第53課 立體幾何綜合(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P38練習(xí)5改編)如圖，在ABC中，M為邊BC的中點，沿AM將ABC 折起，使點B在平面ACM外.則當(dāng)時，直線AM平面BCM.(第1題)【答案】AB=AC【解析】當(dāng)AB=AC時，有AMMB，AMMC.2.(必修2P50練習(xí)5改編)若在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別是棱SA，SB，SC的中點，則平面MNP與平面ABC的位置關(guān)系為.【答案】平行3.(必修2P70練習(xí)13改編)若三個球的半徑之比為123，則最大的球的體積是另外兩個球的體積之和的倍.【答案】3【解析】根據(jù)球的體積公式V=r3進(jìn)行求解.4.如圖(1)，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點A1的最短路線的長為cm.(第4題(1)【答案】13【解析】如圖(2)，將三棱柱沿側(cè)棱AA1展開(兩周)，AA1=5 cm，AA=12 cm，易知所求最短路線長為A1A=13 cm.(第4題(2)1.高考中關(guān)于立體幾何的?？伎键c有：性質(zhì)的運用，證明位置關(guān)系(平行或垂直)，求量(體積、面積、長度).2.解決翻折問題時要注意量和關(guān)系的變與不變.3.立體幾何會與函數(shù)等知識綜合考查求最值，得出關(guān)系式是解決問題的前提.【要點導(dǎo)學(xué)】要點導(dǎo)學(xué)各個擊破簡單幾何體的折疊問題例1(2014·廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如圖(2)所示折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)求證：CF平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積. 圖(1) 圖(2)(例1)【思維引導(dǎo)】要證CF平面MDF，可通過證明CFDF與CFMD得到.求三棱錐M-CDE的體積的前提是分別求得CDE的面積與MD的值；借助圖形中的垂直與平行關(guān)系可求得相應(yīng)的值.【解答】(1)因為PD平面ABCD，PD平面PCD，所以平面PCD平面ABCD，而平面PCD平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MDCD，所以MD平面PCD.因為CF平面PCD，所以CFMD，又CFMF，MD，MF平面MDF，且MDMF=M，所以CF平面MDF.(2)由(1)知CF平面MDF，DF平面MDF，所以CFDF，易知PCD=60°，所以CDF=30°，從而CF=CD=，因為EFDC，所以=，即=，所以DE=，所以PE=，所以SCDE=CD×DE=，MD=，所以=SCDE×MD=××=.【精要點評】本題以折疊圖形為考查形式，考查直線與平面垂直的判定以及利用等體積法計算三棱錐的體積，屬于中檔題.圖形折疊問題主要先弄清量的變與不變的問題，以及兩個圖形之間的關(guān)系等.變式如圖(1)，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC=.(1)求證：DE平面BCF；(2)求證：CF平面ABF；(3)當(dāng)AD=時，求三棱錐F-DEG的體積. 圖(1) 圖(2)(變式)【思維引導(dǎo)】要證DE平面BCF，即可證DEBC；要證CF平面ABF，即可證AFCF與BFCF；求體積前先確定GE是高，DFG是底.【解答】(1)在等邊三角形ABC中，AD=AE，所以=，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，所以DEBC.因為DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AFCF，且BF=CF=.因為在三棱錐A-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，所以CFBF.因為BFAF=F，BF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF，結(jié)合(2)可得GE平面DFG，所以=××DG×FG×GE=×××××=.立體幾何模型實際應(yīng)用問題例2請你設(shè)計一個包裝盒，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去如圖(1)所示的陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個如圖(2)所示的正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=x cm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位：cm2)最大，試問：x應(yīng)取何值?(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位：cm3)最大，試問：x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值. 圖(1) 圖(2)(例2)【思維引導(dǎo)】本題求解的前提是找到盒子的底面邊長與高，繼而求得底面面積，再求其體積.而解題的關(guān)鍵是正確地求得“盒子”體積的函數(shù)式.因為題中涉及了三次函數(shù)的最值，所以要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值.【解答】(1)根據(jù)題意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1 800(0<x<30)，所以x=15 時包裝盒側(cè)面積S最大.答：當(dāng)x=15時，包裝盒的側(cè)面積最大，(2)根據(jù)題意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30)，所以V'=6x(20-x).當(dāng)0<x<20時，V'>0，V單調(diào)遞增；當(dāng)20<x<30時，V'<0，V單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=20時，V取極大值也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為=.答：x=20時包裝盒容積V最大，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.【精要點評】(1)本題主要考查空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力、建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解的能力等，屬于中檔題；(2)合理、正確地構(gòu)建函數(shù)式是解決此類問題的關(guān)鍵，在給出函數(shù)式時要考慮到其定義域；(3)涉及求高次函數(shù)的最值時要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值.變式如圖(1)，將邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的底面為正三角形的鐵皮箱，如圖(2)所示，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大?最大容積是多少? 圖(1) 圖(2)(變式)【解答】設(shè)箱底邊長為x，則箱高為h=×(0<x<a)，箱子的容積為V(x)=x2×sin 60°×h=ax2-x3(0<x<a).由V'(x)=ax-x2=0，解得x1=0(舍去)，x2=a，且當(dāng)x時，V'(x)>0，函數(shù)V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時，V'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)V(x)在x=a處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值：V=a×-×=a3.答：當(dāng)箱子底邊長為a時，箱子容積最大，最大值為a3.簡單的幾何體鑲嵌問題例3在球面上有四個點P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，則這個球的表面積是.【思維引導(dǎo)】要求球的面積，關(guān)鍵在于求球的半徑.【答案】3a2(例3)【解析】作出球O如圖所示，設(shè)過A，B，C三點的球的截面圓的半徑為r，圓心為O'，球心到該圓面的距離為d，在三棱錐P-ABC中，因為PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=PC=a，所以AB=AC=BC=a，且點P在ABC內(nèi)的射影是ABC的中心O'，由正弦定理得 =2r，所以r=a.又根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，有OO'平面ABC.而PO'平面ABC，所以P，O，O'三點共線，球的半徑R=.又PO'=a，所以O(shè)O'=R-a=d=，所以=R2-，解得R=a，所以S球=4R2=3a2.【精要點評】解決球與棱柱、棱錐、棱臺的切、接問題，一般經(jīng)過球心及多面體中特殊的點或線作截面，通過作截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)而利用平面幾何的知識尋找兩幾何體的元素間的關(guān)系.解決鑲嵌問題的關(guān)鍵是要弄清楚兩個或多個幾何體之間的數(shù)量及位置關(guān)系.變式若一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的體積為.【答案】【解析】可考慮正四面體的“外接”立方體，該立方體的棱長為1，其外接球的直徑為，所以球的體積為=.1.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖(2)所示的正四棱錐容器，則當(dāng)x=6cm時，該容器的容積為cm3.圖(1)圖(2)(第1題)【答案】48【解析】由題知AB=6cm，所以底面ABCD的面積為36cm2.結(jié)合圖形可求得正四棱錐的高為4，所以該容器的容積為48cm3.2.在棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為.【答案】3.(2015·陜西卷)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=90°，AB=BC，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖(2)所示.求證：CD平面A1OC. 圖(1) 圖(2)(第3題)【解答】在圖(1)中，因為AB=BC，AD=2BC，E是AD的中點，BAD=90°，所以四邊形ABCE是正方形，所以BEAC，即在圖(2)中，BEOA1，BEOC，OA1OC=O，OA1，OC平面A1OC，所以BE平面A1OC，又ADBC，AD=2BC，且E為AD的中點，所以EDBC，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.4.請你設(shè)計一個如圖所示的帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐.問：當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大?(第4題)【解答】設(shè)OO1為x m，則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為=，于是底面正六邊形的面積為6××=(8+2x-x2)，所以帳篷的體積為V(x)=(8+2x-x2)(x-1)+1=(16+12x-x3)，V'(x)=(12-3x2).令V'(x)=0，解得x=-2(不合題意，舍去)或2.當(dāng)1<x<2時，V'(x)>0 ，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時，V'(x)<0 ，V(x)為減函數(shù).所以當(dāng)x=2時，V(x)最大.答：當(dāng)OO1=2 m時，帳篷的體積最大.【融會貫通】融會貫通能力提升如圖(1)所示，在RtABC中，AC=6，BC=3，ABC=90°，CD為ACB的平分線，點E在線段AC上，且CE=4.如圖(2)所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連接AB，設(shè)點F是AB的中點. 圖(1) 圖(2)(1)求證：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積.【思維引導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)在圖(1)中，因為AC=6，BC=3，ABC=90°，所以ACB=60°.因為CD為ACB的平分線，所以BCD=ACD=30°，所以CD=22分因為CE=4，DCE=30°，所以DE=2.因為CD2+DE2=EC2，所以CDE=90°，即DEDC4分在圖(2)中，因為平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACD=CD，DE平面ACD，所以DE平面BCD7分(2)在圖(2)中，因為EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDG=BG，所以EFBG.9分因為點E在線段AC上，CE=4，點F是AB的中點，所以AE=EG=CG=2.作BHCD交CD于點H，如圖(3)所示.因為平面BCD平面ACD，所以BH平面ACD.11分圖(3)由已知條件可得BH=.12分SDEG=SACD=×AC×CD×sin 30°=.13分所以三棱錐B-DEG的體積V=SDEG×BH=××= 14分【精要點評】對于翻折問題，通常在折痕的同側(cè)的位置關(guān)系和線的長度、角的大小不變，但是在折痕兩側(cè)的線的長度、角的大小以及位置關(guān)系都有變化，這一點是處理翻折問題的關(guān)鍵.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)第105106頁.【檢測與評估】第53課立體幾何綜合一、 填空題1.(2015·平頂山統(tǒng)考)已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“m”的條件.2.在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有對.3.下列命題中，是真命題的有.(填序號)平行于同一個平面的兩個不同平面互相平行；過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)；如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么它們有且只有一條過該點的公共直線.4.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，下列命題中正確的是.(填序號)若，m，n，則mn；若，m，n，則mn； 若mn，m，n，則；若m，mn，n，則.5.(2015·全國卷)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及委米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有.(第5題)6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是.(第6題)7.在正四面體ABCD中，E是AB的中點，那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為.8.(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4，過圓錐的兩條母線作截面，截面為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為.二、 解答題 9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=CD=AB， ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1)求證：BC平面PAC；(2)若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PNPB的值.(第9題)10.(2015·無錫期末)如圖，過四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內(nèi)的一點P和下底面的對角線BD將木塊鋸開，得到截面BDFE.(1)請在木塊的上表面作出過點P的鋸線EF，并說明理由；(2)若該四棱柱的底面為菱形，四邊形BB1D1D是矩形，求證：平面BDFE平面A1C1CA.(第10題)11.四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時，求其表面積.三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.(2015·福建卷)如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1.(第12題)(1)若D為線段AC的中點，求證：AC平面PDO；(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；(3)若BC=，點E在線段PB上，求CE+OE的最小值.【檢測與評估答案】第53課立體幾何綜合1. 必要不充分2. 4【解析】3對側(cè)面，1對底面.3. 4. 5.22斛【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則×2×3r=8，得r=，所以米堆的體積為××3××5=，故堆放的米約為÷1.6222(斛).6. 7.【解析】如圖，設(shè)AD的中點為F，連接EF，CF，則EFBD，所以異面直線CE與BD所成的角就是CEF.設(shè)正四面體ABCD的棱長為2a，則EF=a，CE=CF=a，由余弦定理可得cos CEF= =.(第7題)8.【解析】如圖，設(shè)底面半徑為r，由題意可得母線長為r.又側(cè)面展開圖的面積為×r×2r=4，所以r=2.又截面三角形ABD為等邊三角形，故BD=AB=r，又OB=OD=r，故BOD為等腰直角三角形.設(shè)圓錐底面中心到截面的距離為d，又=，所以d×SABD=AO×SOBD.又SABD=AB2=×8=2，SOBD=2，AO=r=2，故d=.(第8題)9. (1) 設(shè)AD=1，因為AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2.因為ADC=90°，所以AC=，CAB=45°.在ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2，所以BCAC.因為PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC.因為PC平面PAC，AC平面PAC，PCAC=C，所以BC平面PAC.(2) 如圖，因為ABDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，(第9題)所以AB平面CDMN.因為AB平面PAB，平面PAB平面CDMN=MN，所以ABMN.在PAB中，因為M為線段PA的中點，所以N為線段PB的中點，即PNPB的值為.10. (1) 如圖，在上底面內(nèi)過點P作B1D1的平行線，分別交A1D1，A1B1于F，E兩點，則EF即為所作的鋸線.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱B1BD1D且B1B=D1D，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，所以EFBD，從而EFB1D1.(第10題)(2) 由于四邊形BB1D1D是矩形，所以BDB1B.又A1AB1B，所以BDA1A.又因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BDAC.因為ACA1A=A，AC平面A1C1CA，A1A平面A1C1CA，所以BD平面A1C1CA.因為BD平面BDFE，所以平面BDFE平面A1C1CA.11. (1) 如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP，EP，CP，所以BPAD，CPAD，BPCP=P，BP，CP平面BCP，所以AD平面BPC，所以=+=·SBPC·AP+SBPC·PD=·SBPC·AD=··a ·x=·=a3(當(dāng)且僅當(dāng)x=a時取等號).所以該四面體的體積的最大值為a3.(第11題)(2) 由(1)知，ABC和BCD都是邊長為a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a，所以S表=2×a2+2××a×=a2+a×=a2+=a2.12. (1) 在AOC中，因為OA=OC，D為AC的中點，所以ACOD.又PO垂直于圓O所在的平面，AC圓O所在的平面，所以POAC.因為PODO=O，PO，DO平面PDO，所以AC平面PDO.(2) 因為點C在圓O上，所以當(dāng)COAB時，點C到AB的距離最大，且最大值為1.又AB=2，所以ABC面積的最大值為 ×2×1=1.又因為三棱錐P-ABC的高PO=1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為×1×1=.(3) 在POB中，PO=OB=1，POB=90°，所以PB=.同理PC=，所以PB=PC=BC.在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面PCB繞PB旋轉(zhuǎn)至平面PBC'，使之與平面ABP共面，當(dāng)O，E，C'共線時，CE+OE取得最小值.又因為OP=OB，C'P=C'B，所以O(shè)C'垂直平分PB，即E為PB的中點.從而OC'=OE+EC'=+=，即CE+OE的最小值為.(第12題)