課時跟蹤檢測（五十九） 古典概型一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1(2015·揚州模擬)把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，直線l1：axby4，直線l2：x2y2，則l1l2的概率為_解析：把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，共有36種結果要使直線l1：axby4與直線l2：x2y2平行，則有a1，b2或a3，b6，即(1,2)，(3,6)，共2種結果，所以兩條直線平行的概率是.答案：24張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為_解析：因為從4張卡片中任取出2張的情況為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種其中2張卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的情況為(1,3)，(2,4)共2種，所以2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為.答案：3在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構成的四邊形是梯形的概率為_解析：如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構成的四邊形是梯形的概率P.答案：4.如圖所示方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為_解析：只考慮A，B兩個方格的填法，不考慮大小，A，B兩個方格有16種填法要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2,3,4中選2個數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為.答案：5從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是_解析：從5個球中任取三個共有10種結果，沒有白球只有一種結果，所以至少有一個白球的概率為1.答案：二保高考，全練題型做到高考達標1(2016·啟東檢測)有5根細木棒，長度分別為1,3,5,7,9，從中任取3根，能構成三角形的概率是_解析：從5根細木棒中任取3根共有10種取法，能構成三角形的有3種取法：3,5,7；5,7,9；3,7,9.所以所求概率為P.答案：2設m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2mxn0有實根的概率為_解析：先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的情況有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種其中使方程x2mxn0有實根的情況有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種故所求概率為.答案：3一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a>b，b<c時稱為“凹數(shù)”(如213,312)等若a，b，c1,2,3,4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是_解析：由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個所以共有666624個三位數(shù)當b1時，有214,213,314,412,312,413，共6個“凹數(shù)”；當b2時，有324,423，共2個“凹數(shù)”故這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P.答案：4設集合A1,2，B1,2,3，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線xyn上”為事件Cn(2n5，nN)，若事件Cn發(fā)生的概率最大，則n的所有可能值為_解析：分別從集合A和B中隨機取出一個數(shù)，確定平面上的一個點P(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6種情況，ab2的有1種情況，ab3的有2種情況，ab4的有2種情況，ab5的有1種情況，所以可知若事件Cn發(fā)生的概率最大，則n的所有可能值為3和4.答案：3和45記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a(m，n)與向量b(1,0)的夾角為，則的概率為_解析：法一：依題意，向量a(m，n)共有6×636(個)，其中滿足向量a(m，n)與向量 b(1,0)的夾角，即n<m的(m，n)可根據(jù)n的具體取值進行分類計數(shù)：第一類，當n1時，m有5個不同的取值；第二類，當n2時，m有4個不同的取值；第三類，當n3時，m有3個不同的取值；第四類，當n4時，m有2個不同的取值；第五類，當n5時，m有1個取值，因此滿足向量a(m，n)與向量b(1,0)的夾角的(m，n)共有1234515(個)，所以所求概率為.法二：依題意可得向量a(m，n)共有6×636(個)，其中滿足向量a(m，n)與向量b(1,0)的夾角，即n<m的向量a(m，n)有15(個)，所以所求概率為.答案：6(2016·南京三模)現(xiàn)有紅心1,2,3和黑桃4,5共五張牌，從這五張牌中隨機取2張牌，則所取2張牌均為紅心的概率為_解析：所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個，其中2張牌均為紅心的事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個，故所求的概率為P.答案：7某同學同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則雙曲線1的離心率e>的概率是_解析：由e >，得b>2a.當a1時，b3,4,5,6四種情況；當a2時，b5,6兩種情況，總共有6種情況又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結果所求事件的概率P.答案：8(2016·常州一模)現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為_解析：從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)設“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件表示“A1和B1全被選中”，由于(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，所以P()，由對立事件的概率計算公式得P(N)1P()1.答案：9(2016·蘭州雙基測試)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率解：(1)由題意，(a，b，c)所有可能的結果為：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種，所以P(A)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率為.(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)1P()1，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為.10(2016·深圳一調)一個袋中有4個大小相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取一個(1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率；(2)假設取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的概率是多少？解：(1)連續(xù)取兩次的基本事件有：(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑)；(白1，紅)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16個連續(xù)取兩次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個，故所求概率為.(2)連續(xù)取三次的基本事件有：(紅，紅，紅)，(紅，紅，白1)，(紅，紅，白2)，(紅，紅，黑)；(紅，白1，紅)，(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白1，黑)，共64個因為取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的基本事件有：(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白2，白1)，(紅，白2，白2)，(白1，紅，白1)，(白1，紅，白2)，(白2，紅，白1)，(白2，紅，白2)，(白1，白1，紅)，(白1，白2，紅)，(白2，白1，紅)，(白2，白2，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，共15個故所求概率為.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為_解析：對函數(shù)f(x)求導可得f(x)x22axb2，要滿足題意需x22axb20有兩個不等實根，即4(a2b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P.答案：2在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5.甲先從箱子中摸出一個小球，記下球上所標數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個小球(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標數(shù)字之和小于6，則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？解：用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構成的基本事件，則基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個(1)設甲獲勝的事件為A，則事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10個則P(A).(2)設甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10個則P(B)，所以P(C)1P(B).因為P(B)P(C)，所以這樣規(guī)定不公平