第35練與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問題題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y24x上的一動(dòng)點(diǎn)，(1)求點(diǎn)P到A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，拋物線的焦點(diǎn)為F，求PBPF的最小值破題切入點(diǎn)畫出圖形，結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為共線問題解(1)由于A(1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點(diǎn)，則APPFAF，從而知點(diǎn)P到A(1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點(diǎn)B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，此時(shí)P1QP1F，那么PBPFP1BP1QBQ4，即PBPF的最小值為4.題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)例2(1)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是_(2)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m水位下降1 m后，水面寬_ m.破題切入點(diǎn)準(zhǔn)確求出拋物線方程并結(jié)合其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作答答案(1)(2，)(2)2解析(1)x28y，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y2.由拋物線的定義知FMy02.以F為圓心、FM為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y2)2(y02)2.由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，故4<y02，y0>2.(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，則A(2，2)，將其坐標(biāo)代入x22py得p1.x22y.水位下降1 m，得D(x0，3)(x0>0)，將其坐標(biāo)代入x22y，得x6，x0.水面寬CD2 m.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線C：y22px(p>0)過點(diǎn)A(1，2)(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由破題切入點(diǎn)(1)將點(diǎn)代入易求方程(2)假設(shè)存在，根據(jù)條件求出，注意驗(yàn)證解(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y2xt.由得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以48t0，解得t.由直線OA到l的距離d，可得，解得t±1.又因?yàn)?，)，1，)，所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10.總結(jié)提高(1)拋物線沒有中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸且離心率為e1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質(zhì)，可以借助幾何知識(shí)來解決(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將拋物線y22px關(guān)于y軸、直線xy0與xy0對(duì)稱變換可以得到拋物線的其他三種形式；或者將拋物線y22px繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)±90°或180°也可以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內(nèi)在聯(lián)系(3)拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2，x1x2；若直線AB的傾斜角為，則AB；若F為拋物線焦點(diǎn)，則有.1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為_答案4或4解析設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p>0)，由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4，故24，所以p4，則方程為x28y，代入P點(diǎn)坐標(biāo)得m±4.2若拋物線y28x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點(diǎn)F，M(3,3)且與l相切的圓共有_個(gè)答案1解析由題意得F(2,0)，l：x2，線段MF的垂直平分線方程為y(x)，即x3y70，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則圓心在x3y70上，故a3b70，a73b，由題意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b>0，故此方程只有一個(gè)根，于是滿足題意的圓只有一個(gè)3已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P、Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是_答案2±解析依題意得F(，0)，設(shè)P(，y1)，Q(，y2)(y1y2)由拋物線定義及PFQF，得，yy，y1y2.又PQ2，因此|y1|y2|1，點(diǎn)P(，y1)又點(diǎn)P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF2，由此解得p2±.4(2014·課標(biāo)全國改編)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_答案解析由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡(jiǎn)得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOABOF·|yAyB|××6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有ABxAxBp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h，因此SOABAB·h.5已知拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q在圓C：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，則dPQ的最小值為_答案3解析如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，連結(jié)PF，則dPF.圓C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為C(1,4)，半徑r2.dPQPFPQ，顯然，PFPQFQ(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))而FQ為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離，顯然當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為CFr2523.6過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若AF3，則AOB的面積為_答案解析如圖所示，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又AF3，由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離為3，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.將x2代入y24x得y28，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2，A(2,2)，直線AF的方程為y2(x1)聯(lián)立直線與拋物線的方程解之得或由圖知B，SAOBOF·|yAyB|×1×|2|.7過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB，AF<BF，則AF_.答案解析2，ABAFBF，AF<BF，AF，BF.8設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若FQ2，則直線l的斜率為_答案±1解析設(shè)直線l的斜率等于k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線l為yk(x1)與拋物線C：y24x聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20，則有x1x21，x1x22，因此可得Q(1，)，因F(1,0)，由FQ2，則有(2)2()24，解得k21，所以k±1.9在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方若直線l的傾斜角為60°.則OAF的面積為_答案解析由題意，得直線AB方程為y(x1)，與拋物線方程y24x聯(lián)立，求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，利用三角形面積公式即可求得SOAF×1×2.10(2013·江西)拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A、B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.答案6解析因?yàn)锳BF為等邊三角形，所以由題意知B，代入方程1得p6.11(2014·大綱全國)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QFPQ.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程解(1)設(shè)Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以PQ，QFx0.由題設(shè)得×，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程為y24x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y24.故設(shè)AB的中點(diǎn)為D(2m21,2m)，AB|y1y2|4(m21)又l的斜率為m，所以l的方程為xy2m23.將上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，則y3y4，y3y44(2m23)故設(shè)MN的中點(diǎn)為E(2m23，)，MN |y3y4|，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于AEBEMN，從而AB2DE2MN2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化簡(jiǎn)得m210，解得m1或m1.所求直線l的方程為xy10或xy10.12(2014·湖北)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(2,1)，求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍解(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得MF|x|1，即|x|1，化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x)故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2(2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y24x(x>0)，C2：y0(x0)依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由方程組可得ky24y4(2k1)0.(*1)當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)y1.把y1代入軌跡C的方程，得x.故此時(shí)直線l：y1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)(，1)當(dāng)k0時(shí)，方程(*1)根的判別式為16(2k2k1)(*2)設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，則由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k<1或k>.即當(dāng)k(，1)(，)時(shí)，直線l與C1沒有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)()若或由(*2)(*3)解得k1，或k<0.即當(dāng)k1，時(shí)，直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k，0)時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2沒有公共點(diǎn)故當(dāng)k，0)1，時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)()若由(*1)(*2)解得1<k<或0<k<.即當(dāng)k(1，)(0，)時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)綜合可知，當(dāng)k(，1)(，)0時(shí)，直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k，0)1，時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k(1，)(0，)時(shí)，直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)