2021年全國甲卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案1.設(shè)集合M=x|0x4，N=x|13x5，則MN=A. x|0x13B. x|13x4C. x|4x5D. x|0x52.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3.已知（1-i）2z=3+2i，則z=A.-1-32iB. -1+32iC. -32+iD. -32-i4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為（10101.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且F1PF2=60，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為A.72B. 132C.7D.136.在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正試圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是A. B. C. D. 7.等比數(shù)列an的公比為q，前n項和為Sn，設(shè)甲：q>0，乙:Sn是遞増數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.右圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有以A，B, C三點，且A，B,C在同一水平而上的投影A,B，C滿足ACB=45,ABC=60.由c點測得B點的仰角為15，曲，BB與CC的差為100 :由B點測得A點的仰角為45，則A,C兩點到水平面ABC的高度差A(yù)A-CC約為（31.732）A.346 B.373 C. 446 D.4739.若（0,2),tan2=cos2-sin，則tan=A.1515 B. 55 C. 53 D. 15310.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0 不相鄰的概率為A.13 B. 25 C. 23 D. 4511.已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個點，且ACBC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為A.212 B. 312 C. 24 D. 3412.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x1,2時，fx=ax2+b.若f0+f3=6,則f92=A.-94 B.-32 C. 74 D. 52二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線y=2x-1x+2在點（-1，-3）處的切線方程為_。14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，c=a+kb，若ac，則k=_。15.已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點堆成的兩點，且PQ=F1F2，則四邊形PF1QF2的面積為_。16.已知函數(shù)fx=2cosx+的部分圖像如圖所示，則滿足條件（fx-f-74)(fx-f43)>0的最小正整數(shù)x為_。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。 17.（12 分)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？能否有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異? 附：K2=n(ad-bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 18.(12 分)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立. 數(shù)列an是等差數(shù)列：數(shù)列Sn是等差數(shù)列；a2=3a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，側(cè)面AA1B1B為正方形, AB= BC = 2, E, F分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BF丄A1B1.(1) 證明：BFDE； 當(dāng)為B1D何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 20.（12分）拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上，直線L：x = 1交C于P，Q兩點, 且OP丄OQ.已知點M（2,0）,且M與L相切，（1） 求C , M的方程；（2） 設(shè)A1,A2,A3,是C上的三個點,直線A1 A2, A1 A3均與 M相切，判斷A2A3與M的位置關(guān)系，并說明理由.21.（12 分）己知a0且a1，函數(shù)f（x）=xaax（x0），（1）當(dāng)a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線y= f（x）與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為=22cos.（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點A的直角坐標(biāo)為（1,0）,M為C上的動點，點P滿足AP = 2AM,寫出 P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點.23.選修4一5：不等式選講（10分）已知函數(shù)f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.（1）畫出f（x）和y=g（x）的圖像；（2）若f（x+a）g（x）,求a的取值范圍.參考答案選擇：1、B2、C3、B4、C5、A6、D7、B8、B9、A10、C11、A12、D填空：13：5x-y+2=014：-10315：816：2大題：17：（1）由題意可知：甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是：150/200=3/4乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是：120/200=3/5（2）由于K2=400*150*80-50*1202270*130*200*200=4003910.2566.635所以，有99%的把握認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異。18：情況一：選擇為條件，即數(shù)列an為等差數(shù)列，且a2=3a1證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可知，a10，d0，且a2=3a1=a1+d所以，d=2a1，所以an=a1+n-1d=(2n-1)a1所以Sn=n(a1+an)2=(n*2na1)/2=n2a1所以Sn=na1，Sn+1=(n+1)a1Sn+1-Sn=a1，為常數(shù)，所以數(shù)列Sn為等差數(shù)列。情況二：選擇為條件。證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則 d0因為Sn為等差數(shù)列，所以2S2=S1+S3，即22a1+d=a1+3(a1+d)等式兩邊平方得：4(2a1+d）=a1+3a1+3d+23a1(a1+d)即：4a1+d=23(a12+a1d)等式兩邊平方：4a12-4a1d+d2=0也就是：(2a1-d)2=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1情況三：選擇為條件。證明：因為Sn為等差數(shù)列，且an0，所以可設(shè)Sn=Kn+b（k0）其中k,b為常數(shù)，kn+b0對任意n屬于N *成立所以：Sn=(Kn+b)2，a1=S1=(K+b)2N大于等于2時，an=Sn-Sn-1=2n-1k2+2kb又因為a2=3a1，所以3k2+2kb=3(K+b)2，解得b=0或者4k+3b=0當(dāng)b=o時，a1=k2，n大于等于2時，an=2n-1k2，n=1時同所以an=2n-1k2，所以數(shù)列an為等差數(shù)列。當(dāng)4k+3b=0時，b=4/3k，S1=K+b=-1/3k0，舍去。綜合，數(shù)列an為等差數(shù)列19：（1）直棱柱ABC-A1B1C1，側(cè)面AA1B1B為正方形所以A1B1=B1B=AB=BC=2所以側(cè)面BB1C1C為正方形取BC中點M，連接B1M和EM因為F為CC1重點，所以B1MBF由已知BFA1B1且A1B1B1M=B1所以BF平面A1B1M由于E為AC中點，所以EMA1B1所以EM平面A1B1M，所以BFDE（2）由（1）可知，A1B1BF，且A1B1B1B，所以A1B1平面B1BCC1以B為原點，BC，BY，BB1為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F(xiàn)（2，0，1），D（0，n，2）則向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）設(shè)向量m平面BB1C1C，則向量m=（0，1，0）向量n平面DEF，則向量n=（x，y，z）由：n*EF=0n*FD=0 得：x+y+z=0-2x+ny+z=0得：3x+1-ny=0y=3z=-x-y得：n=（n-1，3，-n-2）設(shè)平面BB1C1C與平面DEF所稱角為QcosQ=|cos<m,n>|=3(n+1)2+9+(n-1)2=32n2+2n+14設(shè)yn=n2+n+7=(n+1/2)2+27/4所以，當(dāng)n=-1/2時，cosQ最大為32*27/4=23此時sinQ 最小為13=33所以，當(dāng)B1D=1/2時，sinQ最小為3320：（1）由題可得，C：y2=2px，p0，點P（1，2p），Q（1，-2p）因為OPOQ，所以1-2P=0，2P=1，所以拋物線C為：y2=xM（2，0），L：x=1且圓M與L相切，所以圓M的方程為：（x-2）2+y2=1（2）設(shè)A1（y12，y1）， A2（y22，y2）， A3（y32，y3）由拋物線及圓M對稱性，不妨設(shè)y10若A1A2，A1A3中有一條切線斜率不存在，不妨設(shè)為A1A2則：A1（3，3），A2（3，-3），設(shè)A1A3：y-3=k（x-3）即kx-y-3k+3=0因為A1A3與圓M相切，所以-k+3k2+1=1解得：k=33即KA1A3=y3-y1y32-y12=1y3+y1=1y3+3=33所以y3=0，即A3（0，0）此時，直線A2A3與A1A3關(guān)于x軸對稱，所以直線A2A3與圓M相切。若A1A2，A1A3斜率均存在，則y121且，y123KA1A2=y2-y1y22-y12=1y2+y1直線A1A2：y-y1=1y2+y1(x-y12)，即x-(y2+y1)y+y2y1=0同設(shè)A1A3：x-(y3+y1)y+y3y1=0，直線A2A3：x-(y2+y3)y+y2y3=0因為直線A1A2，A1A3均與圓M相切，所以，(2+y2y1)21+(y1+y2)2=1(2+y3y1)21+(y1+y3)2=1，即：(2+y2y1)2=1+(y1+y2)2(2+y3y1)2=1+(y1+y3)2所以y2、y3關(guān)于y的方程：(2+yy1)2=1+(y1+y)2即(y12-1)y2+2yy1+3-y12=0的兩個根所以：y2+y3=-2y1y12-1，y2y3=3-y12y12-1設(shè)M到直線A2A3距離為d則d2=(2+y3y1)21+(y1+y3)2=1所以直線A2A3與圓M相切21：（1）f(x)定義域為（0，+）因為a>0且a1，所以f(x)=axa-1ax-xaaxlna(ax)2，且lna0所以f(x)=axa-1-xalnaax=-xa-1lna(x-alna)ax當(dāng)a=2時，f(x) =-xln2(x-2ln2)2x所以f(x)增區(qū)間為（0，2ln2)，減區(qū)間為（2ln2，+)(2)題目等價于f(x)=1在（0，+)上有且只有兩個解當(dāng)0<a<1時，alna<0，又x>0，所以x-alna0所以f(x)0，所以f(x)=1至少有一個解，所以a1此時lna>0，alna0，將f(x)定義域改為0，+)此時f(0)=0f(alna)= (alna)aaalna=(a1-1lnalna)a>1=1a又y=xa(a>1)在（0，+）上，所以a1-1lna> lna得到（1-1lna)lna>ln(lna)，得到lna-1>ln(lna) （*）令g(x)=x-1-lnx，x（0，+）g(x)=1-0-1/x=(x-1)/x所以g(x)g(1)=1-1-ln1=0由a>1得到lna>0，得到：g(lna)0所以，f(alna)>1所以，a>1且ae令b=a1a，又a>1，所以b1則f(x)= (xa1ax)a= (xbx)a由貝努力不等式得：bx=(b12x)2=(1+(b12-1)x)2>1+(b12-1)x2=b12-12x2當(dāng)x>maxalna，1b12-12時，bx=b12-12x2>x>0所以，xbx（0，1），得到f(x)（0，1）由f(x)單調(diào)性可知：f(x)=1，在（0，alna)和（alna)，+）上各有一解。綜上，a取值范圍為（1，e）（e，+）22：（1）2=22cosQ，得到：x2+y2=22x即：C：x2-22x+y2=0（2）C：(x-2)2+y2=2設(shè)P（x1,y1)，則向量AP= （x1-1,y1)向量AM=12AP=（x1-12，y12）所以向量DM=向量OA+向量AM=（x1+2-12，y12）又因為M在上，所以(x1+2-12-2)2+(y12)2=2即：(x1+2-3)22+y122=2所以，C1：(x+2-3)2+y2=4C1：x=3-2+2cosQy=2sinQ，QR圓心距CC1=3-2-2=3-22半徑分別為2和2因為3-22<2-2，所以C在圓C1內(nèi)部，沒有公共點。23：當(dāng)x-32時，2x+30，2x-10g(x)=-(2x+3)+(2x-1)=-4當(dāng)-32<x<12時，2x+3>0，2x-1<0g(x)=2x+3+2x-1=4x+2當(dāng)x12時，2x+3>0，2x-10g(x)=2x+3-(2x-1)=4（2） f(x+a)g(x)|x+a-2|g(x)|2-a+a-2|g(2-a)g(2-a)0 有圖像可知2-a-12a52a+123f(12+a)g(12)a+12-24a112下證當(dāng)a112時，f(x+a)g(x)當(dāng)x-12，g(x)0f(x+a)當(dāng)-12x12時，g(x)=4x+ax+a-12+a-12+112=5f(x+a)=|x+a-2|=x+a-2x+a-2-（4x-2）=a-3x-4112-3*12-4=0綜上，a取值范圍為112，+)