第15練導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_破題切入點求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，根據(jù)定義解不等式f(x)<0即可，求解時注意函數(shù)的定義域答案(0,1解析由題意知，函數(shù)的定義域為(0，)，又由yx0，解得0<x1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1題型二已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍例2已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值為_破題切入點函數(shù)f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，g(x)在(1,2)上為增函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)f(x)0在0,1上恒成立，g(x)0在1,2上恒成立解出兩個a的取值范圍，求出交集即可答案2解析函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.題型三與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的圖象問題例3設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極值情況為_破題切入點根據(jù)函數(shù)y(1x)f(x)的圖象找到f(x)的導(dǎo)函數(shù)的符號，再由極值點的定義得出結(jié)論答案有極大值f(2)和極小值f(2)解析利用極值的存在條件判定當(dāng)x<2時，y(1x)f(x)>0，得f(x)>0；當(dāng)2<x<1時，y(1x)f(x)<0，得f(x)<0；當(dāng)1<x<2時，y(1x)f(x)>0，得f(x)<0；當(dāng)x>2時，y(1x)f(x)<0，得f(x)>0，f(x)在(，2)上是增函數(shù)，在(2,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)總結(jié)提高(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：確定函數(shù)的定義域求導(dǎo)函數(shù)f(x)若求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解或證明不等式f(x)>0或f(x)<0；若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性則轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解，一般是利用函數(shù)與方程思想，將字母分離出來(2)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意的問題：單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，因為函數(shù)求導(dǎo)之后，自變量的取值范圍可能會發(fā)生變化求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即為解不等式，若已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，注意驗證所得參數(shù)范圍的端點值1若函數(shù)h(x)2x在(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_答案2，)解析由條件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)2已知函數(shù)f(x)x2mxln x是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是_答案2，)解析依題意知，x>0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，當(dāng)0時，g(0)1>0恒成立，m0成立，當(dāng)>0時，則m280，2m<0，綜上，m的取值范圍是m2.3若函數(shù)yf(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf(x)>f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式一定成立的是_af(b)>bf(a); af(a)>bf(b)；af(a)<bf(b); af(b)<bf(a)答案解析令F(x)xf(x)，則F(x)xf(x)f(x)，由xf(x)>f(x)，得xf(x)f(x)>0，即F(x)>0，所以F(x)在R上為遞增函數(shù)因為a>b，所以af(a)>bf(b)4(2014·課標(biāo)全國改編)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是_答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而0<<1，所以k1.即k的取值范圍為1，)5設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x>0時，有<0恒成立，則不等式x2f(x)>0的解集是_答案(，2)(0,2)解析x>0時<0，(x)為減函數(shù)，又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<2時，(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù)故x2f(x)>0的解集為(0,2)(，2)6函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<f(x)tan x恒成立，則下列結(jié)論正確的是_f()>f(); f(1)<2f()sin 1；f()>f(); f()<f()答案解析f(x)<f(x)tan xf(x)cos x<f(x)sin x，構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x)，根據(jù)已知f(x)cos x<f(x)sin x，得g(x)>0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以g()<g()，即<，所以f()<f()7函數(shù)f(x)exln(x1)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案(0，)解析f(x)ex，該函數(shù)單調(diào)遞增且f(0)0，所以當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)8已知函數(shù)f(x)mx2ln x2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為_答案1，)解析f(x)mx20對一切x>0恒成立，m2，令g(x)2，則當(dāng)1時，函數(shù)g(x)取最大值1，故m1.9設(shè)f(x)x3x22ax.若f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍為_答案(，)解析由已知得f(x)x2x2a(x)22a.當(dāng)x，)時，f(x)的最大值為f()2a.令2a>0，得a>.所以當(dāng)a>時，f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間10已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由解(1)當(dāng)a2時，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0.ex>0，x22>0，解得<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立ex>0，x2(a2)xa0對xR都成立(a2)24a0，即a240，這是不可能的故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立，ex>0，x2(a2)xa0對xR都成立而(a2)24aa24>0，故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增綜上可知，函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)11已知函數(shù)f(x)(aR)，g(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，e2上有公共點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x).令f(x)0，得xe1a，當(dāng)x(0，e1a)時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(e1a，)時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1a，單調(diào)遞減區(qū)間為e1a，)，極大值為f(x)極大值f(e1a)ea1，無極小值(2)令F(x)f(x)g(x)，則F(x).令F(x)0，得xe2a；令F(x)>0，得x<e2a；令F(x)<0，得x>e2a，故函數(shù)F(x)在區(qū)間(0，e2a上是增函數(shù)，在區(qū)間e2a，)上是減函數(shù)當(dāng)e2a<e2，即a>0時，函數(shù)F(x)在區(qū)間(0，e2a上是增函數(shù)，在區(qū)間e2a，e2上是減函數(shù)，F(xiàn)(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(xiàn)(e2)>0，由圖象，易知當(dāng)0<x<e1a時，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)e1a<xe2時，F(xiàn)(x)>0，此時函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，e2上有1個公共點當(dāng)e2ae2，即a0時，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0，e2上是增函數(shù)，F(xiàn)(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，e2上只有1個公共點；若F(x)maxF(e2)<0，即a<1時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，e2上沒有公共點綜上，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是1，)12(2014·大綱全國)函數(shù)f(x)ax33x23x(a0)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍解(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式36(1a)若a1，則f(x)0，且f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)a1，x1，故此時f(x)在R上是增函數(shù)由于a0，故當(dāng)a<1時，f(x)0有兩個根x1，x2.若0<a<1，則當(dāng)x(，x2)或x(x1，)時，f(x)>0，故f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；當(dāng)x(x2，x1)時，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)；若a<0，則當(dāng)x(，x1)或x(x2，)時，f(x)<0，故f(x)分別在(，x1)，(x2，)是減函數(shù)；當(dāng)x(x1，x2)時，f(x)>0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)(2)當(dāng)a>0，x>0時，f(x)3ax26x3>0，故當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)a<0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(1)0且f(2)0，解得a<0.綜上，a的取值范圍是，0)(0，)