四 、 函 數(shù) 單 調(diào) 性 與 凹 凸 性的 符 號(hào) 與 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性、一 )x(f)( 的 符 號(hào) 與 函 數(shù) 的 凹 凸 性、二 )x(f 的 符 號(hào) 與 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性、一 )x(f)( )b,a(x),0)x(f(0)x(f)(b,a)x(f ,)b,a(,b,a)x(f: 單 減單 增在 則可 導(dǎo)在連 續(xù)在性 質(zhì)證 ： 用 反 證 法 0)x(f ),b,a(x 00 設(shè)0 xx )x(f)x(flim 0 0 xx 0 即 ),x,x(x 00 )x(f)x(f,xx 00 與 f(x)在 a,b單 增 矛 盾中 值 定 理用 Lagrange 2121 xx,b,ax,x 可 導(dǎo)在連 續(xù)在 )x,x(,x,x)x(f 2121 0 xx )x(f)x(f)(f)x,x( 12 1221 使 )x(f)x(f 12 單 調(diào)在的 任 意 性 知由 b,a)x(f,x,x 21 題 型 一 ： 討 論 f(x)的 單 調(diào) 性注 意 :函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 是 一 個(gè) 區(qū) 間 上 的 性 質(zhì) ， 要 用導(dǎo) 數(shù) 在 這 一 區(qū) 間 上 的 符 號(hào) 來(lái) 判 定 ， 而 不 能 用 一點(diǎn) 處 的 導(dǎo) 數(shù) 符 號(hào) 來(lái) 判 別 一 個(gè) 區(qū) 間 上 的 單 調(diào) 性 . ,)( )(0)(數(shù) 的 符 號(hào) 然 后 判 斷 區(qū) 間 內(nèi) 導(dǎo)的 定 義 區(qū) 間來(lái) 劃 分 函 數(shù) 不 存 在 的 點(diǎn)的 根 及用 方 程 xf xfxf 方 法 :例 1 .x23x)x(f 32的 單 調(diào) 性討 論 函 數(shù) 例 1解 .x23x)x(f 32的 單 調(diào) 性討 論 函 數(shù) .1x0 x 1xx1)x(f 313131 駐 點(diǎn),)1,0( 內(nèi)在 函 數(shù) 單 調(diào) 減 少 ；,),1(),0,( 內(nèi)在 .函 數(shù) 單 調(diào) 增 加)x(f )x(f ),1(1)1,0(0)0,(x - +0 x 當(dāng) 不 存 在時(shí)當(dāng) )x(f,0 x 不 存 在 0+ 例 2解 .)( 3 2 的 單 調(diào) 區(qū) 間確 定 函 數(shù) xxf ).,(: D )0 x(,0 x32)x(f 3 .,0 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在時(shí)當(dāng) x 3 2xy )x(f )x(f ),0(0)0,(x - + 不 存 在 單 增在單 減在 )(0,0)(-f(x) 單 調(diào) 減 少在證 二 次 可 導(dǎo)在設(shè)例 a(0,xf(x) 0(x)f0,f(0),a0,f(x) 3 注 意 :區(qū) 間 內(nèi) 個(gè) 別 點(diǎn) 導(dǎo) 數(shù) 為 零 ,不 影 響 區(qū) 間 的 單 調(diào) 性 .例 如 , ,3xy ,00 xy .),( 上 單 調(diào) 增 加但 在 ,x )x(f)x(F: 令證 2x )x(fx)x(f)x(F ),x(f)x(fx)x(G 令 )x(fx)x(G 0,a(0,G(x) 在 ,0)0(G 又 0G(0)G(x)0,x 0)x(F .a,0(xf(x)F(x) 單 調(diào) 減 少在 例 4證 !3xxxsin,0 x: 3 時(shí)當(dāng)證 明 ,6xxxsin)x(f 3設(shè) .2x1xcos)x(f 2則 ,0)0(f 題 型 二 ： 用 單 調(diào) 性 證 明 不 等 式)0 x(,0 xxsin)x(f 0(0)f(x)f0,x ,0)0(f !3xxxsin,0 x 3 時(shí)當(dāng) ),0()x(f 在 ),0()x(f 在 x)x1ln(2x-x,0 x 5 2 時(shí)證 當(dāng)例 .)1,0(12x 6 x 內(nèi) 有 且 僅 有 一 個(gè) 根在方 程證例 問(wèn) 題 :如 何 研 究 曲 線 的 彎 曲 方 向 ? xyoxyo )(xfy 1x 2x圖 形 上 任 意 弧 段 位 于 所 在 弦 的 下 方 A B C 的 符 號(hào) 與 函 數(shù) 的 凹 凸 性、二 )x(f 定 義 );()x(f ),()b,a()x(f ),2x(f2q)1x(f1q)2x2q1x1q(f ,12q1q,2q,1q )b,a(2x,1x,)b,a()x(f 或 凸 函 數(shù)為 下 凸 函 數(shù)稱 或 上 凹內(nèi) 為 下 凸 的在則 稱 恒 有及 內(nèi) 有 定 義在設(shè) (1) xyo 1x 2x)(xfy 圖 形 上 任 意 弧 段 位于 所 在 弦 的 上 方 );()x(f ),()b,a()x(f ),2x(f2q)1x(f1q)2x2q1x1q(f 或 凹 函 數(shù)為 上 凸 函 數(shù)稱 或 下 凹內(nèi) 為 上 凸 的在那 末 稱 (2) )0)x(f(0)x(f)()b,a()x(f ,)b,a()x(f2.4 上 凸內(nèi) 下 凸在則 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo)在如 果性 質(zhì) xyo )(xfya bA B遞 增)(xf 0y xyo )(xfya bBA 遞 減)(xf 0y.)y,x(, ),b,a(x,b)(a,f(x) 3.4 00 0稱 為 拐 點(diǎn)下 凸 的 分 界 點(diǎn)上 凸 連 續(xù)在設(shè)定 義 為 平 面上 的 點(diǎn) .,)x(f,x5)-(2xf(x) 1 3 2 并 求 拐 點(diǎn)的 凹 凸 性討 論設(shè)例 題 型 一 :判 斷 f(x)的 凹 凸 性 ,并 求 拐 點(diǎn)3235 x5x2)x(f: 解 3132 x310 x310)x(f 0 x 當(dāng)3431 x910 x920)x(f 0)1x2(x910 34 21x 不 存 在時(shí)當(dāng) )x(f,0 x )x(f )x(f ),0(0)0,21(21)21,(x - + +0 不 存 在 ,),0(),0,21(,)21,()x(f 下 凸在上 凸在 )23,21( 3拐 點(diǎn) 例 2 .3 的 拐 點(diǎn)求 曲 線 xy 解 ,0時(shí)當(dāng) x ,31 32 xy ,x92y 35.y,y,0 x 均 不 存 在時(shí) .)0,0( 3 的 拐 點(diǎn)是 曲 線點(diǎn) xy ff ),0(0)0,(x 不 存 在+ - 求 拐 點(diǎn) 的 步 驟 不 存 在 的 點(diǎn)及求 (x)f0(x)f )1( .(x)f,D(f) )2( 的 符 號(hào)討 論劃 分 成 幾 個(gè) 區(qū) 間用 這 些 點(diǎn) 將 的 凸 凹 區(qū) 間 及 拐 點(diǎn)求例 lnxf(x) 2 0)x(f ,)x(f)x(f,x(,xf(x) 3.4 0 000則 的 拐 點(diǎn)為且二 階 可 導(dǎo)在若性 質(zhì) .bxaxy(1,3),ba, 3 23 的 拐 點(diǎn)為為 何 值 時(shí)問(wèn)例 方 法 1: ,x)x(f 0的 去 心 鄰 域 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù) ;)(,(,)()1( 000 即 為 拐 點(diǎn)點(diǎn)變 號(hào)兩 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 點(diǎn)點(diǎn)不 變 號(hào)兩 近 旁 xfxxfx 點(diǎn) 未 必 二 階 可 導(dǎo)在 0 x 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 點(diǎn)線 是 曲那 末而 且的 鄰 域 內(nèi) 三 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù)xfy xfxxfxf xxf .)x(f)0(f,0( ,0)0(f,x(x)f(x)f f(x) 7 2的 拐 點(diǎn)是 否 是問(wèn) 且滿 足設(shè)例 題 型 二 : 利 用 凹 凸 性 證 明 不 等 式 q1p1x qypxxy1,qp0,qp,),(0,yx, (2) ),(ef(x)(1) 4 有為 嚴(yán) 格 下 凸 函 數(shù)在證例 2yxyx e2ee y,x 5 證設(shè)例 )()()(, ),(x,x:,b)(a,f(x) 6 212 1112221 21 xfxx xxxfxx xxxfxxx ba 有 證內(nèi) 嚴(yán) 格 下 凸 函 數(shù)在設(shè)例 4.小 結(jié)曲 線 的 彎 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 變 彎 曲 方 向 的 點(diǎn) 拐 點(diǎn) ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 點(diǎn) 的 求 法 1, 2. 思 考 題 若 0)0( f ， 是 否 能 斷 定 )(xf 在 原 點(diǎn) 的充 分 小 的 鄰 域 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ？ 思 考 題 解 答不 能 斷 定 . 例 0,0 0,1sin2)( 2 x xxxxxf )0(f )1sin21(lim0 xxx 01但 0,1cos21sin41)( xxxxxf )212( 1kx當(dāng) 時(shí) ， 0)212( 41)( kxf kx 21當(dāng) 時(shí) ， 01)( xf注 意 可 以 任 意 大 ， 故 在 點(diǎn) 的 任 何 鄰域 內(nèi) ， 都 不 單 調(diào) 遞 增 k 00 x)(xf 一 、 填 空 題 ：1、 函 數(shù) 71862 23 xxxy 單 調(diào) 區(qū) 間 為 _ _.2、 函 數(shù) 21 2 xxy 在 區(qū) 間 -1,1上 單 調(diào) _， 在 _上 單 調(diào) 減 .3、 函 數(shù) 22 ln xxy 的 單 調(diào) 區(qū) 間 為 _， 單 減 區(qū) 間 為 _.二 、 確 定 下 列 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 ： 1、 xxxy 694 10 23 ；2、 3 2)(2( xaaxy ( 0a )； 3、 xxy 2sin . 練 習(xí) 題 三 、 證 明 下 列 不 等 式 ：1、 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 22 1)1ln(1 xxxx ； 2、 當(dāng) 4x 時(shí) ， 22 xx ；3、 若 0 x ， 則 361sin xxx . 四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 幾 個(gè) 實(shí) 根 .五 、 設(shè) )(xf 在 ba, 上 連 續(xù) ， 在 ( ba, )內(nèi) )(xf ,試 證 明 ： 對(duì) 于 ba, 上 任 意 兩 1x ， 2x 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 提 示 ： 方 法 （ 1） 0)( xf ， )(xf 單 增 ； 方 法 （ 2） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 一 、 1、 ),3,1,( 單 調(diào) 增 加 , 3,1 單 調(diào) 減 少 ； 2、 增 加 , ),1,1,( 3、 1,( , ),1 ； 1,0(,1,(;1,0(),0,1 . 二 、 1、 在 ),1,21,0(),0,( 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 , 在 1,21 上 單 調(diào) 增 加 ； 2、 在 ),32,( aa 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 , 在 ,32 aa 上 單 調(diào) 減 少 ； 練 習(xí) 題 答 案 3、 在 32,2 kk 上 單 調(diào) 增 加 , 在 22,32 kk 上 單 調(diào) 減 少 , ),2,1,0( k .四 、 (1) ea 1 時(shí) 沒 有 實(shí) 根 ； (2) ea 10 時(shí) 有 兩 個(gè) 實(shí) 根 ；(3) ea 1 時(shí) 只 有 ex 一 個(gè) 實(shí) 根 .