第12練函數(shù)的零點關鍵抓住破題題眼題型一函數(shù)零點所在區(qū)間問題例1函數(shù)f(x)ln 的零點所在的大致區(qū)間是(n，n1)，則n_.破題切入點確定函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的符號是否相反，根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間答案2解析f(x)ln ln(x1)，函數(shù)的定義域為(1，)當1<x<2時，ln(x1)<0，>0，所以f(x)>0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點f(2)ln 11>0，f(3)ln 2，因為22.828，所以>e，故 ln e<ln ，即1<ln 8，所以2<ln 8，即f(3)<0，根據(jù)零點存在性定理，可知函數(shù)f(x)在(2,3)上必存在零點又由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知f(x)在(1，)單調(diào)遞減，故n2.題型二函數(shù)零點個數(shù)問題例2已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1內(nèi)有且只有一個根x，則f(x)0在區(qū)間0,2 014內(nèi)根的個數(shù)為_破題切入點由條件推出f(x)是周期等于2的周期函數(shù)，且關于直線x1對稱根據(jù)f()0，可得f()0，從而得到函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的零點個數(shù)，最后得到f(x)0在區(qū)間0,2 014內(nèi)根的個數(shù)答案2 014解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函數(shù)f(x)關于直線x1對稱，因為函數(shù)f(x)0在0,1內(nèi)有且只有一個根x，所以函數(shù)f(x)0在區(qū)間0,2 014內(nèi)根的個數(shù)為2 014.題型三由函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題例3函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x2)f(x)當x0,1時，f(x)2x.若在區(qū)間2,3上方程ax2af(x)0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_破題切入點由條件得出函數(shù)性質(zhì)，準確畫出圖象，結合圖象解決答案<a<解析由f(x2)f(x)得函數(shù)的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，設yf(x)，yax2a，作出函數(shù)yf(x)，yax2a的圖象，如圖，要使方程ax2af(x)0恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線yax2aa(x2)的斜率滿足kAH<a<kAG，由題意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以<a<.總結提高(1)確定零點所在區(qū)間主要依據(jù)就是零點存在性定理，而函數(shù)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間兩端點處的函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件而不是必要條件，所以在判斷函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，不能完全依賴函數(shù)的零點存在性定理(2)函數(shù)零點個數(shù)判斷問題可直接解方程f(x)0，方程的根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，對于無法求解的函數(shù)應根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的符號變化來確定其零點的個數(shù)(3)分段函數(shù)與零點的結合是比較新穎的一類問題，解決此類問題需注意兩個方面：一是分段函數(shù)中的每個解析式所對應自變量的取值范圍，解方程之后要注意檢驗根是否在所給定的取值范圍中；二是靈活利用函數(shù)性質(zhì)確定零點的個數(shù)，靈活利用特殊函數(shù)值的符號判斷零點所在的范圍1f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為_答案5解析2sin xx10，2sin xx1，圖象如圖所示，由圖象看出y2sin x與yx1有5個交點，f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為5.2方程|x22x|a21(a>0)的解的個數(shù)是_答案2解析(數(shù)形結合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點3定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x0時，f(x)則關于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點之和為_答案12a解析當0x<1時，f(x)0.由F(x)f(x)a0，畫出函數(shù)yf(x)與ya的圖象如圖函數(shù)F(x)f(x)a有5個零點當1<x<0時，0<x<1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1<x<0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點之和為12a.4已知f(x)則函數(shù)的零點個數(shù)為_答案2解析當x>0時，由f(x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.當x0時，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞減而f(0)e0021<0，f(2)e2(2)2e2>0，故函數(shù)f(x)在(2,0)上有且只有一個零點綜上，函數(shù)f(x)有兩個零點5(2013·天津改編)函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數(shù)為_答案2解析當0<x<1時，f(x)2xlog0.5x1，令f(x)0，則log0.5xx，由ylog0.5x，yx的圖象知，在(0,1)內(nèi)有一個交點，即f(x)在(0,1)上有一個零點當x>1時，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的圖象知在(1，)上有一個交點，即f(x)在(1，)上有一個零點，綜上有兩個零點6已知函數(shù)f(x)則下列關于函數(shù)yf(f(x)1的零點個數(shù)的判斷正確的是_當k>0時，有3個零點；當k<0時，有2個零點；當k>0時，有4個零點；當k<0時，有1個零點；無論k為何值，均有2個零點；無論k為何值，均有4個零點答案解析當k>0時，f(f(x)1，綜合圖(1)分析，則f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1)對于f(x)t1，存在兩個零點x1，x2；對于f(x)t2，存在兩個零點x3，x4.此時共計存在4個零點當k<0時，f(f(x)1，結合圖(2)分析，則f(x)t(0,1)，此時僅有1個零點x0.故正確7已知函數(shù)f(x)logaxxb(a>0，且a1)，當2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點x0(n，n1)，nN*，則n_.答案2解析由于2<a<3<b<4，故f(1)loga11b1b<0，而0<loga2<1,2b(2，1)，故f(2)loga22b<0，又loga3(1,2)，3b(1,0)，故f(3)loga33b>0，因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n2.8方程2xx23的實數(shù)解的個數(shù)為_答案2解析方程變形為3x22x()x，令y13x2，y2()x.如圖所示，由圖象可知有2個交點9(2014·連云港模擬)已知函數(shù)f(x)2ax22x3.如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為_答案解析若a0，則f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合題意，故a0.下面就a0分兩種情況討論：(1)當f(1)·f(1)0時，f(x)在1,1上至少有一個零點，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)當f(1)·f(1)>0時，f(x)在1,1上有零點的條件是解得a>.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.10(2014·天津)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_答案1<a<2解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示函數(shù)yf(x)a|x|有4個零點，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a>0)當a2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個交點故a<2.當ya|x|(x0)與y|x25x4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個交點，此時，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，則當1<a<2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點故實數(shù)a的取值范圍是1<a<2.11已知函數(shù)f(x)ln xx2.(1)若函數(shù)g(x)f(x)ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，若a>1，h(x)e3x3aex，x0，ln 2，求h(x)的極小值；(3)設F(x)2f(x)3x2kx(kR)，若函數(shù)F(x)存在兩個零點m，n(0<m<n)，且2x0mn.問：函數(shù)F(x)在點(x0，F(xiàn)(x0)處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由解(1)g(x)f(x)axln xx2ax，g(x)2xa.由題意，知g(x)0在x(0，)內(nèi)恒成立，即a(2x)min.又x>0,2x2，當且僅當x時等號成立故(2x)min2，所以a2.(2)由(1)知，1<a2.令ext，則t1,2，則h(t)t33at.h(t)3t23a3(t)(t)由h(t)0，得t或t(舍去)，a(1,2，1,2，若1<t，則h(t)<0，h(t)單調(diào)遞減；若<t2，則h(t)>0，h(t)單調(diào)遞增故當t時，h(t)取得極小值，極小值為h()a3a2a.(3)設F(x)在(x0，F(xiàn)(x0)的切線平行于x軸，其中F(x)2ln xx2kx.結合題意，有得2ln (mn)(mn)k(mn)所以k2x0.由得k2x0.所以ln .設u(0,1)，式變?yōu)閘n u0(u(0,1)設yln u(u(0,1)，y>0，所以函數(shù)yln u在(0,1)上單調(diào)遞增，因此，y<y|u10，即ln u<0.也就是，ln <，此式與矛盾所以F(x)在(x0，F(xiàn)(x0)處的切線不能平行于x軸12(2014·四川)已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)(1)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，證明：e2<a<1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，當x0,1時，g(x)12a，e2a當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；當<a<時，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.綜上所述，當a時，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當<a<時，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；當a時，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)證明設x0為f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個零點，則由f(0)f(x0)0可知f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負故g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點x1.同理，g(x)在區(qū)間(x0,1)內(nèi)存在零點x2，所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點由(1)知，當a時，g(x)在0,1上單調(diào)遞增，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點當a時，g(x)在0,1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點所以<a<.此時g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b>0，g(1)e2ab>0.由f(1)0，有abe1<2，有g(0)ae2>0，g(1)1a>0.解得e2<a<1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點時，e2<a<1.