第18練存在與恒成立問(wèn)題題型一不等式的恒成立問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)ax1ln x，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，對(duì)x(0，)，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍破題切入點(diǎn)有關(guān)不等式的恒成立求參數(shù)范圍的問(wèn)題，通常采用的是將參數(shù)分離出來(lái)的方法解(1)在區(qū)間(0，)上，f(x)a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0恒成立，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0得x，在區(qū)間(0，)上，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x1處取得極值，所以f(1)0，解得a1，經(jīng)檢驗(yàn)可知滿足題意由已知f(x)bx2，即x1ln xbx2，即1b對(duì)x(0，)恒成立，令g(x)1，則g(x)，易得g(x)在(0，e2上單調(diào)遞減，在e2，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(e2)1，即b1.題型二存在性問(wèn)題例2已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在x±1處取得極值，且在x0處的切線的斜率為3.(1)求f(x)的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)A(2，m)可作曲線yf(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍破題切入點(diǎn)(1)利用極值處導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f(x)(2)借助導(dǎo)數(shù)幾何意義表示切線方程，然后分離參數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求m的范圍解(1)f(x)3ax22bxc.依題意又f(0)3，c3，a1，f(x)x33x.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x3x0)，f(x)3x23.f(x0)3x3.切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)又切線過(guò)點(diǎn)A(2，m)m(x3x0)(3x3)(2x0)m2x6x6.令g(x)2x36x26，則g(x)6x212x6x(x2)，由g(x)0得x0或x2.g(x)極小值g(0)6，g(x)極大值g(2)2.畫出草圖如圖當(dāng)6<m<2時(shí)，m2x36x26有三解即可作曲線yf(x)的三條切線題型三存在與恒成立的綜合性問(wèn)題例3已知a>0，函數(shù)f(x)ln xax2，x>0.(f(x)的圖象連續(xù)不斷)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a時(shí)，證明：存在x0(2，)，使f(x0)f；(3)若存在均屬于區(qū)間1,3的，且1，使f()f()，證明：.破題切入點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解不等式函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，既有存在，又有恒成立問(wèn)題(1)解f(x)2ax，x(0，)，令f(x)0，解得x，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)0f(x)極大值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明當(dāng)a時(shí)，f(x)ln xx2.由(1)知f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減令g(x)f(x)f，由于f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，故f(2)>f，即g(2)>0.取xe>2，則g(x)<0.所以存在x0(2，x)，使g(x0)0，即存在x0(2，)，使f(x0)f.(說(shuō)明：x的取法不唯一，只要滿足x>2，且g(x)<0即可)(3)證明由f()f()及(1)的結(jié)論知<<，從而f(x)在，上的最小值為f()又由1，1,3，知123.故即從而a.總結(jié)提高(1)存在與恒成立兩個(gè)熱點(diǎn)詞匯在高考中頻繁出現(xiàn)，關(guān)鍵要把握兩個(gè)詞語(yǔ)的本質(zhì)：存在即存在量詞，“有的”意思；恒成立即全稱量詞，“任意的”意思(2)解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題(3)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用在求解參數(shù)范圍中體現(xiàn)的淋漓盡致，將參數(shù)分離出來(lái)，另一側(cè)設(shè)為函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解另一側(cè)函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題1(2013·課標(biāo)全國(guó)改編)若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是_答案(1，)解析2x(xa)<1，a>x.令f(x)x，f(x)12xln 2>0.f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)011，a的取值范圍為(1，)2已知函數(shù)f(x)2ax33ax21，g(x)x，若任意給定的x00,2，總存在兩個(gè)不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)解析當(dāng)a0時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a>0時(shí)，注意到f(x)6ax26ax6ax(x1)，即f(x)在0,1上是減函數(shù)，在1,2上是增函數(shù)，又f(0)1<g(0)，當(dāng)x00時(shí)，結(jié)論不可能成立；進(jìn)一步，可知a<0，此時(shí)g(x)在0,2上是增函數(shù)，且取值范圍是，同時(shí)f(x)在0x1時(shí)，函數(shù)值從1增大到1a，在1x2時(shí)，函數(shù)值從1a減少到14a，所以“任意給定的x00,2，總存在兩個(gè)不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立”當(dāng)且僅當(dāng)即解得a<1.3(2014·課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)函數(shù)f(x)sin.若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足xf(x0)2<m2，則m的取值范圍是_答案(，2)(2，)解析f(x)sin 的極值點(diǎn)即為函數(shù)圖象中的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知T2m，x0km(kZ)假設(shè)不存在這樣的x0，即對(duì)任意的x0都有xf(x0)2m2，則(km)23m2，整理得m2(k2k)30，即k2k恒成立，因?yàn)閥k2k的最小值為(當(dāng)k1或0時(shí)取得)，故2m2，因此原存在性命題成立的條件是m>2或m<2.4(2014·山東改編)已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是_>； ln(x21)>ln(y21)；sin x>sin y; x3>y3.答案解析因?yàn)?<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，中，當(dāng)x1，y0時(shí)，<1，不成立中，當(dāng)x0，y1時(shí)，ln 1<ln 2，不成立中，當(dāng)x0，y時(shí)，sin xsin y0，不成立中，因?yàn)楹瘮?shù)yx3在R上是增函數(shù)，故正確5若函數(shù)f(x)ln xax22x(a0)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1<a<0或a>0解析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)(x>0)依題意，得f(x)<0在(0，)上有解，即ax22x1>0在(0，)上有解，44a>0且方程ax22x10至少有一個(gè)正根，a>1，又a0，1<a<0或a>0.6(2014·遼寧改編)當(dāng)x2,1時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案6，2解析當(dāng)x0時(shí)，ax3x24x30變?yōu)?0恒成立，即aR.當(dāng)x(0,1時(shí)，ax3x24x3，a，amax.設(shè)(x)，(x)>0，(x)在(0,1上遞增，(x)max(1)6.a6.當(dāng)x2,0)時(shí)，a，amin.仍設(shè)(x)，(x).當(dāng)x2，1)時(shí)，(x)<0，當(dāng)x(1,0)時(shí)，(x)>0.當(dāng)x1時(shí)，(x)有極小值，即為最小值而(x)min(1)2，a2.綜上知6a2.7設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對(duì)于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案4解析若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0時(shí)，即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.即g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間(0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，1上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg()4，從而a4.當(dāng)x<0，即x1,0)時(shí)，同理a.g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)4，從而a4，綜上可知a4.8(2014·江蘇)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(，0)解析作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有即解得<m<0.9已知函數(shù)f(x)x，g(x)x22ax4，若對(duì)于任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析由于f(x)1>0，因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以x0,1時(shí)，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，則要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函數(shù)h(x)在x1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)minh(2)，故只需a.10(2014·浙江)已知函數(shù)f(x)x33|xa|(a>0)，若f(x)在1,1上的最小值記為g(a)(1)求g(a)；(2)證明：當(dāng)x1,1時(shí)，恒有f(x)g(a)4.(1)解因?yàn)閍>0，1x1.所以當(dāng)0<a<1時(shí)，若x1，a，則f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1，a)上是減函數(shù)；若xa,1，則f(x)x33x3a，f(x)3x23>0，故f(x)在(a,1)上是增函數(shù)所以g(a)f(a)a3.當(dāng)a1時(shí)，有xa，則f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1,1)上是減函數(shù)，所以g(a)f(1)23a.綜上，g(a)(2)證明令h(x)f(x)g(a)當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)a3.若xa,1，則h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(a,1)上是增函數(shù)，所以，h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0<a<1，所以h(1)4.故f(x)g(a)4.若x1，a，則h(x)x33x3aa2，h(x)3x23，所以h(x)在(1，a)上是減函數(shù)，所以，h(x)在1，a上的最大值是h(1)23aa3.令t(a)23aa3，則t(a)33a2>0，知t(a)在(0,1)上是增函數(shù)所以，t(a)<t(1)4，即h(1)<4.故f(x)g(a)4.當(dāng)a1時(shí)，g(a)23a，故h(x)x33x2，h(x)3x23，此時(shí)h(x)在(1,1)上是減函數(shù)，因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.綜上，當(dāng)x1,1時(shí)，恒有f(x)g(a)4.11已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范圍；(2)證明：(x1)f(x)0.(1)解f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等價(jià)于ln xxa.令g(x)ln xx，則g(x)1.當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，x1是g(x)的最大值點(diǎn)，g(x)g(1)1.綜上可知，a的取值范圍是.(2)證明由(1)知，g(x)g(1)1，即ln xx10.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)<0，(x1)f(x)>0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)ln x(xln xx1)ln xxln xx0.(x1)f(x)0.綜上，在定義域內(nèi)滿足(x1)f(x)0恒成立12(2014·陜西)設(shè)函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)當(dāng)me(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若對(duì)任意b>a>0，<1恒成立，求m的取值范圍解(1)由題設(shè)，當(dāng)me時(shí)，f(x)ln x，則f(x)，當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe時(shí)，f(x)取得極小值f(e)ln e2，f(x)的極小值為2.(2)由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)設(shè)(x)x3x(x0)，則(x)x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)>0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn)，(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m或m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)(3)對(duì)任意的b>a>0，<1恒成立，等價(jià)于f(b)b<f(a)a恒成立(*)設(shè)h(x)f(x)xln xx(x>0)，(*)等價(jià)于h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x)2(x>0)恒成立，m(對(duì)m，h(x)0僅在x時(shí)成立)，m的取值范圍是，)