第9練分段函數(shù)，剪不斷理還亂題型一分段函數(shù)的值域問題例1函數(shù)f(x)的值域為_破題切入點求各段值域，然后求并集答案(，2)解析因為當(dāng)x1時，f(x)log2log2x0，當(dāng)x<1時，0<f(x)2x<2，所以函數(shù)f(x)的值域為(，2)題型二分段函數(shù)的零點問題例2(2014·揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)則關(guān)于x的方程f2(x)bf(x)c0有5個不同實數(shù)解的充要條件是_破題切入點分類討論思想，結(jié)合函數(shù)圖象解決答案b<2且c0解析可以從c0，c0兩種情形來考慮若c0，則x0是方程f2(x)bf(x)c0其中的一個根，且f(x)f(x)b0，此時f(x)0，所以f(x)b0，因此當(dāng)b>2時，f(x)b0有四個根，滿足題意，所以b<2.題型三分段函數(shù)的綜合性問題例3已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍破題切入點分段函數(shù)奇偶性的概念，結(jié)合圖象分類討論解(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)當(dāng)x>0時，x<0，有(x)2mx(x22x)，即x2mxx22x.m2.(2)由(1)知f(x)當(dāng)x>0時，f(x)x22x(x1)21，當(dāng)x1，)時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(0,1時，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)x<0時，f(x)x22x(x1)21，當(dāng)x(，1時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1,0)時，f(x)單調(diào)遞增綜上知：函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)遞增又函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增解之得1<a3.故實數(shù)a的取值范圍是(1,3總結(jié)提高(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)法則的不同而分別用幾個不同的式子來表示的分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)(2)在求分段函數(shù)f(x)解析式時，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式1設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是_答案0，)解析當(dāng)x1時，21x2，解得x0，所以0x1；當(dāng)x>1時，1log2x2，解得x，所以x>1.綜上可知x0.2已知函數(shù)f(x)是(，)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是_答案(0,2解析由題意，得解得0<a2.3設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR)，f(x) 則f(x)的值域是_答案，0(2，)解析由x<g(x)得x<x22，x<1或x>2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)當(dāng)x<1時，f(x)>2；當(dāng)x>2時，f(x)>8.當(dāng)x(，1)(2，)時，函數(shù)的值域為(2，)當(dāng)1x2時，f(x)0.當(dāng)x1,2時，函數(shù)的值域為，0綜上可知，f(x)的值域為，0(2，)4已知f(x) 則下列函數(shù)的圖象錯誤的是_答案解析先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)的圖象，再將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移1個單位長度即可得到y(tǒng)f(x1)的圖象，因此正確；作函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形，即可得到y(tǒng)f(x)的圖象，因此正確；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的圖象與yf(x)的圖象重合，正確；yf(|x|)的定義域是1,1，且是一個偶函數(shù)，當(dāng)0x1時，yf(|x|)，相應(yīng)這部分圖象不是一條線段，因此不正確5設(shè)函數(shù)f(x)若f(m)>f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(，1)(0,1)解析若m>0，則m<0，f(m)log2m，f(m)log2m，由f(m)>f(m)，得log2m>log2m，即log2m<0,0<m<1；若m<0，則m>0，f(m)log (m)log2(m)，f(m)log2(m)，由f(m)>f(m)得log2(m)>log2(m)，解得m<1.6對實數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是_答案(，2(1，)解析f(x)即f(x)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知c的取值范圍為(，2(1，)7已知函數(shù)f(x)則f(3)的值為_答案2解析f(3)f(1)1f(1)22.8已知函數(shù)f(x)若f(f(1)>3a2，則a的取值范圍是_答案1<a<3解析由分段函數(shù)可得f(f(1)f(3)6a9，故f(f(1)>3a26a9>3a2，解得1<a<3.9已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是_答案(0,1)解析畫出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出，若f(x)k有兩個不同的實根，也即函數(shù)yf(x)的圖象與yk有兩個不同的交點，k的取值范圍為(0,1)10設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_答案10解析因為f(x)的周期為2，所以fff，即ff.又因為fa1，f，所以a1.整理，得a(b1)又因為f(1)f(1)，所以a1，即b2a.將代入，得a2，b4.所以a3b23×(4)10.11(2013·四川)已知函數(shù)f(x)其中a是實數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為1,0)，(0，)(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f(x1)，點B處的切線斜率為f(x2)，又當(dāng)點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f(x1)f(x2)1.當(dāng)x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)2x2，因為x1<x2<0，所以(2x12)(2x22)1，所以2x12<0,2x22>0.因此x2x1(2x12)2x221，當(dāng)且僅當(dāng)(2x12)2x221，即x1且x2時等號成立所以，函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，x2x1的最小值為1.(3)當(dāng)x1<x2<0或x2>x1>0時，f(x1)f(x2)，故x1<0<x2.當(dāng)x1<0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當(dāng)x2>0時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即y·xln x21.兩切線重合的充要條件是由及x1<0<x2知，0<<2.由得，aln x221ln21.令t，則0<t<2，且at2tln t.設(shè)h(t)t2tln t(0<t<2)，因為h(t)t1<0，所以h(t)(0<t<2)為減函數(shù)，則h(t)>h(2)ln 21，a>ln 21.而當(dāng)t(0,2)且趨近于0時，h(t)無限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)，故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點A、B處的切線重合時，a的取值范圍是(ln 21，)12(2013·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x).(1)記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式；(2)是否存在a，使函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線相互垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由解(1)當(dāng)0xa時，f(x)；當(dāng)x>a時，f(x).因此，當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0，f(x)在(a，)上單調(diào)遞增若a4，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(a)f(0).若0<a<4，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a,4)上單調(diào)遞增所以g(a)maxf(0)，f(4)而f(0)f(4)，故當(dāng)0<a1時，g(a)f(4)；當(dāng)1<a<4時，g(a)f(0).綜上所述，g(a)(2)由(1)知，當(dāng)a4時，f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，故不滿足要求當(dāng)0<a<4時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a,4)上單調(diào)遞增若存在x1，x2(0,4)(x1<x2)，使曲線yf(x)在(x1，f(x1)，(x2，f(x2)兩點處的切線互相垂直則x1(0，a)，x2(a,4)，且f(x1)·f(x2)1.即·1.亦即x12a.(*)由x1(0，a)，x2(a,4)得x12a(2a,3a)，.故(*)成立等價于集合Ax|2a<x<3a與集合B的交集非空因為<3a，所以當(dāng)且僅當(dāng)0<2a<1，即0<a<時，AB.綜上所述，存在a使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是.