第36練直線與圓錐曲線問題題型一直線和橢圓的位置關(guān)系例1如圖所示，橢圓C1：1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：yx2b截得的線段長等于C1的短軸長C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求證：MAMB；(3)記MAB，MDE的面積分別為S1，S2，若，求的取值范圍破題切入點(diǎn)(1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1，C2的方程(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明(3)將S1和S2分別表示出來，利用基本不等式求最值(1)解由題意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲線C2的方程：yx21，橢圓C1的方程：y21.(2)證明設(shè)直線AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知M(0，1)則x2kx10，·(x1，y11)·(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以MAMB.(3)解設(shè)直線MA的方程：yk1x1，直線MB的方程：yk2x1，由(2)知k1k21，M(0，1)，由解得或所以A(k1，k1)同理，可得B(k2，k1)故S1MA·MB·|k1|k2|.由解得或所以D(，)同理，可得E(，)故S2MD·ME·，則的取值范圍是，)題型二直線和雙曲線的位置關(guān)系例2已知雙曲線C：x2y21及直線l：ykx1.(1)若l與C有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值破題切入點(diǎn)(1)聯(lián)立方程組，利用>0求出k的取值范圍(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解解(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點(diǎn)，則方程組有兩個不同的實(shí)數(shù)根，整理得(1k2)x22kx20.解得<k<且k±1.雙曲線C與直線l有兩個不同的交點(diǎn)時，k的取值范圍是(，1)(1,1)(1，)(2)設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l與y軸交于點(diǎn)D(0，1)，由(1)知，C與l聯(lián)立的方程為(1k2)x22kx20.當(dāng)A，B在雙曲線的一支上且|x1|>|x2|時，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k±.又<k<，且k±1，當(dāng)k0或k±時，AOB的面積為.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知雙曲線M：1(a>0，b>0)的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e，且SABF1.拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F.(1)求雙曲線M和拋物線N的方程；(2)設(shè)動直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點(diǎn)？如果是，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問題來解決解(1)在雙曲線中，c，由e，得，解得ab，故c2b.所以SABF(ca)×b(2bb)×b1，解得b1.所以a，c2，其上焦點(diǎn)為F(0,2)所以雙曲線M的方程為x21，拋物線N的方程為x28y.(2)由(1)知拋物線N的方程為yx2，故yx，拋物線的準(zhǔn)線為y2.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且直線l的方程為yxx0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q(，2)假設(shè)存在點(diǎn)R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點(diǎn)，也就是·0對于滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，2y1)，由·0，得x0·(y0y1)(2y1)0，整理得2y0y0y12y1y0，即(y2y18)(2y1)y00，(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立，所以解得y12.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)總結(jié)提高直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，萬變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來加以解決1已知圓C：(x1)2y28，定點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足2，·0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)若直線ykx與(1)中所求點(diǎn)N的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且·，求k2的取值范圍解(1)如圖所示，連結(jié)NA.由2，·0，可知NP所在直線為線段AM的垂直平分線，所以NANM，所以NCNANCNM2>2CA，所以動點(diǎn)N的軌跡是以C(1,0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長為2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲線E的方程為y21.(2)設(shè)F(x1，y1)，H(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k2>0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由·，得，解得k21.2(2013·廣東)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動時，求AF·BF的最小值解(1)依題意知，c>0，解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20，又點(diǎn)P(x0，y0)在切線PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解，所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知AFy11，BFy21，所以AF·BF(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，AF·BFy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，當(dāng)y0時，AF·BF取得最小值，且最小值為.3(2013·浙江)如圖，點(diǎn)P(0，1)是橢圓C1：1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2y24的直徑l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時直線l1的方程解(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點(diǎn)O到直線l1的距離d，所以AB22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以PD.設(shè)ABD的面積為S，則S·AB·PD，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1.4已知雙曲線E：1(a>0，b>0)的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線xy0相切(1)求雙曲線E的方程；(2)已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過點(diǎn)M任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)(P在Q點(diǎn)左側(cè))，使·為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)由題意知a，a.又2c4，c2，b1.雙曲線E的方程為y21.(2)當(dāng)直線為y0時，則P(，0)，Q(，0)，F(xiàn)(2,0)，·(2,0)·(2,0)1.當(dāng)直線不為y0時，可設(shè)l：xtym(t±)代入E：y21，整理得(t23)y22mtym230(t±)(*)由>0得m2t2>3.設(shè)方程(*)的兩個根為y1，y2，滿足y1y2，y1y2，·(ty1m2，y1)·(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.當(dāng)且僅當(dāng)2m212m153時，·為定值，解得m13，m23(舍去)綜上，過定點(diǎn)M(3，0)任意作一條直線交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，使·1為定值5已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且AB9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值解(1)直線AB的方程是y2(x)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以x1x2.由拋物線定義得ABx1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.(2)由p4，知4x25pxp20可化為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)設(shè)(x3，y3)(1，2)(4,4)(41，42)，又y8x3，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2.6(2014·遼寧)圓x2y24的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為P(如圖)雙曲線C1：1過點(diǎn)P且離心率為.(1)求C1的方程；(2)橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求l的方程解(1)設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則切線斜率為，切線方程為yy0(xx0)，即x0xy0y4，此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S··.由xy42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時，x0y0有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)由題意知解得故C1的方程為x21.(2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，由此設(shè)C2的方程為1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程為1.顯然，l不是直線y0.設(shè)l的方程為xmy，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又設(shè)y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因?yàn)?x1，y1)，(x2，y2)，由題意知·0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，將代入整理得2m22m4110，解得m1或m1.因此直線l的方程為x(1)y0或x(1)y0.