第一部分 專題一 第三講 不等式及線性規(guī)劃A組1若a>b>0，c<d<0，則一定有( D )A>B<C> D<解析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯誤；，所以<，所以C錯誤故選D2下列不等式一定成立的是( C )Alg(x2)>lgx(x>0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D>1(xR)解析應(yīng)用基本不等式：x，y>0，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當x>0時，x22·x·x，所以lg(x2)lgx(x>0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sinx的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確3關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于( A )ABCD解析由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因a>0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2017·長春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(ex)>0的解集為( D )Ax|x<1或x>ln3Bx|1<x或x>ln3Cx|x>ln3Dx|x<ln3解析f(x)>0的解集為x|1<x<，則由f(ex)>0得1<ex<，解得x<ln3，即f(ex)>0的解集為x|x<ln35若變量x，y滿足則x2y2的最大值是( C )A4 B9 C10 D12解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè)P(x，y)為平面區(qū)域內(nèi)任意一點，則x2y2表示|OP|2.顯然，當點P與點A重合時，|OP|2取得最大值由，解得，故A(3，1)所以x2y2的最大值為32(1)210.故選C6(文)若實數(shù)x、y滿足不等式組則w的取值范圍是( D )A1， B，C，) D，1)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示據(jù)題意，即求點M(x，y)與點P(1,1)連線斜率的取值范圍由圖可知wmin，wmax<1，w，1)(理)已知O是坐標原點，點A(1,2)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是( D )A1,0 B0,1 C1,3 D1,4解析作出點M(x，y)滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當點M為點C(0,2)時，·取得最大值，即為(1)×02×24，當點M為點B(1,1)時，·取得最小值，即為(1)×12×11，所以·的取值范圍為1,4，故選D7某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種新產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( D )甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元解析設(shè)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z3x4y，由題意得x，y滿足：不等式組表示的可行域是以O(shè)(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點的四邊形及其內(nèi)部根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識，知當直線3x4yz0過點B(2,3)時，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元8已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是( C )A1,2 B(0，C，2 D(0,2解析因為logalog2a，所以f(log2a)f(loga)f(log2a)f(log2a)2f(log2a)，原不等式變?yōu)?f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)，又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上遞增，所以|log2a|1，即1log2a1，解得a2，故選C9已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a( B )A B C1 D2解析畫出可行域，如圖所示，由得A(1，2a)，則直線yz2x過點A(1，2a)時，z2xy取最小值1，故2×12a1，解得a.10已知x(0，)時，不等式9xm·3xm1>0恒成立，則m的取值范圍是( C )A22<m<22 Bm<2Cm<22 Dm22解析令t3x(t>1)，則由已知得函數(shù)f(t)t2mtm1的圖象在t(1，)上恒在x軸的上方，則對于方程f(t)0，有(m)24(m1)<0或解得m<22.11已知AC，BD為圓O：x2y24的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1，)，則四邊形ABCD面積的最大值為( A )A5 B10 C15 D20解析如圖，作OPAC于P，OQBD于Q，則OP2OQ2OM23，AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20.又AC2BD22AC·BD，則AC·BD10，S四邊形ABCDAC·BD×105，當且僅當ACBD時等號成立12函數(shù)f(x)若f(x0)，則x0的取值范圍是( C )A(log2，) B(0，log2，)C0，log2，2 D(log2，1)，2解析當0x0<1時，2x0，x0log2，0x0log2.當1x02時，42x0，x0，x02，故選C13(2018·衡水中學高三調(diào)研)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1lnx)|<1的解集是(，e2).解析|f(1lnx)|<1，1<f(1lnx)<1，f(3)<f(1lnx)<f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，0<1lnx<3，1<lnx<2，<x<e2.14若x，y滿足條件且z2x3y的最大值是5，則實數(shù)a的值為1.解析畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當直線z2x3y過點A(a，a)時，z2x3y取得最大值5，所以52a3a，解得a1.15(2018·贛州六校高三期末聯(lián)考)若點A(1,1)在直線2mxny20上，其中mn>0，則的最小值為.解析點A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，()(21)(32，當且僅當，即nm時取等號，的最小值為.16已知函數(shù)f(x)若對任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(，)1，).解析對于函數(shù)f(x)當x1時，f(x)(x)2；當x>1時，f(x)logx<0.則函數(shù)f(x)的最大值為.則要使不等式f(x)m2m恒成立，則m2m恒成立，即m或m1.B組1(2018·山東菏澤一模)已知直線axbyc10(b，c>0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是( A )A9 B8 C4 D2解析圓x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1)因為直線axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a×0b×1c10，即bc1.因此(bc)()5.因為b，c>0，所以24.當且僅當時等號成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時，取得最小值9.2(2018·天津二模)已知函數(shù)f(x)，則不等式f(1x2)>f(2x)的解集是( D )Ax|1<x<1Bx|x<1或x>1Cx|1<x<1Dx|x<1或x>1解析由f(x)可得當x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則由f(1x2)>f(2x)可得或解得x<1或1<x或x>，所以不等式f(1x2)>f(2x)的解集是x|x<1或x>13已知x，y滿足約束條件 若zaxy的最大值為4，則a( B )A 3 B 2 C 2 D 3解析由約束條件可畫可行域如圖，解得A(2,0)，B(1,1)若過點A(2,0)時取最大值4，則a2，驗證符合條件；若過點B(1,1)時取最大值4，則a3，而若a3，則z3xy最大值為6(此時A(2,0)是最大值點)，不符合題意. (也可直接代入排除)4(2018·德州模擬)若a，b，c，則( C )Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c解析易知a，b，c均為正數(shù)，log89>1，所以b>a，log2532>1，所以a>c，故b>a>c.5已知正項等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項am，an使得4a1，則的最小值為( A )A B C D不存在解析由an>0，a7a62a5，設(shè)an的公比為q，則a6qa6，所以q2q20.因為q>0，所以q2，因為4a1，所以a·qmn216a，所以mn24，所以mn6，所以(mn)()(5)(52)，等號在，即n2m4時成立6若變量x，y滿足則點P(2xy，xy)表示區(qū)域的面積為( D )A B C D1解析令2xya，xyb，解得代入x，y的關(guān)系式得畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖易得陰影區(qū)域面積S×2×11.7(2018·臨沂模擬)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是( D )A，) B(0,1C1，) D(0,1，)解析不等式組表示區(qū)域如圖由圖可知，0<a1或a.8(2018·青島一模)已知x(0，)，且函數(shù)f(x)的最小值為b，若函數(shù)g(x)則不等式g(x)1的解集為( B )A(，) B，)C， D(，解析依題意知，當x(0，)時，f(x)(3tanx)，當且僅當3tanx，即tanx，x時取等號，因此b，不等式g(x)1等價于，或<x<解得x，因此不等式g(x)1的解集是，(，)，)9已知一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，則f(10x)>0的解集為x|x<lg_2.解析由題意知，一元二次不等式f(x)<0的解集為x|x<1或x>，因為f(10x)>0，所以1<10x<，即x<lg lg 2.10設(shè)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為(，2.解題提示根據(jù)分段函數(shù)的定義找出f(0)的表達形式，再利用f(0)是f(x)的最小值，求出a的取值范圍解析當x>0時，f(x)x2，若f(0)是f(x)的最小值，則f(0)a2.11已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)且f(1)2，當x1、x21,1，且x1x20時，有>0，若f(x)m22am5對所有x1,1、a1,1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是1,1.解析f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，當x1、x21,1且x1x20時，>0等價于>0，f(x)在1,1上單調(diào)遞增f(1)2，f(x)minf(1)f(1)2.要使f(x)m22am5對所有x1,1，a1，1恒成立，即2m22am5對所有a1,1恒成立，m22am30，設(shè)g(a)m22am3，則即1m1.實數(shù)m的取值范圍是1,112(2017·天津卷，16)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解析(1)由已知x，y滿足的數(shù)學關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得則點M的坐標為(6,3)所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多