[A級(jí)　雙基鞏固] 一、填空題 1．(2011·高考重慶卷改編)設(shè)a＝log，b＝log，c＝log3，則a，b，c大小關(guān)系為________． 解析：c＝log3＝log，又<<，且函數(shù)f(x)＝logx單調(diào)減，∴l(xiāng)og>log>log，即a>b>c. 答案：a>b>c 2．(2010·高考遼寧卷改編)設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝________. 解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝logm2＋logm5＝logm10. ∵＋＝2，∴l(xiāng)ogm10＝2，∴m2＝10，m＝. 答案： 3．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 解析：由已知條件可得A＝{x|log2x≤2}＝(0,4]，B＝(－∞，a)，若A?B，則a＞4，即得c＝4. 答案：4 4．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，則下列各式： ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn； ③logax＝－loga；④＝logax； ⑤＝loga；⑥loga＝－loga. 其中正確的有________個(gè)． 解析：由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，③⑤⑥正確，①②④錯(cuò)誤． 答案：3 5．log225·log32·log59＝________. 解析：log225·log32·log59 ＝2log25·log32·2log53＝6. 答案：6 6．已知函數(shù)f(x)＝，若方程f(x)＝k無(wú)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析： 畫出f(x)圖象如圖， 由圖可知k<lg. 答案：(－∞，lg) 7．若函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a＝________. 解析：當(dāng)x＝a時(shí)，f(a)＝1，f(2a)＝1＋loga2， 又∵y＝logax是減函數(shù)，∴f(a)＝3·f(2a)， 故3(1＋loga2)＝1，即loga2＝－，∴a＝. 答案： 8．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，則不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為________． 解析：∵函數(shù)y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1. ∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為{x|2＜x＜3}． 答案：{x|2＜x＜3} 二、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝loga(0＜a＜1)． (1)試判斷f(x)的奇偶性； (2)解不等式f(x)≥loga3x. 解：(1)＞0?－2＜x＜2. 故f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 且f(－x)＝loga＝loga()－1＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)≥loga3x?loga≥loga3x.∵0＜a＜1， 故? ?≤x≤1.即原不等式的解集為{x|≤x≤1}． 10．已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)(a＞0，a≠1，t∈R)． (1)當(dāng)t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2時(shí)，求a的值； (2)當(dāng)0＜a＜1，x∈[1,2]時(shí)， 有f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解：(1)當(dāng)t＝4時(shí)， F(x)＝g(x)－f(x)＝loga，x∈[1,2]， 令h(x)＝＝4(x＋＋2)，x∈[1,2]， 則h′(x)＝4(1－)＝≥0， ∴h(x)在[1,2]上是單調(diào)增函數(shù)， ∴h(x)min＝16，h(x)max＝18. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有F(x)min＝loga18， 令loga18＝2 求得a＝3＞1(舍去)； 當(dāng)a＞1時(shí)，有F(x)min＝loga 16， 令loga16＝2求得a＝4＞1.∴a＝4. (2)當(dāng)0＜a＜1，x∈[1,2]時(shí)，有f(x)≥g(x)恒成立， 即當(dāng)0＜a＜1，x∈[1,2]時(shí)，logax≥2loga(2x＋t－2)恒成立， 由logax≥2loga(2x＋t－2) 可得loga≥loga(2x＋t－2)， ∴≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋＋2. 設(shè)u(x)＝－2x＋＋2＝－2()2＋＋2 ＝－2(－)2＋， ∵x∈[1,2]，∴∈[1，]． ∴u(x)max＝u(1)＝1. ∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≥1. [B級(jí)　能力提升] 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2.∴3<2＋log23<4， ∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log28＋log23)＝f(log224)＝()log224＝2－log224＝2log2＝. 答案： 2．(2011·高考天津卷)已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________． 解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， 故ab≥2. ∴3a＋9b＝3a＋32b≥2·3(當(dāng)且僅當(dāng)3a＝32b，即a＝2b時(shí)等號(hào)成立)． 又∵a＋2b≥2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號(hào)成立)． ∴3a＋9b≥2×32＝18. 故a＝2b時(shí)，3a＋9b的最小值為18. 答案：18 3．閱讀下面一段材料，然后解答問題：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示“不超過x的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當(dāng)x是整數(shù)，[x]就是x，當(dāng)x不是整數(shù)時(shí)，[x]是點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯(Gauss)函數(shù)．如[－2]＝－2，[－1.5]＝－2，[2.5]＝2.求＋＋＋[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]的值為________． 解析：由題意知原式＝(－2)＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋1＋2＝－1. 答案：－1 4．設(shè)a＞1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax＋logay＝c，這時(shí)a的取值集合為________． 解析：由logax＋logay＝c(a＞1)，∴y＝. ∵a＞1，∴y＝在x∈[a,2a]上遞減， ∴ymax＝＝ac－1，ymin＝＝ac－1， ∵loga2＋2≤c≤3時(shí)，c值只有1個(gè)， ∴c＝3，即loga2＝1，故a＝2. 答案：{2} 二、解答題 5．對(duì)于函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)， (1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)若函數(shù)在[－1，＋∞)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (4)若函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－1]，求實(shí)數(shù)a的所有取值； (5)若函數(shù)在(－∞，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：設(shè)u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2. (1)∵u>0對(duì)x∈R恒成立， ∴umin＝3－a2>0. 故a的取值范圍為. (2)logu的值域?yàn)镽?u＝g(x)能取遍(0，＋∞)的一切值，因此umin＝3－a2≤0， 故a的取值范圍為(－∞，－]∪[，＋∞)． (3)函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)上有意義 ?u＝g(x)>0對(duì)x∈[－1，＋∞)恒成立， 因此應(yīng)按g(x)的對(duì)稱軸x＝a分類，則得： 或解這兩個(gè)不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，)． (4)∵函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－1]， ∴g(x)的值域是[2，＋∞)， 因此要求g(x)能取遍[2，＋∞)的一切值(而且不能多取)． 由于g(x)是連續(xù)函數(shù)， 所以命題等價(jià)于[g(x)]min＝3－a2＝2，故a＝±1. (5)函數(shù)在(－∞，1]上是增函數(shù)?g(x)在(－∞，1]上是減函數(shù)，且g(x)>0對(duì)x∈(－∞，1]恒成立， ?，故a的取值范圍為[1,2)． 6．已知函數(shù)f(x)＝lg(k∈R且k＞0)． (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若函數(shù)f(x)在[10，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍． 解：(1)由＞0及k＞0得＞0，即(x－)·(x－1)＞0.①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x＜1或x＞；②當(dāng)k＝1時(shí)，x∈R且x≠1；③當(dāng)k＞1時(shí)，x＜或x＞1. 綜上可得當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(，＋∞)；當(dāng)k＞1時(shí)， 函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，)∪(1，＋∞)；當(dāng)k＝1時(shí)，{x|x∈R，且x≠1}． (2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函數(shù)， ∴＞0，∴k＞. 又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故對(duì)任意的x1、x2， 當(dāng)10≤x1＜x2時(shí)，恒有f(x1)＜f(x2)， 即lg(k＋)＜lg(k＋)， ∴＜， ∴(k－1)·(－)＜0， 又∵＞，∴k－1＜0，∴k＜1. 綜上k的取值范圍為(，1)．