第30練空間角的突破方略題型一異面直線所成的角例1在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角破題切入點利用·|·|·cos，求出向量與的夾角，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角還可用幾何法或坐標法解方法一因為，所以·()·()····.因為ABBC，BB1AB，BB1BC，所以·0，·0，·0，·a2.所以·a2.又·|·|·cos，cos，.所以，120°.所以異面直線BA1與AC所成的角為60°.方法二連結(jié)A1C1，BC1，則由條件可知A1C1AC，從而BA1與AC所成的角亦為BA1與A1C1所成的角，由于該幾何體為邊長為a的正方體，于是A1BC1為正三角形，BA1C160°，從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60°.方法三由于該幾何體為正方體，所以DA，DC，DD1兩兩垂直且長度均為a，于是以D為坐標原點，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)，從而(a，a,0)，(0，a，a)，且|a，·a2，cos，120°，所以所求異面直線BA1與AC所成角為60°.題型二直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值破題切入點平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH的法向量(1)證明以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長度，建立空間直角坐標系(如圖)，則A(1,0,0)，B(0,1,0)設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因為·00，所以PEBC.(2)解由已知條件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取平面PEH的一個法向量n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.題型三二面角例3如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(2)證明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值破題切入點以點A為坐標原點建立空間直角坐標系(1)解如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設(shè)AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M.(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(2)證明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得·0，·0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解設(shè)平面CDE的法向量為u(x，y，z)，則于是令x1可得平面CDE的一個法向量u(1,1,1)又由題設(shè)，平面ACD的一個法向量為v(0,0,1)所以cos u，v.因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為.總結(jié)提高空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角(1)異面直線所成的角的范圍是(0，求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角(2)直線與平面所成的角的范圍是0，求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有.(3)確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范圍是(0，解題時要注意圖形的位置和題目的要求作二面角的平面角常有三種方法棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角1(2014·課標全國改編)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為_答案解析方法一由于BCA90°，三棱柱為直三棱柱，且BCCACC1，可將三棱柱補成正方體建立如圖(1)所示空間直角坐標系設(shè)正方體棱長為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二如圖(2)，取BC的中點D，連結(jié)MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角設(shè)BC2，則BMND，AN，AD，因此cosAND.2在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是_答案解析建立空間直角坐標系如圖所示設(shè)正方體的棱長為1，直線BC1與平面A1BD所成的角為，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1BD的一個法向量，則令z1，則x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.3如圖，過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_答案45°解析如圖，取PD中點E，連結(jié)AE，則AE平面PCD，故二面角的平面角APE45°.4.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，AA12，ACBC1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是_答案解析以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0)，C(0,0,0)，則(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD平面ABCD，ABPDa.點E為側(cè)棱PC的中點，又作DFPB交PB于點F，則PB與平面EFD所成角為_答案90°解析建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，則P(0,0，a)，B(a，a,0)，E(0，)故(a，a，a)，所以·00，所以PBDE，由已知DFPB，且DFDED，所以PB平面EFD，所以PB與平面EFD所成角為90°.6在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于_答案解析以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，F(xiàn)(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos，.7如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_答案60°解析以BC，BA，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.8(2014·蘇州調(diào)研)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_答案解析如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，所以(0,2,0)，(1,2,0)，(0,2，1)，設(shè)平面A1BC1的一個法向量為n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，設(shè)D1C1與平面A1BC1所成角為，則sin |cos，n|.9.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是_答案90°解析方法一連結(jié)MD1，易證DD1MCDN，則NDMDD1M，NDMD1MDDD1MD1MD90°，即DND1M，又A1D1平面DC1，A1D1DN，DN平面A1D1M.A1M平面A1D1M，A1MDN.即A1M與DN所成的角為90°.方法二(空間向量法)以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，設(shè)正方體邊長為2，則D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)，(0,2,1)，(2，1,2)，cos，0，A1M與DN的夾角為90°.10正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_答案30°解析如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的一個法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線BC與平面PAC所成的角為90°60°30°.11如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC90°，平面PAD底面ABCD，E為AD的中點，M是棱PC的中點，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求證：PE平面ABCD；(2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值；(3)求直線BM與CD所成角的余弦值(1)證明因為PAPD，E為AD的中點，所以PEAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD.(2)解連結(jié)EC，設(shè)EC的中點為H，連結(jié)MH，HB，如圖因為M是PC的中點，H是EC的中點，所以MHPE.由(1)，知PE平面ABCD，所以MH平面ABCD，所以HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影所以MBH為直線BM與平面ABCD所成的角因為ADBC，BCAD，E為AD的中點，ADC90°，所以四邊形BCDE為矩形，所以EC2，HBEC1.又MHPE，所以在MHB中，tanMBH.所以直線BM與平面ABCD所成角的正切值為.(3)解由(2)，知CDBE，所以直線BM與CD所成角為直線BM與BE的夾角連結(jié)ME，在RtMHE中，ME，同理求得BM，又BECD，所以在MEB中，cosMBE，所以直線BM與CD所成角的余弦值為.12.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB60°，AD2，AM1，E是AB的中點(1)求證：AN平面MEC；(2)在線段AM上是否存在點P，使二面角PECD的大小為？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由(1)證明由已知，MNADBC，連結(jié)BN，設(shè)CM與BN交于F，連結(jié)EF，如圖所示又MNADBC，所以四邊形BCNM是平行四邊形，F(xiàn)是BN的中點又E是AB的中點，所以ANEF.因為EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC.(2)解如圖所示，假設(shè)在線段AM上存在點P，使二面角PECD的大小為.延長DA，CE交于點Q，過A作AHEQ于H，連結(jié)PH.因為四邊形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以MA平面ABCD，又CQ平面ABCD，所以MAEQ，又MAAHA，所以EQ平面PAH，所以EQPH，PHA為二面角PECD的平面角由題意，知PHA.在QAE中，AE1，AQ2，QAE120°，則EQ，所以AH.又在RtPAH中，PHA，則APAH×tan 30°×<1.所以在線段AM上存在點P，使二面角PECD的大小為，此時AP的長為.