A級(jí)雙基鞏固一、填空題1已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是_解析：由橢圓第一定義得ABC的周長是4a4.答案：42若橢圓2kx2ky21的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，4)，則k的值為_解析：a2，b2，則c2.又c4，所以k.答案：3“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_條件解析：把橢圓方程化成1.若mn0，則0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上反之，若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則0即有mn0.故為充要條件答案：充要4中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x±4，離心率為的橢圓方程為_解析：e，x±±4，a2，c1，方程為1.答案：15(2010·高考廣東卷改編)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_解析：由題意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)答案：6設(shè)橢圓1(m1)上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，則P到右準(zhǔn)線的距離為_解析：m2m21，m2a2，m21b2.c21.又312aa2，dpl右2.答案：27動(dòng)圓C和定圓C1：x2(y4)264內(nèi)切而和定圓C2：x2(y4)24外切則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_解析：如圖，該動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，由已知得：|CC1|8r，|CC2|2r得：|CC1|CC2|10，點(diǎn)C的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a10,2c8.a5，c4，b3.動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.答案：18如圖所示，橢圓中心為O，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交OA延長線于B，P、Q在橢圓上，且PDl于D，QFOA于F，則橢圓離心率為：；.上述離心率正確的個(gè)數(shù)是_解析：觀察圖形知，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，則l必為左準(zhǔn)線，由橢圓的第二定義知：e，又QFBF，Q到l的距離d|BF|，而e；e，e；e.故以上五個(gè)比值均可以作為橢圓的離心率答案：5二、解答題9如圖，橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A(4，m)在橢圓E上，且·0，點(diǎn)D(2，0)到直線F1A的距離DH.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓E上的任意一點(diǎn)，求·的取值范圍解：(1)由題意知c4，F(xiàn)1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)sinAF1F2，DH，DF16，又·0，AF2，AF12a.則a2b2.由b2c2a2，得b216b2.b248，a264.橢圓E的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則1，即y248x2.(4x，y)，(2x，y)，·x2y22x8x22x40(x4)236.8x8，·的取值范圍是36,7210設(shè)橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P，Q，且.(1)求橢圓C的離心率；(2)若過A，Q，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線l：xy30相切，求橢圓C的方程解：(1)kAF，kAQ，AQ：yxb.點(diǎn)Q.又A(0，b)，設(shè)P(x0，y0)，則由，得(x0，y0b)，代入1，得1，解得e.(2)由(1)，知c，ba，橢圓方程為1，即3x24y23a2.此時(shí)，A，Q，F(xiàn).FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.此即過A，Q，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心，它的半徑r，又r，因此，a2，b，故橢圓C的方程為1.B級(jí)能力提升一、填空題1已知橢圓1(ab0)，A(2,0)為長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過橢圓的中心O，且·0，|2|，則橢圓的方程為_解析：|2|，|2|，又·0，AOC為等腰直角三角形又|OA|2，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1，1)，C點(diǎn)在橢圓上，1，又a24，b2，橢圓方程為1.答案：12(2012·蘇北五市調(diào)研)已知橢圓1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P(異于長軸的端點(diǎn))，使得csinPF1F2asinPF2F1，則該橢圓離心率的取值范圍是_解析：由題意PF2，因?yàn)閍cPF2acacac1e1e，又0e1，所以1e1.答案：(1,1)3已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，1)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_解析：如右圖所示，l為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M.由橢圓的方程易知e，即|MM|2|MF|，從而求|MP|2|MF|的最小值問題，便轉(zhuǎn)化為求|MP|MM|的最小值問題易知當(dāng)M、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，其和取最小值，即：由點(diǎn)P向準(zhǔn)線l作垂線，則與橢圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，代入橢圓的方程，有1，x2.由于點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，x.從而點(diǎn)M的坐標(biāo)為.答案：4我們把由半橢圓1(x0)與半橢圓1(x0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2b2c2，abc0)如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果園”與x，y軸的交點(diǎn)，若F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為_解析：由已知|F1F2|21，又因?yàn)镕0F1F2是邊長為1的等邊三角形，所以cos30°，即c2b2，解得b1，c2.所以a2，a0，所以a.答案：，1二、解答題5(2012·南通質(zhì)檢)設(shè)A、B是橢圓3x2y2上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)(1)確定的取值范圍，并求直線AB的方程；(2)求以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程解：(1)法一：依題意，顯然直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程yk(x1)3，代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3)x(k3)20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，所以4(k23)3(k3)20，且x1x2，由N(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，得1，所以k(k3)k23，解得k1，代入得，12，即的取值范圍是(12，)直線AB的方程為y3(x1)，即xy40.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.依題意，x1x2，所以kAB.因?yàn)镹(1,3)是線段AB的中點(diǎn)，所以x1x22，y1y26，從而kAB1.又N(1,3)在橢圓內(nèi)，所以3×123212，所以的取值范圍是(12，)直線AB的方程為y3(x1)，即xy40.(2)因?yàn)榫€段CD垂直平分線段AB，所以線段CD所在的直線方程為y3x1，即xy20，代入橢圓方程，整理得4x24x40，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，線段CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3、x4是方程的兩個(gè)不同的根，所以x3x41，且x0(x3x4)，y0x02，故M.又M到直線AB的距離d，所以以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程為：22.6(2012·南京調(diào)研)已知直線l：xmy1過橢圓C：1的右焦點(diǎn)F，拋物線x24y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且1，2，當(dāng)m變化時(shí)，探求12的值是否為定值？若是，求出12的值，否則，說明理由；(3)連結(jié)AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由解：(1)由題知橢圓右焦點(diǎn)為F(1,0)，c1，拋物線x24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，b，b23.a2b2c24.橢圓C的方程為1.(2)由題，知m0，且直線l與y軸交于點(diǎn)M.設(shè)直線l交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)144(m21)0，y1y2，y1·y2.又1，1(1x1，y1)，11，同理21.122.又×，1222·.所以，當(dāng)m變化時(shí)，12為定值，定值為.(3)先觀察，當(dāng)m0時(shí)，直線lx軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK的中點(diǎn)N，且N，猜想當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N.當(dāng)m0時(shí)，由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(4，y1)，E(4，y2)，則直線AE的方程為lAE：yy2·(x4)，當(dāng)x時(shí)，yy2·0.點(diǎn)N在直線AE上，同理可證，點(diǎn)N也在直線BD上，當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N.