第38練“排列、組合”的?？紗栴}題型一排列問題例1即將畢業(yè)的6名同學排成一排照相留念，個子較高的明明同學既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數(shù)為_破題切入點最左邊和最右邊是特殊位置，可采用位置分析法；由于明明同學是特殊元素，也可以采用元素分析法，也可以從反面考慮答案480解析方法一(位置分析法)先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊，有A種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個位置上，有A種站法由分步乘法計數(shù)原理，知共有AA480(種)不同的站法方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A種站法；第2步，余下5人站在剩下5個位置上，有A種站法由分步乘法計數(shù)原理，知共有AA480(種)不同的站法方法三(反面求解法)6人沒有限制的排隊有A種站法，明明站在最左邊或最右邊時6人排隊有2A種站法，因此符合條件的不同站法共有A2A480(種)題型二組合問題例2在一次國際抗震救災中，從7名中方搜救隊隊員，4名外籍搜救隊隊員中選5名組成一支特殊搜救隊到某地執(zhí)行任務，按下列要求，分別計算有多少種組隊方法(1)至少有2名外籍搜救隊隊員；(2)至多有3名外籍搜救隊隊員破題切入點第(1)問中“至少有2名”應包括2名、3名、4名，可以用直接法或間接法求解第(2)問中，“至多有3名”應包括3名、2名、1名和沒有，四種情況，應分類討論可用間接法解(1)方法一(直接法)由題意，知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”可分為3類：只有2名外籍隊員，共有C·C種組隊方法；只有3名外籍隊員，共有C·C種組隊方法；只有4名外籍隊員，共有C·C種組隊方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知至少有2名外籍搜救隊隊員共有C·CC·CC·C301(種)不同的組隊方法方法二(間接法)由題意，知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至多有1名外籍搜救隊隊員”，可分為2類：只有1名外籍搜救隊隊員，共有CC種組隊方法；沒有外籍搜救隊隊員，共有CC種組隊方法所以至少有2名外籍搜救隊隊員共有CC·CC·C301(種)不同的組隊方法(2)方法一(直接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊隊員”可分為4類：只有3名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法；只有2名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法；只有1名外籍搜救隊隊員，共有CC種方法；沒有外籍搜救隊隊員，共有C種方法由分類加法計數(shù)原理，知至多有3名外籍搜救隊隊員共有C·CC·CC·CC455(種)不同的組隊方法方法二(間接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至少有4名外籍搜救隊隊員”因為至少有4名外籍搜救隊隊員，共有C×C種組隊方法，所以至少3名外籍隊員共有CCC455(種)不同組隊方法題型三排列與組合的綜合應用問題例34個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？(3)恰有2個盒不放球，共有幾種放法？破題切入點把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空盒子解(1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理，共有CCC·A144(種)(2)“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法(3)確定2個空盒有C種方法4個球放進2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法故共有C(CCA·A)84(種)總結(jié)提高(1)求解排列、組合問題，應按元素的性質(zhì)或題意要求進行分類，對事件發(fā)生的過程進行分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”(2)關(guān)于“至少”“至多”等計數(shù)問題，一般需要進行分類，若分類比較復雜，可用間接法，找出其對立事件來求解1設(shè)集合A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7,8，則滿足SA且SB的集合S的個數(shù)是_答案56解析滿足SA時，S可以是1,2,3,4,5,6的一個子集，有2664個，滿足SB時，S不可以是集合1,2,3和它的子集，有238個，所以同時滿足SA且SB的集合S的個數(shù)是64856個2(2013·四川)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是_答案18解析由于lg alg blg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有A220218.3一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為_答案1 296解析把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)41 296種4若從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有_種答案66解析滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是四個奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有C5(種)；二是兩個奇數(shù)加兩個偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有C·C60(種)；三是四個偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個偶數(shù)的取法有1種，所以滿足條件的取法共有560166(種)5將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有_種答案12解析分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C2(種)選派方法；第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，共有C6(種)選派方法由分步乘法計數(shù)原理得不同的選派方案共有2×612(種)6現(xiàn)有12件商品擺放在貨架上，擺成上層4件下層8件，現(xiàn)要從下層8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是_答案840解析從下層8件中取2件，有C種取法，放到上層時，若這兩件相鄰，有AA種放法，若這兩件不相鄰，有A種放法，所以不同調(diào)整方法的種數(shù)是C(AAA)840.7現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_答案472解析分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C3C22012208(種)由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有264208472(種)8用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為_答案252解析無重復的三位數(shù)有：AAA648個則有重復數(shù)字的三位數(shù)有：900648252個9(2014·四川改編)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種答案216解析第一類：甲在左端，有A5×4×3×2×1120(種)方法；第二類：乙在最左端，有4A4×4×3×2×196(種)方法所以共有12096216(種)方法10方程ayb2x2c中a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有_條答案62解析顯然a0，b0，故該方程等價于yx2.當c0時，從3，2,1,2,3中任取2個數(shù)作為a，b的值，有A20種不同的方法，當a一定，b的值互為相反數(shù)時，對應的拋物線相同，這樣的拋物線共有4×312條，所以此時不同的拋物線有A614條當c0時，從3，2,1,2,3中任取3個數(shù)作為a，b，c的值有A60種不同的方法當a，c值一定，而b的值互為相反數(shù)時，對應的拋物線相同，這樣的拋物線共有4A24條，所以此時不同的拋物線有A1248條綜上，不同的拋物線有144862條11用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答)答案14解析若不考慮數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的限制，對個位、十位、百位、千位，每個“位置”都有兩種選擇，所以共有16個4位數(shù)，然后再減去“2222,3333”這兩個數(shù)，故共有16214個滿足要求的四位數(shù)125名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有_種(以數(shù)字作答)答案48解析只有1名老隊員的排法有C·C·A36種；有2名老隊員的排法有C·C·C·A12種所以共48種13(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法于是符合題意的排法共有AAAA36(種)14(2014·浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答)答案60解析把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有CA種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為ACA243660.15回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3443,94249等顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，999.則：(1)4位回文數(shù)有_個；(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個答案(1)90(2)9×10n解析(1)4種回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9(19)種情況，第二位有10(09)種情況，所以4位回文數(shù)有9×1090種(2)由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n1位回文數(shù)和2n2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n2位回文數(shù).2n2位回文數(shù)只用看前n1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數(shù)為9×10n.16用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，則所有涂色方法的種數(shù)為_答案260解析方法一如圖將4個方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種涂上，有5種不同涂法當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有2C種不同涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步計數(shù)原理，知此時有5×2C×3180(種)不同的涂法當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時有4種涂法，此時第4個小方格也有4種不同的涂法由分步乘法計數(shù)原理，知有5×4×480(種)不同的涂法由分類加法計數(shù)原理，知共有18080260(種)不同涂法方法二如圖將4個小方格依次編號為1,2,3,4.如果使用2種顏色，則只能是第1,4個小方格涂一種，第2,3個小方格涂一種，方法種數(shù)是C·A20，如果使用3種顏色，若第1,2,3個小方格不同色，第4個小方格只能和第1個小方格相同，方法種數(shù)是C·A60，若第1,2,3個小方格只用2種顏色，則第4個小方格只能用第3種顏色，方法種數(shù)是C×3×260；如果使用4種顏色，方法種數(shù)是C·A120，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知總的涂法有206060120260種