第一部分 專題一 第二講 向量運算與復數(shù)運算、算法、推理與證明A組1(2017·全國卷，1)( D )A12iB12iC2iD2i解析2i.故選D2(文)已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)( C )A2i B2i C12i D12i解析12i，故選C(理)若(12ai)i1bi，其中a、bR，則|abi|( C )Ai B C D 解析(12ai)i2ai1bi，a，b1，|abi|i |.3(2018·濟南二模)已知數(shù)列an，觀察如圖所示的程序框圖，若輸入a11，d2，k7，則輸出的結果為( C )A B C D解析由題中程序框圖知，輸出S×(1).4設向量a，b滿足|ab|，a·b4，則|ab|( C )A B2 C2 D解析向量的數(shù)量積|ab|，a·b4，|ab|2|ab|24a·b16，|ab|2，故選C5設xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|( B )A B C2 D10解析ab，a·b0，x20，x2，ab(3，1)，|ab|.6(2018·大連一模)某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預計第10年樹的分枝數(shù)為( D )A21 B34C52 D55解析由題意可得，這種樹從第一年的分枝數(shù)分別是1,1,2,3,5，則211,312,523，即從第三項起，每一項都等于前兩項的和，所以第10年樹的分枝數(shù)是213455.故選D7下面框圖所給的程序運行結果為S28，那么判斷框中應填入的關于k的條件是( D )Ak8? Bk7?Ck<7? Dk>7?解析開始k10，S1，滿足條件S11011，k1019，滿足條件S11920，k918，滿足條件S20828，k817.由于輸出S的值為28，故k7不再滿足條件，故選D8設D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC、CA、AB的中點，則( A )A B C D解析如圖，()()()().選A9對任意向量a，b，下列關系式中不恒成立的是( B )A|a·b|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)·(ab)a2b2解析由|a·b|a|·|b|·cos|，因為1cos1，所以|a·b|a|b|恒成立；由向量減法的幾何意義結合三角形的三邊關系可得|ab|a|b|，故B選項不成立；根據向量數(shù)量積的運算律C，D選項恒成立1036的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為3622×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1332)(22×32×32)(2222×322×32)(1222)(1332)91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為( C )A201 B411 C465 D565解析200的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為20023×52，所以200的所有正約數(shù)之和為(122223)·(1552)465，所以200的所有正約數(shù)之和為465.11設aR，若復數(shù)(1i)(ai)在復平面內對應的點位于實軸上，則a1.解析(1i)(ai)(a1)(a1)i，所以a10，a1.12已知a(1,2)，b(2，m)，若ab，則|2a3b|等于4.解析由abm40，解得m4，故2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)，因此|2a3b|4.13已知ABC的面積為2，且B，則·4.解析設ABC的三角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則SacsinBac2，即ac8，·|·cos(B)cacos8×4.14執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值為13.解析第一次執(zhí)行程序，滿足條件x2，x112；第二次執(zhí)行程序，不滿足條件x2，y3×22113，輸出y13，結束答案為13.15(2018·聊城一模)觀察等式：f()f()1；f()f()f()；f()f()f()f()2；f()f()f()f()f()；由以上幾個等式的規(guī)律可猜想f()f()f()f()1_009.解析從所給四個等式看：等式右邊依次為1，2，將其變?yōu)椋梢缘玫接疫吺且粋€分數(shù)，分母為2，分子與左邊最后一項中自變量的分子相同，所以f()f()f()f()1 009.B組1設復數(shù)z11i，z22bi，若為實數(shù)，則實數(shù)b等于( D )A2 B1 C1 D2解析，若其為實數(shù)，則有0，解得b2.2(文)(2018·石景山檢測)已知復數(shù)z(a21)(a1)i，若z是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于( B )A2 B1 C0 D1解析z為純虛數(shù)，a1.(理)已知復數(shù)z11i，z2ai，若z1·z2為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為( B )A1 B1 C2 D2解析z1·z2(a1)(a1)i為純虛數(shù)，a1.3(2017·全國卷，4)設非零向量a，b滿足|ab|ab|，則( A )Aab B|a|b| Cab D|a|>|b|解析方法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a·ba2b22a·b.a·b0.ab.故選A方法二：利用向量加法的平行四邊形法則在ABCD中，設a，b，由|ab|ab|知|，|AC|DB|從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.故選A4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為( B )A1 B2 C3 D4解析輸入a1，則b1，第一次循環(huán)，a，k1；第二次循環(huán)，a2，k2；第三次循環(huán)，a1，此時ab，結束循環(huán)，輸出k2.故選B5(2018·濰坊一模)若復數(shù)zm(m1)(m1)(m2)i是純虛數(shù)，其中m是實數(shù)，i21，則等于( D )A B C D解析因為復數(shù)zm(m1)(m1)·(m2)i是純虛數(shù)，所以m(m1)0且(m1)(m2)0，所以m0，則.6設向量a，b滿足|a|b|ab|1，則|atb|(tR)的最小值為( A )A B C1 D2解析由于|a|b|ab|1，于是|ab|21，即a22a·bb21，即a·b.|atb|2a22ta·bt2b2(1t2)2ta·bt2t1，故|atb|的最小值為.7如圖所示將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，nN)個點，相應的圖案中總的點數(shù)記為an，則( C )A BC D解析每條邊有n個點，所以三條邊有3n個點，三角形的3個頂點都被重復計算了一次，所以減3個頂點，即an3n3，那么，則()()()()1.故選C8中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x2，n2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s( C )A7 B12 C17 D34解析由程序框圖知，第一次循環(huán)：x2，n2，a2，s0×222，k1；第二次循環(huán)：a2，s2×226，k2；第三次循環(huán)：a5，s6×2517，k3.結束循環(huán)，輸出s的值為17，故選C9設復數(shù)z的共軛復數(shù)為，若z1i(i為虛數(shù)單位)，則z2的虛部為1.解析z1i(i為虛數(shù)單位)，z2(1i)22i2ii，故其虛部為1.10(文)(2018·廈門聯(lián)考)劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去西安參加自主招生考試，考試結束后劉老師向四名學生了解考試情況四名學生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”乙說：“我們四人中有人考得好”丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”丁說：“我沒考好”結果，四名學生中有兩人說對了，則這四名學生中的乙，丙兩人說對了解析甲與乙的關系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果選丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確故答案為乙，丙(理)(2018·湖北七市聯(lián)考)觀察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)·(n3)；可以推測，1515n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)(n4)(nN*).解析根據式子中的規(guī)律可知，等式右側為n(n1)(n2)(n3)(n4)n(n1)(n2)(n3)(n4)(nN*)11(2017·江蘇卷，4)如圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為，則輸出y的值是2.解析輸入x<1，執(zhí)行y2log2242，故輸出y的值為2.12如圖所示，A、B、C是圓O上的三點，線段CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若mn，則mn的取值范圍是(1,0).解析根據題意知，線段CO的延長線與線段BA的延長線的交點為D，則t.D在圓外，t<1，又D、A、B共線，存在、，使得，且1，又由已知，mn，tmtn，mn，故mn(1,0)