第17練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象例1下面四個(gè)圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則f(1)_.破題切入點(diǎn)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)圖象，從而求出a的值然后代入1求得函數(shù)值答案或解析f(x)x22axa21，f(x)的圖象開(kāi)口向上，則排除若圖象不過(guò)原點(diǎn)，則f(x)的圖象為，此時(shí)a0，f(1)；若圖象過(guò)原點(diǎn)，則f(x)的圖象為，此時(shí)a210，又對(duì)稱(chēng)軸xa>0，a1，f(1).題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根例2設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2ax，g(x)2x24xc.(1)試判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若a1，當(dāng)x3,4時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍破題切入點(diǎn)(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)找出極值點(diǎn)、對(duì)a討論看圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象求解解(1)f(x)x3ax2axx(x2axa)，令f(x)0，得x0或x2axa0.(*)顯然方程(*)的根的判別式(a)24××(a)a2aa(a)當(dāng)a<或a>0時(shí)，>0，方程(*)有兩個(gè)非零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，0，方程(*)有兩個(gè)相等的非零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，0，方程(*)有兩個(gè)相等的零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)<a<0時(shí)，<0，方程(*)沒(méi)有實(shí)根，此時(shí)函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)綜上所述：當(dāng)a<或a>0時(shí)，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)<a0時(shí)，函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)(2)設(shè)f(x)g(x)，則x3ax2ax2x24xc，因?yàn)閍1，所以cx3x23x.設(shè)F(x)x3x23x，x3,4，則F(x)x22x3，令F(x)0，解得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F(x)的變化情況如下表：x3(3，1)1(1，3)3(3，4)4F(x)00F(x)99由此可知F(x)在3，1，3,4上是增函數(shù)，在1,3上是減函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值F(1)；當(dāng)x3時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值F(3)9，而F(3)9，F(xiàn)(4).如果函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)F(x)與yc的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以<c<或c9.題型三導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.破題切入點(diǎn)考查圓柱及球的表面積與體積求法，函數(shù)關(guān)系式的建立及實(shí)際問(wèn)題中定義域的求解，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值等問(wèn)題解(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0<r2.所以建造費(fèi)用y2rl×34r2c2r×(r)×34r2c，因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0<r2.由于c>3，所以c2>0.當(dāng)r30時(shí)，r .令 m，則m>0，所以y(rm)(r2rmm2)當(dāng)0<m<2，即c>時(shí)，當(dāng)rm時(shí)，y0；當(dāng)r(0，m)時(shí)，y<0；當(dāng)r(m,2)時(shí)，y>0，所以rm是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)當(dāng)m2，即3<c時(shí)，當(dāng)r(0,2)時(shí)，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)3<c時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r2；當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r .總結(jié)提高(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象或方程的根、零點(diǎn)等問(wèn)題，一般都是先求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，然后再畫(huà)出函數(shù)的大致圖象(2)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要注意：函數(shù)的定義域；極值和最值的區(qū)別；最后還原到實(shí)際問(wèn)題中作答1已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析f(x)x36x29xabc，a<b<c，f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)，函數(shù)f(x)和導(dǎo)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示：由圖得f(1)169abc4abc>0，f(3)275427abcabc<0，且f(0)abcf(3)<0，所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.2.若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能為_(kāi)答案解析根據(jù)f(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除；從適合f(x)0的點(diǎn)可以排除.3已知aln x對(duì)任意x，2恒成立，則a的最大值為_(kāi)答案0解析設(shè)f(x)ln x，則f(x).當(dāng)x，1)時(shí)，f(x)<0，故函數(shù)f(x)在，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1,2時(shí)，f(x)>0，故函數(shù)f(x)在(1,2上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值為0.4函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)2，對(duì)任意xR，f(x)f(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex1的解集為_(kāi)答案(0，)解析構(gòu)造函數(shù)g(x)ex·f(x)ex，因?yàn)間(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)ex>exex0，所以g(x)ex·f(x)ex為R上的增函數(shù)又因?yàn)間(0)e0·f(0)e01，所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>g(0)，解得x>0.5關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(4,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0.所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，即f(0)a，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值，即f(2)4a.所以解得4<a<0.6已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的四個(gè)命題：x1045f(x)1221函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)在0,2上是減函數(shù)；如果當(dāng)x1，t時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；當(dāng)1<a<2時(shí)，函數(shù)yf(x)a有4個(gè)零點(diǎn)其中真命題的個(gè)數(shù)是_答案1解析首先排除，不能確定周期性；f(x)在0,2上時(shí)，f(x)<0，故正確；當(dāng)x1，t時(shí)，f(x)的最大值是2，結(jié)合原函數(shù)的單調(diào)性知0t5，所以排除；不能確定在x2時(shí)函數(shù)值和a的大小，故不能確定幾個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤7已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案(，2ln 22解析函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，即方程ex2xa0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)2xex，ya有交點(diǎn)，而g(x)2ex，易知函數(shù)g(x)2xex在(，ln 2)上遞增，在(ln 2，)上遞減，因而g(x)2xex的值域?yàn)?，2ln 22，所以要使函數(shù)g(x)2xex，ya有交點(diǎn)，只需a2ln 22即可8某名牌電動(dòng)自行車(chē)的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系：yx3x240x(x>0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為_(kāi)答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，解得x40或x1(舍)當(dāng)x>40時(shí)，y>0，當(dāng)0<x<40時(shí)，y<0，所以當(dāng)x40時(shí)，y最小9把一個(gè)周長(zhǎng)為12 cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為_(kāi)答案21解析設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r，圓柱體積V2x(x312x236x)(0<x<6)，V(x2)(x6)當(dāng)x2時(shí)，V最大此時(shí)底面周長(zhǎng)為6x4,4221.10(2013·重慶)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大解(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2rh200rh元，底面的總成本為160r2元所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大11(2013·江蘇)已知函數(shù)f(x)exex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)已知正數(shù)a滿足：存在x01，)，使得f(x0)<a(x3x0)成立試比較ea1與ae1的大小，并證明你的結(jié)論(1)證明因?yàn)閷?duì)任意xR，都有f(x)exe(x)exexf(x)，所以f(x)是R上的偶函數(shù)(2)解由條件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立令tex(x>0)，則t>1，所以m對(duì)任意t>1成立因?yàn)閠11213，所以，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即xln 2時(shí)等號(hào)成立因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(3)解令函數(shù)g(x)exa(x33x)，則g(x)ex3a(x21)當(dāng)x1時(shí)，ex>0，x210，又a>0，故g(x)>0.所以g(x)是1，)上的單調(diào)增函數(shù)，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)<0成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)<0.故ee12a<0，即a>.令函數(shù)h(x)x(e1)ln x1，則h(x)1.令h(x)0，得xe1.當(dāng)x(0，e1)時(shí)，h(x)<0，故h(x)是(0，e1)上的單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x(e1，)時(shí)，h(x)>0，故h(x)是(e1，)上的單調(diào)增函數(shù)，所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以當(dāng)x(1，e1)(0，e1)時(shí)，h(e1)h(x)<h(1)0；當(dāng)x(e1，e)(e1，)時(shí)，h(x)<h(e)0.所以h(x)<0對(duì)任意的x(1，e)成立當(dāng)a(1，e)時(shí)，h(a)<0，即a1>(e1)ln a，從而ea1<ae1；當(dāng)ae時(shí)，ea1ae1；當(dāng)a(e，)(e1，)時(shí)，h(a)>h(e)0，即a1>(e1)ln a，故ea1>ae1.綜上所述，當(dāng)a時(shí)，ea1<ae1；當(dāng)ae時(shí)，ea1ae1；當(dāng)a(e，)時(shí)，ea1>ae1.12(2013·陜西)已知函數(shù)f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(2)證明：曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(diǎn)；(3)設(shè)a<b，比較f與的大小，并說(shuō)明理由(1)解f(x)的反函數(shù)為g(x)ln x，設(shè)所求切線的斜率為k，g(x)，kg(1)1.于是在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為yx1.(2)證明方法一曲線yex與yx2x1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)(x)exx2x1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(0)110，(x)存在零點(diǎn)x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，則h(x)ex1，當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0，(x)在(，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增(x)在x0處有唯一的極小值(0)0，即(x)在R上的最小值為(0)0.(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，(x)在R上是單調(diào)遞增的，(x)在R上有唯一的零點(diǎn)，故曲線yf(x)與yx2x1有唯一的公共點(diǎn)方法二ex>0，x2x1>0，曲線yex與yx2x1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線y與y1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)(x)，則(0)1，即x0時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)又(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，(x)在R上單調(diào)遞減，(x)與y1有唯一的公共點(diǎn)，故曲線yf(x)與yx2x1有唯一的公共點(diǎn)(3)解feee(ba)設(shè)函數(shù)u(x)ex2x(x0)，則u(x)ex2220，u(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，u(x)單調(diào)遞增當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)0.令x，則ee(ba)>0，>f.