第10練化解抽象函數(shù)快捷有效的幾個途徑題型一與抽象函數(shù)有關的函數(shù)性質問題例1已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為0,1上的增函數(shù)”是“f(x)為3,4上的減函數(shù)”的_條件破題切入點周期函數(shù)的概念，同時考查單調性及充要條件答案充要解析f(x)在R上是偶函數(shù)，f(x)的圖象關于y軸對稱f(x)為0,1上的增函數(shù)，f(x)為1,0上的減函數(shù)又f(x)的周期為2，f(x)為區(qū)間14,043,4上的減函數(shù)f(x)為3,4上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，f(x)為1,0上的減函數(shù)又f(x)在R上是偶函數(shù)，f(x)為0,1上的增函數(shù)由知“f(x)為0,1上的增函數(shù)”是“f(x)為3,4上的減函數(shù)”的充要條件題型二與抽象函數(shù)有關的函數(shù)零點問題例2設函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0，則方程f(x)0在閉區(qū)間2 011,2 011上的根的個數(shù)為_破題切入點將條件轉化為我們所熟悉的知識答案805解析f(7x)f(7x)f(2(5x)f(2(5x)f(3x)，即f(x10)f(x)，所以函數(shù)的周期為10，且對稱軸為x2，x7，在0,10內，f(1)f(3)f(11)f(13)，所以一個周期內只有2個零點，在0,2 011內2 011201×101有201×21403個，在2 011,0內2 011201×(10)1，有201個周期且f(1)0，此時有201×2402個零點，合計805.題型三與抽象函數(shù)有關的新概念問題例3設V是全體平面向量構成的集合若映射f：VR滿足：對任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，則稱映射f具有性質P，現(xiàn)給出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性質P的映射為_(寫出所有具有性質P的映射的序號)破題切入點準確把握性質P的含義答案解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)對于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)·y2(x1y1)(1)(x2y2)，而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，具有性質P.對于，f2(m)x2y，設a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又是任意實數(shù)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故不具有性質P.對于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質P.綜上，具有性質P的映射的序號為.總結提高(1)讓抽象函數(shù)不再抽象的方法主要是賦值法和單調函數(shù)法，因此學會賦值、判斷并掌握函數(shù)單調性和奇偶性是必須過好的兩關，把握好函數(shù)的性質(2)解答抽象函數(shù)問題時，學生往往盲目地用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等來代替函數(shù)來解答問題而導致出錯，要明確抽象函數(shù)是具有某些性質的一類函數(shù)而不是具體的某一個函數(shù)，因此掌握這類函數(shù)的關鍵是把握函數(shù)的性質以及賦值的方法1設f(x)為偶函數(shù)，對于任意的x>0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)為偶函數(shù)，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，當x1時，f(21)(2)·f(21)，f(3)(2)×48，f(3)8.2對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的_條件答案必要不充分解析若函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)此時|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，但當y|f(x)|的圖象關于y軸對稱時，未必能推出yf(x)為奇函數(shù)，故“y|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件3若f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內是增函數(shù)，又f(2)0，則xf(x)<0的解集為_答案(2,0)(0,2)解析因為f(x)為奇函數(shù)，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致圖象，如圖所示，由圖象可知：當2<x<0時，f(x)>0，所以xf(x)<0；當0<x<2時，f(x)<0，所以xf(x)<0.故不等式xf(x)<0的解集為(2,0)(0,2)4已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，則f(2 014)_.答案解析令x1，y0，由已知得f(0)，令xy1，則f(2)4f2(1)f(0)4×()2.取xn，y1，有f(n)f(n1)f(n1)，同理f(n1)f(n2)f(n)，聯(lián)立，得f(n2)f(n1)，所以f(n3)f(n)，f(n6)f(n3)f(n)，所以函數(shù)f(x)的周期為6，f(2 014)f(335×64)f(4)4f2(2)f(0).故填.5已知函數(shù)yf(x)和yg(x)的定義域及值域均為a，a(常數(shù)a>0)，其圖象如圖所示，則方程f(g(x)0根的個數(shù)為_答案6解析由f(x)的圖象可知方程f(x)0有三個根，分別設為x1，x2，x3，因為f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因為a<x1<a，g(x)a，a，所以由g(x)的圖象可知yx1與yg(x)的圖象有兩個交點，即方程g(x)x1有兩個根，同理g(x)x2，g(x)x3各有兩個根，所以方程f(g(x)0有6個根6如圖，偶函數(shù)f(x)的圖象如字母M，奇函數(shù)g(x)的圖象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的實根個數(shù)分別為m，n，則mn_.答案12解析由圖象可知偶函數(shù)f(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區(qū)間(2，1)與(1,2)中，值域是1,1；奇函數(shù)g(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區(qū)間(1,0)與(0,1)中，值域是2,2只有當f(x)0時，f(f(x)0，故實根個數(shù)m3.存在3個實數(shù)x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3個實數(shù)x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3個實數(shù)x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故實根個數(shù)n9.從而mn12.7若對于定義在R上的函數(shù)f(x)，存在常數(shù)t(tR)，使得f(xt)tf(x)0對任意實數(shù)x均成立，則稱f(x)是t階回旋函數(shù)，則下列命題正確的是_(填序號)f(x)2x是階回旋函數(shù)；f(x)sin(x)是1階回旋函數(shù)；f(x)x2是1階回旋函數(shù)；f(x)logax是0階回旋函數(shù)答案解析對于函數(shù)f(x)sin x，由誘導公式可知當t1時滿足f(x1)f(x)sin (x1)sin x0，故f(x)sin x是1階回旋函數(shù)，正確8設yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關于函數(shù)yf(x)的判斷：yf(x)是周期函數(shù)；yf(x)的圖象關于直線x1對稱；yf(x)在0,1上是增函數(shù)；f()0.其中正確判斷的序號是_答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正確；因為yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可知yf(x)的圖象關于直線x1對稱，正確；顯然錯誤；由f(1)f()f()f()得f()0，正確9函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)時總有x1x2，則稱f(x)為單函數(shù)例如，函數(shù)f(x)2x1(xR)是單函數(shù)下列命題：函數(shù)f(x)x2(xR)是單函數(shù)；若f(x)為單函數(shù)，x1，x2A且x1x2，則f(x1)f(x2)；若f：AB為單函數(shù)，則對于任意bB，它至多有一個原象；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調性，則f(x)一定是單函數(shù)其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)答案解析當f(x)x2時，不妨設f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此時x1x2，故不正確；由f(x1)f(x2)時總有x1x2可知，當x1x2時，f(x1)f(x2)，故正確；若bB，b有兩個原象時，不妨設為a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，與題中條件矛盾，故正確；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調性時整個定義域上不一定單調，因而f(x)不一定是單函數(shù)，故不正確故答案為.10(2013·湖南)設函數(shù)f(x)axbxcx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且ab，則(a，b，c)M所對應的f(x)的零點的取值集合為_(2)若a，b，c是ABC的三條邊長，則下列結論正確的是_(寫出所有正確結論的序號)x(，1)，f(x)>0；xR，使ax，bx，cx不能構成一個三角形的三條邊長；若ABC為鈍角三角形，則x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0<x1(2)解析(1)c>a>0，c>b>0，ab且a，b，c不能構成三角形的三邊，0<2ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0<x1.(2)a，b，c是三角形的三條邊長，ab>c.c>a>0，c>b>0，0<<1,0<<1.當x(，1)時，f(x)axbxcxcx>cxcx·>0.x(，1)，f(x)>0.故正確令a2，b3，c4，則a，b，c可以構成三角形但a24，b29，c216卻不能構成三角形，故正確c>a，c>b，且ABC為鈍角三角形，a2b2c2<0，又f(1)abc>0，f(2)a2b2c2<0，函數(shù)f(x)在(1,2)上存在零點，故正確11已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.解(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1>x2，則>1.當x>1時，f(x)<0.f()<0，即f(x1)f(x2)<0，有f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調遞減 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調遞減，原不等式為f(|x|)<f(9)|x|>9，x<9或x>9，不等式的解集為x|x<9或x>912設集合Pn1,2，n，nN*，記f(n)為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù)：APn；若xA，則2xA；若xPnA，則2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)當n4時，符合條件的集合A為：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶數(shù)xPn，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2，經(jīng)過k次以后，商必為奇數(shù)，此時記商為m，于是xm·2k，其中m為奇數(shù)，kN*.由條件知，若mA，則xAk為偶數(shù)；若mA，則xAk為奇數(shù)于是x是否屬于A由m是否屬于A確定設Qn是Pn中所有奇數(shù)的集合，因此f(n)等于Qn的子集個數(shù)當n為偶數(shù)(或奇數(shù))時，Pn中奇數(shù)的個數(shù)是，所以f(n)