第37練圓錐曲線中的探索性問題題型一定值、定點問題例1已知橢圓C：1經過點(0，)，離心率為，直線l經過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請說明理由破題切入點(1)待定系數(shù)法(2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點A，B的橫坐標的關系式，然后根據(jù)向量關系式，.把，用點A，B的橫坐標表示出來，只要證明的值與直線的斜率k無關即證明了其為定值，否則就不是定值解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，c1，橢圓C的方程為1.(2)因直線l與y軸相交于點M，故斜率存在，又F坐標為(1,0)，設直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于M(0，k)，設l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以當直線l的傾斜角變化時，直線的值為定值.題型二定直線問題例2在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A，B兩點(1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由破題切入點假設符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解解方法一(1)依題意，點N的坐標為N(0，p)，可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN·2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當k0時，(SABN)min2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為ya，AC的中點為O，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，則OHPQ，Q點的坐標為(，)OPAC，OH|2ay1p|，PH2OP2OH2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，PQ2(2PH)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長公式得AB|x1x2|··2p·，又由點到直線的距離公式得d.從而SABN·d·AB·2p·· 2p2.當k0時，(SABN)min2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有PQ|x3x4| 2.令a0，得a，此時PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線題型三定圓問題例3已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2y22kx4y210(kR)的圓心為點Ak.(1)求橢圓G的方程；(2)求AkF1F2的面積；(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G？請說明理由破題切入點(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程(2)直接求(3)關鍵看長軸兩端點解(1)設橢圓G的方程為1(a>b>0)，半焦距為c，則解得所以b2a2c236279.所以所求橢圓G的方程為1.(2)點Ak的坐標為(k,2)，SAkF1F2×|F1F2|×2×6×26.(3)若k0，由620212k0211512k>0，可知點(6,0)在圓Ck外；若k<0，由(6)20212k0211512k>0，可知點(6,0)在圓Ck外所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.即不存在圓Ck包圍橢圓G.總結提高(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：yy0k(xx0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過定點(0，m)(3)定直線問題一般都為特殊直線xx0或yy0型1在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由解(1)由已知條件，得直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k24(k2)4k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為(，)(，)(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k.由(1)知k<或k>，故不存在符合題意的常數(shù)k.2已知雙曲線方程為x21，問：是否存在過點M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點，且M是線段PQ的中點？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由解顯然x1不滿足條件，設l：y1k(x1)聯(lián)立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由>0，得k<，x1x2，由M(1,1)為PQ的中點，得1，解得k2，這與k<矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.3設橢圓E：1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點，O為坐標原點(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請說明理由解(1)因為橢圓E：1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點，所以解得所以橢圓E的方程為1.(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)>0，即8k2m24>0.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，即0，所以3m28k280，所以k20.又8k2m24>0，所以所以m2，即m或m，因為直線ykxm為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r，r2，r，所求的圓為x2y2，此時圓的切線ykxm都滿足m或m，而當切線的斜率不存在時切線為x±與橢圓1的兩個交點為(，±)或(，±)滿足，綜上，存在圓心在原點的圓x2y2，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.4(2014·重慶)如圖，設橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點D在橢圓上，DF1F1F2，2，DF1F2的面積為.(1)求該橢圓的標準方程(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由解(1)設F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得DF1c，從而SDF1F2DF1·F1F2c2，故c1，從而DF1.由DF1F1F2，得DFDFF1F，因此DF2.所以2aDF1DF22，故a，b2a2c21.因此，所求橢圓的標準方程為y21.(2)如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由F1P1F2P2，得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.當x10時，P1，P2重合，題設要求的圓不存在當x1時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C.設C(0，y0)，由CP1F1P1，得·1.而求得y1，故y0.圓C的半徑CP1 .綜上，存在滿足題設條件的圓，其方程為x2(y)2.5(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x24y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點)(1)證明：動點D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，證明：MNMN為定值，并求此定值(1)證明依題意可設AB方程為ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x28.直線AO的方程為yx；BD的方程為xx2.解得交點D的坐標為注意到x1x28及x4y1，則有y2.因此動點D在定直線y2上(x0)(2)解依題設，切線l的斜率存在且不等于0，設切線l的方程為yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化簡整理得ba2.故切線l的方程可寫為yaxa2.分別令y2，y2得N1，N2的坐標為N1(a,2)，N2(a，2)，則MNMN(a)242(a)28，即MNMN為定值8.6(2014·福建)已知曲線上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2.(1)求曲線的方程(2)曲線在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論解方法一(1)設S(x，y)為曲線上任意一點，依題意，點S到F(0,1)的距離與它到直線y1的距離相等，所以曲線是以點F(0,1)為焦點、直線y1為準線的拋物線，所以曲線的方程為x24y.(2)當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變證明如下：由(1)知拋物線的方程為yx2，設P(x0，y0)(x00)，則y0x，由yx，得切線l的斜率ky|xx0x0，所以切線l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A(x0,0)由得M(x0，3)又N(0,3)，所以圓心C(x0，3)，半徑rMN|x0|，AB .所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變方法二(1)設S(x，y)為曲線上任意一點，則|y(3)|2，依題意，點S(x，y)只能在直線y3的上方，所以y>3，所以y1，化簡，得曲線的方程為x24y.(2)同方法一