 7 在 牛 頓 之 后 約 一 百 年 ，著 名 數(shù) 學 家 高 斯 提 出 了加 權(quán) 余 值 法 及 線 性 代 數(shù)方 程 組 的 解 法 。 這 兩 項成 果 的 前 者 被 用 來 將 微分 方 程 改 寫 為 積 分 表 達式 ， 后 者 被 用 來 求 解 有限 元 法 所 得 出 的 代 數(shù) 方程 組 。 高 斯 (Gauss) 8 在 18世 紀 ， 另一 位 數(shù) 學 家 拉格 朗 日 提 出 泛函 分 析 。 泛 函分 析 是 將 偏 微分 方 程 改 寫 為積 分 表 達 式 的另 一 途 徑 。 拉 格 朗 日 (Lagrange J.) 9 在 19世 紀 末 及20世 紀 初 ， 數(shù)學 家 瑞 利 和 里茲 （ Rayleigh Ritz） 首 先 提 出可 對 全 定 義 域運 用 展 開 函 數(shù)來 表 達 其 上 的未 知 函 數(shù) 。 瑞 利 (Rayleigh) 10 1915年 ， 數(shù) 學 家 伽 遼 金 (Galerkin)提 出 了 選擇 展 開 函 數(shù) 中 形 函 數(shù) 的 伽 遼 金 法 ， 該 方 法被 廣 泛 地 用 于 有 限 元 。 1943年 ， 數(shù) 學 家 庫朗 德 第 一 次 提 出 了 可 在 定 義 域 內(nèi) 分 片 地 使用 展 開 函 數(shù) 來 表 達 其 上 的 未 知 函 數(shù) 。 這 實際 上 就 是 有 限 元 的 做 法 。 11 12（對象、變量、方程、求解途徑）各力學學科分支的關(guān)系 13 (1) 橋 梁 隧 道 問 題 14任 意 變 形 體 力 學 分 析 的 基 本 變 量 及 方 程研 究 對 象 ： 任 意 形 狀 的 變 形 體幾 種 典 型 的 對 象 圓 形 隧 道 三 維 模 型 15 (2) 中 華 和 鐘(3) 礦 山 機 械 16 (4) 壓 力 容 器 的 成 形 17 變 形 體 及 受 力 情 況 的 描 述 18 求 解 方 法 19 有 限 元 方 法 的 思 路 及 發(fā) 展 過 程思 路 ： 以 計 算 機 為 工 具 ， 分 析 任 意 變 形 體 以 獲 得 所 有力 學 信 息 ， 并 使 得 該 方 法 能 夠 普 及 、 簡 單 、 高 效 、 方便 ， 一 般 人 員 可 以 使 用 。實 現(xiàn) 辦 法 ： 20 技 術(shù) 路 線 ： 21 發(fā) 展 過 程 ：如 何 處 理對 象 的 離 散 化 過 程 22 . . . 常 用 單 元 的 形 狀點 (質(zhì) 量 ) 線 (彈 簧 ， 梁 ， 桿 ， 間 隙 )面 (薄 殼 , 二 維 實 體 ,軸 對 稱 實 體 ) 二 次 體 (三 維 實 體 )線 性 二 次. .線 性 . . . . . . . . .23 點 單 元線 單 元一 維 波 傳 導 問 題 24 點 單 元線 單 元 25 XY 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 XY 0.054 0.056 0.058 0.06-0.003-0.002-0.0010 面 單 元 28 XY 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 XY 0.054 0.056 0.058 0.06-0.003-0.002-0.0010 29 30 受 垂 直 載 荷 的 托 架 31 線 性 單 元 / 二 次 單 元 更 高 階 的 單 元 模 擬 曲 面 的 精 度 就 越 高 。低 階 單 元 更 高 階 單 元體 單 元 32 有 限 元 分 析 的 作 用l 復 雜 問 題 的 建 模 簡 化 與 特 征 等 效l 軟 件 的 操 作 技 巧 （ 單 元 、 網(wǎng) 格 、 算 法 參 數(shù) 控 制 ）l 計 算 結(jié) 果 的 評 判l(wèi) 二 次 開 發(fā)l 工 程 問 題 的 研 究l 誤 差 控 制 36 第 二 章 有 限 元 分 析 的 力 學 基 礎(chǔ) 2.1 變 形 體 的 描 述 與 變 量 定 義(1) 變 形 體 變 形 體 ： 即 物 體 內(nèi) 任 意 兩 點 之 間 可 發(fā) 生 相 對 移 動 。 有 限 元 方 法 所 處 理 的 對 象 ： 任 意 變 形 體 38 (2) 基 本 變 量 的 定 義 可 以 用 以 下 各 類 變 量 作 為 任 意 變 形 體 的 描 述因 此 ， 在 材 料 確 定 的 情 況 下 ， 基 本 的 力 學 變 量 應(yīng) 該 有 ：位 移 、 應(yīng) 變 、 應(yīng) 力 量 39 目 的 ： 對 彈 性 體 中 的 位 移 、 應(yīng) 力 、 應(yīng) 變 進 行定 義 和 表 達 ， 進 而 建 立 平 衡 方 程 、 幾 何 方 程和 材 料 物 理 方 程(3) 研 究 的 基 本 技 巧采 用 微 小 體 積 元 dxdydz的 分 析 方 法 （ 針 對 任 意 變形 體 ） 40 2.2 彈 性 體 的 基 本 假 設(shè)為 突 出 所 處 理 的 問 題 的 實 質(zhì) ， 并 使 問 題 簡 單 化 和 抽象 化 ， 在 彈 性 力 學 中 ， 特 提 出 以 下 幾 個 基 本 假 定 。 物 質(zhì) 連 續(xù) 性 假 定 ： 物 質(zhì) 無 空 隙 ， 可 用 連 續(xù) 函 數(shù) 來 描 述 ； 物 質(zhì) 均 勻 性 假 定 ： 物 體 內(nèi) 各 個 位 置 的 物 質(zhì) 具 有 相 同 特 性 ； 物 質(zhì) (力 學 )特 性 各 向 同 性 假 定 ： 物 體 內(nèi) 同 一 位 置 的 物 質(zhì) 在各 個 方 向 上 具 有 相 同 特 性 ； 線 性 彈 性 假 定 ： 物 體 的 變 形 與 外 來 作 用 的 關(guān) 系 是 線 性 的 ，外 力 去 除 后 ， 物 體 可 恢 復 原 狀 ； 小 變 形 假 定 ： 物 體 變 形 遠 小 于 物 體 的 幾 何 尺 寸 ， 在 建 立 方程 時 ， 可 以 高 階 小 量 （ 二 階 以 上 ） 。(1) 以 上 基 本 假 定 將 作 為 問 題 簡 化 的 出 發(fā) 點 。 41 2.3 基 本 變 量 的 指 標 表 達指 標 記 法 的 約 定 ：自 由 指 標 ： 在 每 項 中 只 有 一 個 下 標 出 現(xiàn) ， 如 ， i，j為 自 由 指 標 ， 它 們 可 以 自 由 變 化 ； 在 三 維 問 題 中 ，分 別 取 為 1， 2， 3； 在 直 角 坐 標 系 中 ， 可 表 示 三 個坐 標 軸 x, y, z。啞 指 標 ： 在 每 項 中 有 重 復 下 標 出 現(xiàn) ， 如 ： ，j為 啞 指 標 。 在 三 維 問 題 中 其 變 化 的 范 圍 為 1,2,3ij ijij bxa 42 Einstein 求 和 約 定 ： 啞 指 標 意 味 著 求 和指 標 記 法 的 應(yīng) 用 ：對 于 方 程 組按 一 般 的 寫 法 ， 可 寫 為若 用 指 標 記 法 ：(2-3)式 與 (2-2)式 等 價 ， 因 為 j為 啞 指 標 ， 意 味 著 求 和（ 2-1）（ 2-2）（ 2-3）43 克 羅 內(nèi) 克 符 號 在 笛 卡 爾 直 角 坐 標 系 下 ， 由 ij 表 示 的 Kronecker(克 羅 內(nèi) 克 )符 號 定 義 為 ji ji ij 如 果如 果 ,0 ,1亦 即 1332211 0233213312112 44 那 么 ， 矩 陣 333231 232221 131211 100 010 001= 是 單 位 矩 陣 。根 據(jù) 上 述 定 義 ， 可 以 推 出 下 列 關(guān) 系 3332211 ii 33332321313 23232221212 13132121111 aaaaa aaaaa aaaaa jj jj jj 45 彈 性 力 學 里 假 想 把 物 體 分 成 無 限 多 微 小 六 面 體 ， 稱為 微 元 體 。 考 慮 任 一 微 元 體 的 平 衡 （ 或 運 動 ） ， 可寫 出 一 組 平 衡 （ 或 運 動 ） 微 分 方 程 及 邊 界 條 件 。 但未 知 應(yīng) 力 的 數(shù) 目 總 是 超 過 微 分 方 程 的 數(shù) 目 ， 所 以 彈性 力 學 問 題 都 是 超 靜 定 的 ， 必 須 同 時 考 慮 微 元 體 的變 形 條 件 以 及 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 的 關(guān) 系 ， 它 們 在 彈 性 力 學中 相 應(yīng) 的 稱 為 幾 何 方 程 和 物 理 方 程 。 平 衡 （ 或 運 動 ）方 程 、 幾 何 方 程 和 物 理 方 程 以 及 邊 界 條 件 ， 稱 為 彈性 力 學 的 基 本 方 程 。2.4 彈 性 力 學 的 基 本 方 法 46 從 取 微 元 體 入 手 ， 綜 合 考 慮 靜 力 （ 或 運 動 ） 、幾 何 、 物 理 三 方 面 條 件 ， 得 出 其 基 本 微 分 方程 ， 再 進 行 求 解 ， 最 后 利 用 邊 界 （ 表 面 ） 條件 確 定 解 中 的 常 數(shù) ， 這 就 是 求 解 彈 性 力 學 問題 的 基 本 方 法 。 47 2.5 空 間 問 題 的 基 本 方 程dy dxdz 48 3D情 形 下 的 力 學 基 本 變 量將 正 應(yīng) 力 和 正 應(yīng) 變 簡 寫 成 49 abb aa dd ccxyxy yx yx yzyzzyzyzx zx xz xz 50 由 力 平 衡 條 件 0X 有 ： 0 Xdxdydzdxdydxdydzz dxdzdxdzdyydydzdydzdxx zxzxzx yxyxyxxxx 化 簡 得 到 0 Xzyx zxyxx 0Y 0 Yzyx zyyxy 0Z 0 Zzyx zyzxz 平 衡 微 分 方 程 51 平 衡 微 分 方 程 的 矩 陣 形 式 為 0 b其 中 ， 是 微 分 算 子 xyz zxy zyx 000 000 000式 中 ， b是 體 積 力 向 量 ， T ZYXb 52 由 力 矩 平 衡 條 件 有 ：0 xM02 222 dzdxdy dzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzy zyzyyzyzyz 全 式 除 以 dxdydz， 合 并 相 同 的 項 ， 得 02121 dzzdyy zyzyyzyz 略 去 微 量 項 ， 得 zyyz xzzx 0 YM yxxy 0 ZM剪 切 力 互 等 定 律 53 二 維 問 題 ： 平 衡 微 分 方 程0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 剪 切 力 互 等 定 律 yxxy 54 應(yīng) 力 邊 界 條 件 四 面 微 分 體 Mabc 55 斜 微 分 面 abc為 其 邊 界 面 的 一 部 分 ， 其 外 法線 N與 各 坐 標 軸 夾 角 的 余 弦 為 cos(N， x)=l，cos(N， y)=m， cos(N， z)=n。 從 M點 到 斜 微 分 面 abc的 垂 直 距 離 dh（ 圖 中未 標 出 ） ， 是 四 面 微 分 體 的 高 。 56 dAdhdV 31四 面 微 分 體 的 體 積 為 假 定 斜 微 分 面 abc上 作 用 的 面 力 在 三 個 坐標 軸 上 的 投 影 分 別 為 X Y Z體 積 力 分 量 為 X、 Y、 Z。 設(shè) 斜 微 分 面 的 面 積 為 dA， 則 其 它 三 個 微 分面 的 面 積 為 Mac=dA l， Mab= dA m， Mcb= dA n。 57 考 慮 0Y 0 YdVndAmdAldAdAY zyyxy 將 上 式 除 以 dA， 并 注 意 到 體 積 力 項 dhdAdV 31當 令 dh0取 極 限 時 ， 體 積 力 一 項 趨 于 零 。 由 此 得 到 Ynml zyyxy 考 慮 0X Xnml zxyxx 考 慮 0Z Znml zyzxz 應(yīng) 力 邊 界 條 件 58 二 維 問 題 ： 應(yīng) 力 邊 界 條 件Yml yxy Xml yxx 59 圣 維 南 原 理 （ 局 部 影 響 原 理 ）物體表面某一小面積上作用的外力，如果為一靜力等效的力系所代替，只能產(chǎn)生局部應(yīng)力的改變，而在離這一面積稍遠處，其影響可以忽略不計。60 61 62 均勻分布載荷作用下的平板，應(yīng)力分布是均勻的。材料力學中的拉伸應(yīng)力計算公式就是圣維南原理應(yīng)用的結(jié)論。63 一對集中力F/2作用點區(qū)域仍然有比較大的應(yīng)力梯度變化，但是比等效力系F作用的變化小。遠離力的作用點區(qū)域，應(yīng)力分布仍然均勻。而且均勻區(qū)域更大。64 幾 何 方 程 ： 位 移 與 應(yīng) 變 的 關(guān) 系B1 A112 65 設(shè) P點 的 位 移 分 量 為 u和 v， 由 于 坐 標 x有 一增 量 dx， A點 的 位 移 較 P點 的 位 移 也 有 一 相應(yīng) 的 增 量 ， 從 而 A點 的 位 移 分 量 為 ： 。 dxxuuuA dxxvvvA 同 理 ， B點 的 位 移 分 量 為 ： dyyuuuB dyyvvvB 66 在 小 變 形 的 前 提 下 ， APA1很 小 ， 可 以 認 為 ，線 段 PA位 移 后 的 絕 對 伸 長 ， 可 以 用 線 段 兩 端 點沿 x軸 的 位 移 之 差 來 表 示 ， 即 ： 。 dxxuudxxuuuuPAAP PA xudxdxxuPAPAAP x 從 而 線 段 PA的 正 應(yīng) 變 為 ： 。 x同 理 線 段 PB的 正 應(yīng) 變 為 ： 。 y yvdydyyvPBPBBPy 67 對 于 三 維 情 況 的 微 分 體 ， 可 以 得 到 ： zwz 因 此 ， 可 以 總 結(jié) 為 ： xux zwz yvy 68 下 面 ， 研 究 線 段 PA與 PB間 所 夾 直 角 的 變 化 ，即 剪 應(yīng) 變 xy。 這 個 剪 應(yīng) 變 由 兩 部 分 組 成 ， 一部 分 是 與 x軸 相 平 行 的 PA向 y軸 方 向 的 轉(zhuǎn) 角 1；另 一 部 分 是 與 y軸 平 行 的 線 段 PB向 x軸 方 向 的 轉(zhuǎn)角 2 。 在 小 變 形 情 況 下 xuxvudxxuudx vdxxvvtg 111 69 上 式 分 母 中 的 ， 可 以 略 去 。 從 而 上式 可 簡 寫 為 ： 1 xxu xv1同 樣 可 得 ： yu2線 段 PA與 PB間 的 剪 應(yīng) 變 xy等 于 1與 2 之 和 ：yuxv xy 21 zvywyz xwzuzx 70 xux yuxvxy yvy zvywyz zwz xwzuzx 至 此 ， 我 們 得 到 了 六 個 應(yīng) 變 分 量 與 三 個 位 移 分量 間 的 全 部 關(guān) 系 式 ：稱 為 幾 何 方 程 71 幾 何 方 程 式 的 矩 陣 形 式 為 u t為 微 分 算 子 t 其 中 的 轉(zhuǎn) 置 T00 000 00 00 xz yzxy zyxt 72 變 形 連 續(xù) 方 程由 幾 何 方 程 可 知 ， 六 個 應(yīng) 變 分 量 完 全 由 三 個 位移 分 量 u， v， w對 x， y， z的 偏 導 數(shù) 所 確 定 。 因此 ， 六 個 應(yīng) 變 分 量 不 會 是 互 不 相 關(guān) 的 x， y， z的函 數(shù) ， 相 互 之 間 必 存 在 一 定 的 關(guān) 系 。 73 從 物 理 意 義 方 面 講 ， 物 體 在 變 形 前 是 連 續(xù) 的 ，而 在 變 形 后 仍 是 連 續(xù) 的 。 若 六 個 應(yīng) 變 分 量 互 不相 關(guān) ， 則 每 個 微 分 體 的 變 形 是 任 意 的 ， 從 而 將使 變 形 后 的 各 微 分 體 間 出 現(xiàn) “ 撕 裂 ” 或 “ 重疊 ” ， 這 顯 然 與 實 際 情 況 不 符 。 要 使 物 體 變 形后 仍 為 連 續(xù) 的 ， 六 個 應(yīng) 變 分 量 間 必 滿 足 一 定 的關(guān) 系 。 下 面 推 導 這 些 關(guān) 系 。 74 六 個 應(yīng) 變 分 量 間 的 關(guān) 系 ， 可 以 分 為 兩 組 。第 一 組 分 別 求 對 y， x的 二 階導 數(shù) ， 得 xux yvy 2322 yx uy x 2322 xy vx y 將 上 兩 式 相 加 ， 得 yxxvyuyxxy xyyx 222222這 就 是 應(yīng) 變 分 量 間 的 一 個 關(guān) 系 式 。 75 將 x， y， z循 環(huán) 替 換 ， 可 以 得 到 zyyz yzzy 22222 xzzx zxxz 22222 yxxy xyyx 22222與 組 成 了 第 一 組 的 三 個 關(guān) 系 式 。 76 第 二 組 分 別 求 對 z， x， y的 導 數(shù) ， 得yuxvxy zvywyz xwzuzx zyuzxvzxy 22 xzvxywx yz 22 yxwyzuyzx 22 77 將 第 二 和 第 三 式 相 加 ， 減 去 第 一 式 ， 得 yxwzyx xyzxyz 22再 求 上 式 對 z的 導 數(shù) ： yxzyx wzyxz zxyzxyz 23 22 78 將 x， y， z循 環(huán) 替 換 ， 可 以 得 到 與 組 成 了 第 二 組 的 三 個 關(guān) 系 式 。 zxyxzy yzxyzxy 22 zyxzyx xyzxyzx 22 yxzyxz zxyzxyz 22上 述 六 個 微 分 關(guān) 系 式 稱 為 變 形 連 續(xù) 方 程 。 79 對 于 二 維 問 題 ， 由 于 幾 何 方 程 簡 化 為 ： xux yuxvxy yvy 由 于 只 存 在 以 上 三 個 應(yīng) 變 分 量 ， 且 都 僅 為 x和y的 函 數(shù) ， 則 變 形 連 續(xù) 方 程 僅 剩 有 yxxy xyyx 22222 80 物 理 方 程前 邊 對 物 體 的 應(yīng) 力 和 變 形 分 別 進 行 了 討 論 。這 種 分 析 適 用 于 任 何 變 形 體 ， 即 所 得 出 的 一些 結(jié) 論 和 公 式 與 物 體 的 物 理 性 質(zhì) 無 關(guān) 。 但 僅有 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 的 分 析 還 不 能 解 決 問 題 ， 還 必須 進 一 步 研 究 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 間 的 物 理 關(guān) 系 。 81 由 簡 單 的 軸 向 拉 伸 試 驗 可 知 ， 在 單 向 應(yīng) 力 狀態(tài) 下 ， 處 于 彈 性 階 段 時 ， 應(yīng) 力 應(yīng) 變 呈 線 性 關(guān)系 ， 即 x = Ex 其 中 E為 材 料 的 彈 性 模 量 。 這 就 是 虎 克 定 律 。 彈 塑 性 范 圍斜 率 , E彈 性 范 圍應(yīng) 力 Y 應(yīng) 變 82 工 程 上 ， 一 般 將 應(yīng) 力 與 應(yīng) 變 間 的 關(guān) 系 表 示 為 zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E 1 xyxy G 1 yzyz G 1 zxzx G 1稱 它 們 為 物 理 方 程 （ 廣 義 虎 克 定 律 ） 。 83 式 中 ， E為 彈 性 模 量 ， 為 泊 松 比 ， G為 剪 切彈 性 模 量 ， 而 且 三 者 之 間 有 如 下 的 關(guān) 系 ： 12 EG這 些 彈 性 常 數(shù) 不 隨 應(yīng) 力 的 大 小 而 改 變 ， 不 隨位 置 坐 標 而 改 變 ， 也 不 隨 方 向 而 改 變 。 因 為我 們 曾 假 設(shè) 物 體 是 完 全 彈 性 的 、 均 勻 的 ， 而且 是 各 向 同 性 的 。 84 物 理 方 程 用 六 個 應(yīng) 力 分 量 表 示 六 個 應(yīng) 變 分 量 。當 然 也 可 以 用 應(yīng) 變 分 量 來 表 示 應(yīng) 力 分 量 。 由上 頁 的 關(guān) 系 式 及 物 理 方 程 可 以 推 出 ： zyxx E 11211 1 zyxy E 11211 1 zyxz E 11211 1 85 xyxy E 12 yzyz E 12 zxzx E 12若 令 Tzxyzxyzyx Tzxyzxyzyx 代 表 應(yīng) 變 列 陣 和 應(yīng) 力 列 陣 ， 則 應(yīng) 力 應(yīng) 變 關(guān) 系可 寫 成 矩 陣 形 式 D 86 其 中 12 2100000 12 210000 12 21000 111 11 1211 1 稱對ED稱 為 彈 性 矩 陣 ， 由 彈 性 常 數(shù) E和 決 定 。 87 由 廣 義 虎 克 定 律 ， 有 二 維 平 面 應(yīng) 力 情 況下 的 物 理 方 程 ：物 理 方 程 逆 形 式 88 彈 性 問 題 中 的 能 量 表 示彈 性 問 題 中 的 自 然 能 量 包 括 兩 類 ： 外 力 功 應(yīng) 變 能 （ 以 位 移 為 基 本 變 量 的 表 達 ） 或應(yīng) 變 余 能 （ 以 應(yīng) 力 為 基 本 變 量 的 表 達 ） 出 于 研 究 的 需 要 ， 還 要 定 義 一 些 由 自 然 能 量 所組 合 的 物 理 量 ， 如 勢 能 （ 以 位 移 為 基 本 變 量 的表 達 ） 、 余 能 （ 以 應(yīng) 力 為 基 本 變 量 的 表 達 ） 等 。89 外 力 功由 于 外 力 又 包 括 作 用 在 物 體 上 的 面 力 和 體 力 ，則 外 力 功 包 括 這 兩 部 分 力 所 作 的 功 。 Part 1： 外 力 （ 面 力 ） 在 對 應(yīng) 位 移 ui上 所作 的 功 （ on Sp） Part 2： 體 積 力 在 對 于 位 移 ui上 所 作 的 功（ in ） ipib 90 則 外 力 總 功 為應(yīng) 變 能3D情 形 下 變 形 體 應(yīng) 力 與 應(yīng) 變 的 對 應(yīng) 變 量 為 91 其 變 形 能 包 括 兩 個 部 分 ： Part 1： 對 應(yīng) 于 正 應(yīng) 力 與 正 應(yīng) 變 的 變 形 能 Part 2： 對 應(yīng) 于 剪 應(yīng) 力 與 剪 應(yīng) 變 的 變 形 能正 應(yīng) 力 和 正 應(yīng) 變?nèi)?圖 所 示 ， 在 xoy平 面 內(nèi) 考 察 應(yīng) 變 能 ， 這 時 微體 的 厚 度 為 dz， 設(shè) 微 體 dxdydz上 只 作 用 有 與 ， 則 由 （ 可 由 試 驗 所 得 ） 的 關(guān)系 求 得 的 微 體 上 的 變 形 能 為 92 93 則 整 個 物 體 上 與 所 產(chǎn) 生 的 變 形 能剪 應(yīng) 力 和 剪 應(yīng) 變先 考 察 一 對 剪 應(yīng) 力 和 剪 應(yīng) 變 （ 如 圖 所 示 ） ，此 時 微 體 的 厚 度 為 dz， 設(shè) 微 體 dxdydz上 只 作用 與 , 則 由 與 作 用 ， 在 微 體 上 產(chǎn) 生 的 能 量 94 95 則 整 個 物 體 上 與 所 產(chǎn) 生 的 變 形 能整 體 變 形 能由 疊 加 原 理 ， 將 所 有 方 向 的 正 應(yīng) 力 應(yīng) 變 和 剪應(yīng) 力 應(yīng) 變 所 產(chǎn) 生 的 變 形 能 相 加 ， 可 得 整 體 變形 能 96 勢 能定 義 系 統(tǒng) 的 勢 能 為 97 平 面 應(yīng) 變 與 平 面 應(yīng) 力 問 題任 何 構(gòu) 件 都 占 有 三 度 空 間 ， 在 載 荷 或 溫度 變 化 等 的 作 用 下 ， 物 體 內(nèi) 產(chǎn) 生 的 應(yīng) 力 、應(yīng) 變 和 位 移 必 然 是 三 向 的 。 一 般 說 來 ，它 們 都 是 三 個 坐 標 x、 y、 z的 函 數(shù) 。 這 樣的 問 題 稱 為 彈 性 力 學 空 間 問 題 。 98 當 構(gòu) 件 形 狀 有 某 些 特 點 ， 并 且 受 到 特 殊 的分 布 外 力 作 用 或 溫 度 變 化 影 響 ， 某 些 空 間問 題 可 以 簡 化 為 彈 性 力 學 的 平 面 問 題 。 這些 問 題 中 的 應(yīng) 力 、 應(yīng) 變 和 位 移 僅 為 兩 個 坐標 （ 如 x、 y） 的 函 數(shù) 。 平 面 問 題 可 以 進 而分 為 平 面 應(yīng) 變 問 題 和 平 面 應(yīng) 力 問 題 兩 大 類 。 99 平 面 應(yīng) 變設(shè) 一 構(gòu) 件 （ 如 圖 ） ， 其縱 向 （ z） 尺 寸 遠 大 于橫 向 （ x， y） 尺 寸 ， 且與 縱 軸 垂 直 的 各 截 面 都相 同 ； 受 到 垂 直 于 縱 軸但 不 沿 長 度 變 化 的 外 力 （ 包 括 體 積 力 X、 Y，同 時 有 Z=0） 的 作 用 ， 而 且 約 束 條 件 也 不 沿長 度 變 化 。 100 這 時 ， 可 以 把 構(gòu) 件 在 縱 向 作 為 無 限 長 看 待 。 因 此 ，任 一 橫 截 面 都 可 以 視 為 對 稱 面 ， 其 上 各 點 就 不 會產(chǎn) 生 沿 z向 的 位 移 ， 而 沿 x、 y方 向 的 位 移 也 與 坐 標z無 關(guān) 。 則 有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0顯 然 ， 在 這 種 條 件 下 構(gòu) 件 所 有 橫 截 面 上 對 應(yīng) 點 （ x、y坐 標 相 同 ） 的 應(yīng) 力 、 應(yīng) 變 和 位 移 是 相 同 的 。 這 樣 ，我 們 只 需 從 構(gòu) 件 中 沿 縱 向 截 出 單 位 厚 度 的 薄 片 進行 分 析 ， 用 以 代 替 整 個 構(gòu) 件 的 研 究 。 101 在 工 程 和 機 械 中 ， 許 多 結(jié) 構(gòu) 或 構(gòu) 件 屬 于 這 一 類 問題 。 如 直 的 堤 壩 和 隧 道 ； 圓 柱 形 長 管 受 到 內(nèi) 水（ 油 ） 壓 力 作 用 ； 圓 柱 形 長 輥 軸 受 到 垂 直 于 縱 軸的 均 勻 壓 力 等 ， 均 可 近 似 的 視 為 平 面 應(yīng) 變 問 題 。y yz z oo x xy yo o 102 還 有 一 種 情 況 ， 當 構(gòu) 件 的 縱 向 尺 寸 不 很 大但 兩 端 面 被 剛 性 光 滑 面 固 定 ， 不 能 發(fā) 生 縱 向 位移 時 ， 若 其 他 條 件 與 上 面 所 述 相 同 ， 也 屬 于 平面 應(yīng) 變 問 題 。通 常 ， 只 要 是 長 的 等 直 柱 體 或 板 ， 受 到 垂 直 于其 縱 軸 而 且 沿 長 度 方 向 無 變 化 的 載 荷 作 用 時 ，都 可 以 簡 化 為 平 面 應(yīng) 變 問 題 。 下 面 是 這 種 情 況下 的 應(yīng) 力 、 應(yīng) 變 以 及 彈 性 力 學 的 基 本 方 程 式 。 103 由 幾 何 方 程 中 應(yīng) 變 分 量 和 位 移 函 數(shù) 的 關(guān) 系 及 位移 公 式 ， 得 0,0 0, , 3 21 xwzuzw xuywyxyv yxxvyuyxxu zxz yzy xyx 不 等 于 零 的 三 個 應(yīng) 變 分 量 是 x、 y和 xy， 而 且 應(yīng)變 僅 發(fā) 生 在 與 坐 標 面 xoy平 行 的 平 面 內(nèi) 。 104 將 ， 代 入 物 理 方 程 0yz 0zx yzyz E 12 zxzx E 120yz 0zx得 yxzz E 1將 代 入 物 理 方 程 0z得 yxz 在 z軸 方 向 沒 有 應(yīng) 變 ， 但 其 應(yīng) 力 z并 不 為 零 。105 將 yxz 代 入 物 理 方 程 zyxx E 1 xzyy E 1得 xyxyxy xyy yxx EGEE 121 11 11 106 如 果 用 應(yīng) 變 分 量 來 表 示 應(yīng) 力 分 量 ， 則 有 xyxyxy yxy yxx EE EE )1(2 21)21)(1( )1()1(2 1)21)(1( )1( 1)21)(1( )1(由 上 面 的 分 析 可 知 ， 獨 立 的 應(yīng) 力 分 量 只 有 x、y 和 xy 三 個 。 107 平 面 應(yīng) 力對 于 具 有 如 下 特 征 的 構(gòu) 件 ， 可 作 為 平 面 應(yīng) 力問 題 處 理 。(1)物 體 沿 一 個 坐 標 方 向 的 尺 寸 (如 沿 z軸 方 向 )遠 小于 沿 其 它 兩 個 方 向 的 尺 寸 ， 如 圖 所 示 的 等 厚 度 薄 板 ；(2)外 力 作 用 在 周 邊 上 ， 并 與 xoy面 平 行 ， 板 的 側(cè) 面沒 有 外 力 ， 體 積 力 垂 直 于 z軸 ；(3)由 于 板 的 厚 度 很 小 ， 故 外 載 荷 面 積 力 和 體 積 力都 可 看 作 是 沿 z軸 方 向 均 勻 分 布 ， 并 且 為 常 量 。 108 2 2y yx zo oh hh體 積 力 沿 板 厚 不 變 ， 且 沿 z軸 方 向 的 分 力 Z=0。 在 板的 前 后 表 面 上 沒 有 外 力 作 用 。 即0z 0zx 0zy2hz 時 109 在 平 面 應(yīng) 力 問 題 中 ， 認 為 等 于 零 ， 但 沿 z軸 的 應(yīng)變 不 等 于 零 。 這 與 平 面 應(yīng) 變 的 情 況 剛 好 相 反 。將 代 入 物 理 方 程 ， 有 0z z yxzz E 1 yxz E 由 于 認 為 板 內(nèi) ， 將 其 代 入 物 理 方 程0 zx 0zyyzyz G 1 zxzx G 1 ， 則 有0yz 0zx 110 于 是 ， 物 理 方 程 的 另 外 三 式 成 為 121 )(1 )(1 xyxyxy xyy yxx E G EE 如 果 用 應(yīng) 變 分 量 來 表 示 應(yīng) 力 分 量 ， 上 面 三 式 變 為 xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（ 111 xyxyxy yxy yxx EE EE )1(2 21)21)(1( )1()1(2 1)21)(1( )1( 1)21)(1( )1( xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（比 較 兩 類 平 面 問 題 的 物 理 方 程 ： 平 面應(yīng) 力平 面應(yīng) 變112 D Txyyx Txyyx 這 里 ，分 別 為 應(yīng) 力 矩 陣 、 應(yīng) 變 矩 陣 。 矩 陣 D稱 為 彈 性 矩陣 。如 果 用 和 分 別 代 換 平 面 應(yīng) 力 物 理方 程 各 式 中 的 E和 ， 就 得 到 平 面 應(yīng) 變 物 理 方 程 ， 因此 ， 我 們 可 以 將 兩 類 平 面 問 題 的 物 理 方 程 寫 成 統(tǒng) 一的 格 式 ， 用 矩 陣 方 程 表 示 為21 E 1 113 對 于 平 面 應(yīng) 力 問 題 ， 彈 性 矩 陣 為 2100 111 2 稱對ED對 于 平 面 應(yīng) 變 問 題 的 彈 性 矩 陣 ， 只 須 在 上 式中 ， 以 代 E， 代 即 可 。 21 E 1 114 算 例已 知 平 面 應(yīng) 變 問 題 中 某 一 三 角 形 三 結(jié) 點 單 元剛 度 子 陣 為 ： 1410125 1261352114 1 11 EKe試 根 據(jù) 兩 類 平 面 問 題 的 轉(zhuǎn) 化 關(guān) 系 寫 出 該 子 陣對 應(yīng) 平 面 應(yīng) 力 問 題 的 剛 度 子 陣 。 115 21 21 u uE uu1用 代 E， 用 代 u。 得 到 平 面 應(yīng) 力 問 題的 剛 度 子 陣 ： uu uuuE uuuuuuuu uuuuuuuuuuuu uuu uEKe 41025 263514 11141011125 1112611135121114 111 212 211 116 平 面 問 題 的 解 法彈 性 力 學 平 面 問 題 有 兩 個 平 衡 微 分 方 程 ， 三 個 幾 何方 程 ， 三 個 物 理 方 程 。 共 有 八 個 方 程 ， 其 中 含 有 三個 應(yīng) 力 分 量 ， 三 個 應(yīng) 變 分 量 ， 兩 個 位 移 分 量 u和 v， 共 八 個 未 知 函 數(shù) 。 從 數(shù) 學 的觀 點 來 看 ， 有 足 夠 的 方 程 來 求 解 這 些 未 知 函 數(shù) ， 問題 是 可 解 的 。 我 們 要 求 出 八 個 未 知 函 數(shù) ， 使 其 滿 足八 個 方 程 ， 同 時 還 必 須 滿 足 全 部 （ 應(yīng) 力 及 位 移 ） 的邊 界 條 件 。 x y xy x y xy117 如 前 所 述 ， 在 一 定 的 邊 界 條 件 下 求 解 基 本 方程 ， 可 以 采 用 兩 種 基 本 方 法 ： 一 是 位 移 法 ；另 一 種 是 應(yīng) 力 法 。1. 位 移 法把 兩 個 位 移 分 量 u(x, y), v(x, y)作 為 基 本 未 知函 數(shù) 。 為 此 ， 必 須 利 用 物 理 方 程 和 幾 何 方 程 ，將 應(yīng) 力 分 量 用 位 移 分 量 表 示 出 來 。 118 對 于 平 面 應(yīng) 力 問 題 ， 有 物 理 方 程將 幾 何 方 程 代 入 以 上 各 式 ， 得xux yv y yuxvxy 119 yvxuEx 21 yvxuEy 21 yuxvExy 12再 將 上 式 帶 入 平 衡 微 分 方 程 ， 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 簡 化 后 ， 即 得 120 021211 222222 XyxvyuxuE 021211 222222 YyxuxvyvE 這 就 是 用 位 移 分 量 表 示 的 平 衡 微 分 方 程 。 將 yvxuE x 21 yvxuEy 21 yuxvExy 12代 入 應(yīng) 力 邊 界 條 件 Yml yxy Xml yxx 121 得 到 用 位 移 表 示 的 應(yīng) 力 邊 界 條 件 ： YxvyulxuyvmE XxvyumyvxulE 211 211 22 位 移 邊 界 條 件 ： vv A uuA 由 此 可 見 ， 用 位 移 法 求 解 平 面 應(yīng) 力 問 題 ， 歸結(jié) 為 求 解 平 衡 微 分 方 程 ， 并 在 邊 界 上 滿 足 邊界 條 件 。 122 如 果 所 求 的 問 題 直 接 給 出 了 邊 界 上 的 位 移 ， 則應(yīng) 使 得 到 的 位 移 分 量 滿 足 位 移 邊 界 條 件。 求 出 位 移 分 量 后 ， 即 可 用 幾 何 方 程 求 得 應(yīng) 變 分 量 ，再 由 物 理 方 程求 出 應(yīng) 力 分 量 。 xyxyxyxy yxy yxx EEG EE 211)12 )(1 )(1 222（ vvA uuA u v對 于 平 面 應(yīng) 變 問 題 ， 只 需 將 上 面 各 方 程 中 的 E換為 ， 將 換 為 。 21 E 1 123 2. 應(yīng) 力 法對 于 彈 性 力 學 平 面 問 題 ， 往 往 已 知 構(gòu) 件 所 承 受 的 載荷 。 一 般 以 應(yīng) 力 作 為 基 本 未 知 量 較 為 方 便 ， 因 此 應(yīng)力 法 應(yīng) 用 較 為 廣 泛 。 在 這 里 以 三 個 應(yīng) 力 分 量 、 和 為 基 本 未 知 函 數(shù) ， 需 要 運 用 平 衡微 分 方 程變 形 連 續(xù) 方 程 共 同 決 定 這 三 個未 知 函 數(shù) 。 yxx , yx y , yxxy , 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy yxxy xyyx 22222 124 在 這 三 個 方 程 中 ， 兩 個 平 衡 方 程 已 經(jīng) 用 應(yīng) 力 表示 了 ， 尚 需 將 應(yīng) 變 表 示 的 變 形 連 續(xù) 方 程 改 為 用應(yīng) 力 來 表 示 ， 為 此 ， 將 物 理 方 程 121 )(1 )(1 xyxyxy xyy yxx EG EE xyxyxy xyy yxx EGEE 121 11 11 或 yxxy xyyx 22222代 入 變 形 連 續(xù) 方 程 即 可 。 125 進 一 步 可 由 物 理 方 程 求 應(yīng) 變 ， 再 通 過 幾 何 方 程xux yvy yuxvxy Yml yxy Xml yxx 把 所 得 結(jié) 果 再 與 平 衡 方 程 聯(lián) 立 求 解 ， 即 可 得 出三 個 應(yīng) 力 分 量 ， 同 時 使 它 們 滿 足 邊 界 條 件求 位 移 ， 使 其 滿 足 位 移 邊 界 條 件 。 126 第 三 章 有 限 元 分 析 的 數(shù) 學 基 礎(chǔ) 3.1 簡 單 問 題 的 解 析 求 解3.1.1 1D拉 壓 桿 問 題一 個 左 端 固 定 的 拉 桿 在 其 右 端 承 受 一 外 力 P， 該拉 桿 的 長 度 為 l， 橫 截 面 積 為 A， 彈 性 模 量 為 E，如 圖 所 示 。 128 （ 1） 基 本 變 量由 于 該 問 題 是 為 沿 x方 向 的 一 維 問 題 ， 因 此只 有 沿 x方 向 的 變 量 ， 而 其 它 變 量 為 零 。 即129 （ 2） 基 本 方 程對 原 三 維 問 題 的 所 有 基 本 方 程 進 行 簡 化 ，只 保 留 沿 x方 向 的 方 程 ， 有 該 問 題 的 三 大 基本 方 程 和 邊 界 條 件 如 下 ： 0 xx 130 xux 131 （ 3） 求 解對 方 程 進 行 直 接 求 解 ， 可 得 到 以 下結(jié) 果 132 其 中 c和 c1為 待 定 常 數(shù) ， 由 邊 界 條 件 BC和 ， 可 求 出 中 的 常 數(shù) c1=0，因 此 ， 有 最 后 的 結(jié) 果 ： 133 （ 4） 討 論 1若 用 經(jīng) 驗 方 法 求 解 （ 如 材 料 力 學 的 方 法 ） ，則 需 先 作 平 面 假 設(shè) ， 即 假 設(shè) 為 均 勻 分布 ， 則 可 得 到 再 由 虎 克 定 律 可 算 出 134 再 計 算 右 端 的 伸 長 量 為 經(jīng) 驗 方 法 求 解 的 結(jié) 果 與 彈 性 力 學 解 析的 結(jié) 果 完 全 一 致 。 135 （ 5） 討 論 2該 問 題 有 關(guān) 能 量 的 物 理 量 的 計 算 為應(yīng) 變 能外 力 功勢 能 136 3.1.2 平 面 梁 的 彎 曲 問 題受 分 布 載 荷 的 簡 支 梁 如 圖 所 示 ， 由 于 簡 支 梁 的厚 度 較 薄 ， 外 載 沿 厚 度 方 向 無 變 化 ， 該 問 題 可以 認 為 是 一 平 面 問 題 （ xoy） 137 （ 1） 基 本 方 程 的 建 立描 述 該 變 形 體 同 樣 應(yīng) 有 三 大 方 程 和 兩 類 邊 界條 件 ， 有 以 下 兩 種 方 法 來 建 立 基 本 方 程 。 用 彈 性 力 學 中 dxdy微 體 建 模 方 法 推 導 三 大方 程 用 簡 化 的 “ 特 征 建 模 ” 方 法 推 導 三 大 方 程 。(a)下 面 給 出 簡 化 的 “ 特 征 建 模 ” 方 法 的 推 導過 程 ， 其 思 想 是 用 工 程 宏 觀 特 征 量 進 行 描述 。 138 基 本 變 量 139 下 面 取 具 有 全 高 度 梁 的 dx ”微 段 ” 來 推 導 三大 方 程 140 針 對 圖 中 “ 微 段 ” ， 應(yīng) 有 三 個 平 衡 方 程 ，由 ， 有其 中 ， y為 距 梁 中 性 層 的 坐 標 。由 ， 有 ， 即- 141 由 ， 有 ， 即由 變 形 后 的 幾 何 關(guān) 系 ， 可 得 到其 中 ， y為 距 中 性 層 的 坐 標 ， 為 梁 撓 度 的曲 率 ， 即 142 由 虎 克 定 律對 以 上 方 程 進 行 整 理 ， 有 描 述 平 面 梁 彎 曲 問 題 的基 本 方 程將 原 始 基 本 變 量 定 為 中 性 層 的 撓 度 v(x)， 則 可 求 出 其它 參 量 。 143 該 簡 支 梁 的 邊 界 為 梁 的 兩 端 ， 作 用 在 梁 上 的 q(x)已在 平 衡 方 程 中 考 慮 ， 因 此 不 作 為 力 的 邊 界 條 件 。兩 端 位 移兩 端 力 （ 彎 矩 ） 144 將 彎 矩 以 撓 度 的 二 階 導 數(shù) 來 表 示 ， 即（ 2） 求 解若 用 基 于 dxdy微 體 所 建 立 的 原 始 方 程 （ 即 原 平 面應(yīng) 力 問 題 中 的 三 大 類 方 程 ） 進 行 直 接 求 解 ， 比 較麻 煩 ， 并 且 很 困 難 ， 若 用 基 于 以 上 簡 化 的 “ 特 征建 模 ” 方 法 所 得 到 的 基 本 方 程 進 行 直 接 求 解 則 比較 簡 單 ， 對 本 例 問 題 （ 如 為 均 勻 分 布 ） ， 其 方 程為 ： 145 這 是 一 個 常 微 分 方 程 ， 其 解 的 形 式 有 146 其 中 c0c3為 待 定 系 數(shù) ， 可 由 四 個 邊 界 條 件BC求 出 ， 最 后 有 結(jié) 果（ 3） 討 論該 問 題 有 關(guān) 能 量 的 物 理 量 計 算 為 ：應(yīng) 變 能 147 外 力 功勢 能 148 第 四 章 桿 梁 結(jié) 構(gòu) 的 有 限 元 分 析 原 理 本 章 提 到 的FEM即 有 限 元 方 法 (Finite Element Method)FEA即 有 限 元 分 析 (Finite Element Analysis)4.1 一 個 簡 單 結(jié) 構(gòu) FEA求 解 的 完 整 過 程一 個 階 梯 形 狀 的 二 桿 結(jié) 構(gòu) 如 圖 所 示 ， 其 材 料 的 彈 性模 量 和 結(jié) 構(gòu) 尺 寸 如 下 ： 150 該 結(jié) 構(gòu) 由 兩 根 桿 件 組 成 ， 作 為 一 種 直 覺 ， 需要 研 究 相 應(yīng) 的 “ 特 征 結(jié) 構(gòu) ” ， 即 桿 單 元 ， 將該 “ 特 征 結(jié) 構(gòu) ” 抽 象 為 具 有 兩 個 結(jié) 點 的 單 元 ，如 下 圖 所 示 。 151 e下 面 考 察 該 簡 單 問 題 的 FEA求 解 過 程 。(1) 離 散 化 兩 個 桿 單 元 ， 即 ： 單 元 和 單 元 152 (2) 單 元 的 特 征 及 表 達對 于 二 結(jié) 點 桿 單 元 ， 設(shè) 該 單 元 的 位 移 場 為 ， 那么 它 的 兩 個 結(jié) 點 條 件 為設(shè) 該 單 元 的 位 移 場 具 有 模 式 （ 考 慮 兩 個 待 定 系 數(shù) ）153 利 用 結(jié) 點 條 件 ， 可 以 確 定 系 數(shù) a0和 a1， 即將 系 數(shù) a0和 a1代 入 ， 可 將 表 達 成 結(jié) 點 位 移 (u1, u2)的 關(guān) 系 ， 即 154 其 中由 一 維 問 題 幾 何 方 程 和 物 理 方 程 ， 則 該 單 元的 應(yīng) 變 和 應(yīng) 力 為 155 其 中 156 單 元 的 勢 能其 中叫 做 單 元 剛 度 矩 陣 。 叫 做 單 元 結(jié) 點 外 載 。在 得 到 “ 特 征 單 元 ” 的 單 元 剛 度 矩 陣 和 單 元結(jié) 點 外 載 后 ， 就 可 以 計 算 該 單 元 的 勢 能 ， 因此 ， 計 算 各 單 元 的 矩 陣 和 是 一 個 關(guān)鍵 ， 下 面 就 本 題 給 出 了 個 單 元 的 和 。 具 體 就 單 元 ， 有單 元 的 結(jié) 點 位 移 向 量單 元 的 剛 度 矩 陣單 元 的 結(jié) 點 外 載其 中 P 1為 結(jié) 點 1的 支 反 力 。 具 體 就 單 元 ， 有單 元 的 剛 度 矩 陣單 元 的 結(jié) 點 外 載單 元 的 結(jié) 點 位 移 向 量 (3) 裝 配 集 成 以 得 到 系 統(tǒng) 的 總 體 勢 能計 算 整 體 的 勢 能 (4) 處 理 位 移 邊 界 條 件 并 求 解由 圖 可 知 ， 其 邊 界 條 件 為 左 端 固 定 ， 即u1=0， 將 該 條 件 代 入 總 體 勢 能 公 式 ， 有這 時 由 全 部 結(jié) 點 位 移 0 u2 u3分 段 所 插 值出 的 位 移 場 為 全 場 許 可 位 移 場 。 由 最 小 勢 能 原 理 （ 即 針 對 未 知 位 移 u2和 u3求一 階 導 數(shù) ） ， 有可 解 出 (5) 計 算 每 個 單 元 的 應(yīng) 變 及 應(yīng) 力在 求 得 了 所 有 的 結(jié) 點 位 移 后 ， 由 幾 何 方 程可 求 得 各 單 元 的 應(yīng) 變 由 方 程可 求 得 各 單 元 的 應(yīng) 力 (6) 求 結(jié) 點 1的 支 反 力就 單 元 的 勢 能 ， 對 相 應(yīng) 的 結(jié) 點 位 移 求 極 值 ， 可 以建 立 該 單 元 的 平 衡 方 程 ， 即有則 結(jié) 點 1的 外 力 為 ： (7) 討 論如 果 我 們 在 處 理 位 移 邊 界 條 件 之 前 ， 先 對 總 勢 能 取極 值 ， 有在 上 述 方 程 的 基 礎(chǔ) 上 ， 再 處 理 位 移 邊 界 條 件 (BC)，即 令 u 1=0， 即 可 從 上 述 方 程 求 出 u2， u3和 P1， 其 求 解的 值 與 前 面 的 結(jié) 果 完 全 相 同 。 這 就 給 我 們 提 供 了 一 個 方 便 ， 即 ， 可 以 先進 行 各 單 元 的 裝 配 集 成 ， 以 形 成 該 系 統(tǒng) 的整 體 極 值 方 程 ， 類 似 于 上 頁 的 式 子 ， 最 后才 處 理 位 移 邊 界 條 件 ， 同 時 也 可 以 通 過 該整 體 方 程 直 接 求 出 支 反 力 。 這 樣 可 以 適 應(yīng)更 多 的 邊 界 條 件 工 況 ， 更 具 有 通 用 性 。 4.2 有 限 元 分 析 的 基 本 步 驟 和 表 達 式從 上 面 的 簡 單 實 例 中 ， 可 以 總 結(jié) 出 有 限 元 分 析 的 基 本 思 路（ 以 桿 單 元 為 例 ） ： 單 元 的 位 移 （ 場 ） 模 式 （ 唯 一 確 定 性 原 則 ，完 備 性 原 則 ）基 本 步 驟 及 相 應(yīng) 的 表 達 式(1) 物 體 幾 何 的 離 散 化 單 元 的 結(jié) 點 描 述 為 具 有 特 征