第34練雙曲線的漸近線和離心率題型一雙曲線的漸近線問題例1(2013·課標(biāo)全國)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為_破題切入點(diǎn)根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線答案y±x解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2，知bk.所以.即漸近線方程為y±x.題型二雙曲線的離心率問題例2已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，若()·0，則雙曲線的離心率e為_破題切入點(diǎn)數(shù)形結(jié)合，畫出合適圖形，找出a，b間的關(guān)系答案解析如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T，由()·0可知ATOF，又A在以O(shè)F為直徑的圓上，A，又A在直線yx上，ab，e.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題例3已知A(1,2)，B(1,2)，動點(diǎn)P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_破題切入點(diǎn)先由直接法確定點(diǎn)P的軌跡(為一個(gè)圓)，再由漸近線與該軌跡無公共點(diǎn)得到不等關(guān)系，進(jìn)一步列出關(guān)于離心率e的不等式進(jìn)行求解答案(1,2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動點(diǎn)P的軌跡為(x1)(x1)(y2)·(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.總結(jié)提高(1)求解雙曲線的離心率的關(guān)鍵是找出雙曲線中a，c的關(guān)系，a，c關(guān)系的建立方法直接反映了試題的難易程度，最后在求得e之后注意e>1的條件，常用到數(shù)形結(jié)合(2)在求雙曲線的漸近線方程時(shí)要掌握其簡易求法由y±x±00，所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)e逐漸增大時(shí)，的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大1已知雙曲線1(a>0，b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為_答案2或解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則或.則e 或2.2已知雙曲線C：1 (a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為_答案解析取雙曲線的漸近線yx，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則F2H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.3已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_答案1解析雙曲線1的漸近線方程為y±x，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4已知雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_答案(1，1)解析根據(jù)正弦定理得，由，可得，即e，所以PF1ePF2.因?yàn)閑>1，所以PF1>PF2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上又PF1PF2ePF2PF2PF2(e1)2a，解得PF2.因?yàn)镻F2>ca(不等式兩邊不能取等號，否則題中的分式中的分母為0，無意義)，所以>ca，即>e1，即(e1)2<2，解得e<1.又e>1，所以e(1，1)5(2014·湖北)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為_答案解析設(shè)PF1r1，PF2r2(r1>r2)，F(xiàn)1F22c，橢圓長半軸長為a1，雙曲線實(shí)半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得所以.令m，當(dāng)時(shí)，mmax，所以()max，即的最大值為.6(2014·山東改編)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為_答案x±y0解析由題意知e1，e2，e1·e2·.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得±，.令0，解得bx±ay0，x±y0.7若橢圓1(a>b>0)與雙曲線1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為_答案(0,1)解析可知e1，e1，所以ee2>2e1e10<e1e2<1.8過雙曲線1 (a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2y2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若E為PF的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_答案解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，由于E為PF的中點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為FF的中點(diǎn)，所以EOPF，又EOPF，所以PFPF，且PF2×a，故PF3a，根據(jù)勾股定理得FFa.所以雙曲線的離心率為.9(2014·浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PAPB，則該雙曲線的離心率是_答案解析雙曲線1的漸近線方程為y±x.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中點(diǎn)C坐標(biāo)為(，)設(shè)直線l：x3ym0(m0)，因?yàn)镻APB，所以PCl，所以kPC3，化簡得a24b2.在雙曲線中，c2a2b25b2，所以e.10(2013·湖南)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若PF1PF26a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率為_答案解析不妨設(shè)PF1>PF2，則PF1PF22a，又PF1PF26a，PF14a，PF22a.又在PF1F2中，PF1F230°，由正弦定理得，PF2F190°，F(xiàn)1F22a，雙曲線C的離心率e.11P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值解(1)點(diǎn)P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，可得a25b2，c2a2b26b2，則e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則設(shè)(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由(1)可知c26b2，由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240，解得0或4.12(2014·江西)如圖，已知雙曲線C：y21(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，恒為定值，并求此定值解(1)設(shè)F(c,0)，直線OB方程為yx，直線BF的方程為y(xc)，解得B(，)又直線OA的方程為yx，則A(c，)，kAB.又因?yàn)锳BOB，所以·()1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.(2)由(1)知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因?yàn)閏2，所以直線AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2，)；直線l與直線x的交點(diǎn)為N(，)則·.因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得··，即為定值