課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十） 幾何概型一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則使關(guān)于x的一元二次方程x2xa0無(wú)實(shí)根的概率為_(kāi)解析：要使x2xa0無(wú)實(shí)根，則14a<0，即a>，則所求的概率等于.答案：2設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是_解析：如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積S陰4，所求事件的概率P.答案：3在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|1的概率為_(kāi)解析：因?yàn)閨x|1，所以1x1，所以所求的概率為.答案：4已知平面區(qū)域D(x，y)|1x1，1y1，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線ykx(kR)下方的概率為_(kāi)解析：由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，直線ykx將其面積平分，如圖，所求概率為.答案：5某單位甲、乙兩人在19：0024：00之間選擇時(shí)間段加班，已知甲連續(xù)加班2小時(shí)，乙連續(xù)加班3小時(shí)，則23：00時(shí)甲、乙都在加班的概率是_解析：設(shè)甲開(kāi)始加班的時(shí)刻為x，乙開(kāi)始加班的時(shí)刻為y，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(x，y)|19x22，19y21，面積SM2×36.事件A表示“23：00甲、乙都在加班”，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳(x，y)|21x22,20y21，面積SA1×11，所以所求的概率為P(A).答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1從集合A2, 3，4中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，記為k，從集合B2，3,4中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，記為b，則直線ykxb不經(jīng)過(guò)第二象限的概率為_(kāi)解析：將k和b的取法記為(k，b)，則有(2，2)，(2，3)，(2,4)，(3，2)，(3，3)，(3,4)，(4，2)，(4，3)，(4,4)，共9種，因?yàn)閗b0，所以當(dāng)直線ykxb不經(jīng)過(guò)第二象限時(shí)應(yīng)有k>0，b<0，有(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，共4種，所以所求概率為.答案：2(2016·石家莊一模)在區(qū)間0,1上任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和小于的概率是_解析：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則總的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，所求事件包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，如圖所示，陰影部分的面積是1×2，所以這兩個(gè)數(shù)之和小于的概率是.答案：3(2016·海門中學(xué)模擬)在面積為S的ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率為_(kāi)解析：設(shè)AB，AC上分別有點(diǎn)D，E滿足ADAB且AEAC，則ADEABC，DEBC且DEBC.點(diǎn)A到DE的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的，DE到BC的距離等于ABC高的.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在ADE內(nèi)時(shí)，P到BC的距離大于DE到BC的距離，當(dāng)P在ADE內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，PBC的面積大于，所求概率為2.答案：4已知正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則四棱錐M ­ABCD的體積小于的概率為_(kāi)解析：正方體ABCD ­A1B1C1D1如圖所示設(shè)四棱錐M ­ABCD的高為h，由×S四邊形ABCD×h<，且S四邊形ABCD1，得h<，即點(diǎn)M在正方體的下半部分(不包括底面)故所求概率P.答案：5(2015·徐州、宿遷質(zhì)檢)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2內(nèi)的概率為_(kāi)解析：平面區(qū)域1的面積為×2×22，平面區(qū)域2為一個(gè)條形區(qū)域，畫出圖形如圖所示，其中C(0,1)由解得即D，則ACD的面積為S×1×，則四邊形BDCO的面積SSOABSACD2.在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為. 答案：6一只昆蟲(chóng)在邊分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的地方的概率為_(kāi)解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×1230，陰影部分的面積為××222，所以所求概率為.答案：7(2016·蘇錫常鎮(zhèn)一模)AB是半徑為1的圓的直徑，M為直徑AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作垂直于直徑AB的弦，則弦長(zhǎng)大于的概率是_解析：依題意知，當(dāng)相應(yīng)的弦長(zhǎng)大于時(shí)，圓心到弦的距離小于 ，因此相應(yīng)的點(diǎn)M應(yīng)位于線段AB上與圓心的距離小于的地方，所求的概率等于.答案：8已知在圓(x2)2(y2)28內(nèi)有一平面區(qū)域E：點(diǎn)P是圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，而且點(diǎn)P出現(xiàn)在任何一點(diǎn)處是等可能的若使點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大，則m_.解析：如圖所示，當(dāng)m0時(shí)，平面區(qū)域E(陰影部分)的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大答案：09甲、乙兩輛車去同一貨場(chǎng)裝貨物，貨場(chǎng)每次只能給一輛車裝貨物，所以若兩輛車同時(shí)到達(dá)，則需要有一車等待已知甲、乙兩車裝貨物需要的時(shí)間都為20分鐘，倘若甲、乙兩車都在某1小時(shí)內(nèi)到達(dá)該貨場(chǎng)(在此期間貨場(chǎng)沒(méi)有其他車輛)，求至少有一輛車需要等待裝貨物的概率解：設(shè)甲、乙貨車到達(dá)的時(shí)間分別為x，y分鐘，據(jù)題意基本事件空間可表示為，而事件“有一輛車等待裝貨”可表示為A，如圖，據(jù)幾何概型可知其概率等于P(A).10已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.記“ab2”為事件A，求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解：(1)依題意，得n2.(2)記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟，標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠，標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗，h，則取出2個(gè)小球的可能情況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿足“ab2”的有4種：(s，k)，(s，h)(k，s)，(h，s)所以所求概率為P(A).記“x2y2(ab)2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2y24恒成立”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率為P(B)1.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2016·徐州質(zhì)檢)在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點(diǎn)的概率為_(kāi)解析：若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，則4a24(b2)0，即a2b2.所有事件是(a，b)|a，b，S(2)242，而滿足條件的事件是(a，b)|a2b2，s422 32，則概率P .答案：2在區(qū)間0,10上任取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得不等式2x2ax80在(0，)上恒成立的概率為_(kāi)解析：要使2x2ax80在(0，)上恒成立，只需ax2x28，即a2x在(0，)上恒成立又2x28，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立，故只需a8，因此0a8.由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為.答案：3已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夾角是鈍角的概率解：(1)設(shè)“ab”為事件A，由ab，得x2y.基本事件空間為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12個(gè)基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2個(gè)基本事件則P(A)，即向量ab的概率為.(2)因?yàn)閤1,2，y1,1，則滿足條件的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域如圖為矩形ABCD，面積為S13×26.設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2xy<0，且x2y.事件B包含的基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中四邊形AEFD，面積S2××22，則P(B).即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.