第55課 兩條直線的位置關(guān)系(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P79例2改編)經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，且與直線3x+4y-100=0平行的直線的方程是.【答案】3x+4y-11=02.(必修2P77習(xí)題6改編)經(jīng)過點(diǎn)M(3，-4)，且與直線2x+3y-21=0垂直的直線的方程是.【答案】3x-2y-17=03.(必修2P87習(xí)題7改編)直線x+ay+3=0與直線ax+4y+6=0平行的充要條件是實(shí)數(shù)a=.【答案】-2【解析】由兩條直線平行可知所以a=-2.4.(必修2P94習(xí)題18改編)已知直線l：y=3x+3，那么：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)M(3，2)對(duì)稱的直線的方程為 ； (2)l關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的直線的方程為 .【答案】(1)y=3x-17(2)x-3y-1=01.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y1=k1x+b1，y2=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(+0)，A2x+B2y+C2=0(+0)相交k1k2A1B2-A2B10垂直k1=-或k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1b2或重合k1=k2且b1=b2A1=A2，B1=B2，C1=C2(0)2.兩條直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)兩條直線的方程分別是l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，聯(lián)立方程，得(1)若方程組有一組解，則l1與l2的位置關(guān)系為相交.(2)若方程組有無窮多組解，則l1與l2的位置關(guān)系為重合；(3)若方程組無解，則l1與l2的位置關(guān)系為平行.3.距離(1)平面上兩點(diǎn)P(x1，y1)與Q(x2，y2)間的距離PQ=；(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：ax+by+c=0的距離d=；(3)兩平行直線ax+by+m=0與ax+by+n=0間的距離d=.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破兩直線位置關(guān)系的判斷例1已知直線l1：mx+8y+n=0和直線l2：2x+my-1=0，試確定m，n的值，使：(1)l1和l2相交于點(diǎn)P(m，-1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y軸上的截距為-1.【思維引導(dǎo)】考查兩直線的位置關(guān)系，掌握運(yùn)用直線的方程來刻畫不同的位置關(guān)系.【解答】(1)聯(lián)立解得所以當(dāng)m=1，n=7時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn)P(m，-1).(2)由題意得=，即m2-16=0，得m=±4.又，即n-，所以m=4，n-2或m=-4，n2時(shí)，l1l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)m×2+8×m=0，即m=0時(shí)，l1l2.又-=-1，所以n=8，即m=0，n=8時(shí)，l1l2，且l1在y軸上的截距為-1.【精要點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用直線的一般式方程判斷位置關(guān)系時(shí)，需準(zhǔn)確掌握兩直線位置關(guān)系的判斷方法，本題也可將方程化為斜截式.變式若直線l1經(jīng)過不同的兩點(diǎn)A(2a+2，0)，B(2，2)，l2經(jīng)過不同的兩點(diǎn)C(0，1+a)，D(1，1).(1)若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值.【思維引導(dǎo)】利用斜率公式求出斜率，判斷求解.【解答】當(dāng)a=0時(shí)，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1).此時(shí)kAB不存在，而kCD=0，所以l1l2.當(dāng)a=-1時(shí)，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)，kAB=kCD=1，又均過原點(diǎn)(0，0)，所以l1與l2重合.當(dāng)a0且a-1時(shí)，kAB=-，kCD=-a.若l1l2，則kAB=kCD，即-=-a，得a=1或a=-1(舍去)；若l1l2，則kAB·kCD=-1，即×(-a)=-1，a不存在.綜上， 當(dāng)a=1時(shí)，l1l2；當(dāng)a=0時(shí)，l1l2.對(duì)稱問題例2已知直線l：x+2y-2=0.(1)求直線l1：y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程；(2)求直線l關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱的直線方程.【思維引導(dǎo)】求對(duì)稱點(diǎn)或直線，都可以通過構(gòu)造方程(組)來求解相應(yīng)量.比如解決點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題時(shí)，常利用中點(diǎn)公式和垂直關(guān)系列方程組來解決.特別地，當(dāng)對(duì)稱軸的斜率為±1時(shí)，可用替換法.而關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問題，則可利用中點(diǎn)公式.【解答】(1)因?yàn)橹本€l1：y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線為l2，所以l2上任一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P'(x'，y')一定在直線l1上，反之也成立.由得 把(x，y)代入方程y=x-2并整理，得7x'-y'-14=0.即直線l2的方程為7x-y-14=0.(2)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，1)的對(duì)稱直線為l'，則直線l上任一點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P'(x，y)一定在直線l'上，反之也成立.由得將(x1，y1)代入直線l的方程，得x+2y-4=0，所以直線l'的方程為x+2y-4=0.【精要點(diǎn)評(píng)】關(guān)于點(diǎn)與直線之間的對(duì)稱問題有若干種，但每一個(gè)對(duì)稱問題都有相應(yīng)且具體的解決方案.比如解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題時(shí)就要把握兩點(diǎn)：若點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，且直線l與直線MN垂直.若是直線或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的問題，那么只需運(yùn)用中點(diǎn)公式就可解決.若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，則可結(jié)合如下性質(zhì)：若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'在直線l2上.變式(1)點(diǎn)P(4，0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.(2)直線l：2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(-1，-2)對(duì)稱的直線l'的方程是.(3)直線l1：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對(duì)稱的直線l2的方程是.【答案】(1)(-6，-8)(2)2x-3y-9=0(3)2x+11y+16=0【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P(4，0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)，由題意知PP1的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸5x+4y+21=0上，且PP1與對(duì)稱軸垂直，則有解得x1=-6，y1=-8，所以P1(-6，-8).(2)設(shè)點(diǎn)Q'(a，b)是直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q'(a，b)關(guān)于點(diǎn)A(-1，-2)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q'(a，b)在直線l上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x-3y-9=0.(3)在直線l1上取一點(diǎn)A(2，0)，又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x0，y0)，則解得B.又l1與l的交點(diǎn)為M(3，-2)，故由兩點(diǎn)式可求得直線l2的方程為2x+11y+16=0.距離問題例3已知點(diǎn)P(2，-1).(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求此最大距離.【思維引導(dǎo)】已知直線過定點(diǎn)求方程，首先想到的是求斜率或設(shè)方程的斜截式，但不要忘記斜率不存在的直線是否滿足題意.若滿足，可先把它求出，然后再考慮斜率存在的一般情況.圖形中量的最值問題往往可由幾何原理作依據(jù)解決.【解答】(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知，得=2，解得k=，此時(shí)l的方程為3x-4y-10=0.綜上，直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0.(2)由題可知過點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離最大的直線與PO垂直，即lOP，klkOP=-1，所以kl=-=2.所以直線l的方程為y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，此時(shí)最大距離為=.【精要點(diǎn)評(píng)】若動(dòng)直線l過定點(diǎn)A，直線外一點(diǎn)B到直線l的距離滿足BHBA，即最大值為AB(當(dāng)且僅當(dāng)l與直線AB垂直時(shí)成立).變式1到直線l：3x-4y+3=0距離為1的直線的方程為.【答案】3x-4y+8=0或3x-4y-2=0【解析】設(shè)所求直線l的方程為3x-4y+m=0，由兩直線間距離為1，知=1，得m=8或-2，所以所求直線方程為3x-4y+8=0或3x-4y-2=0.變式2已知點(diǎn)P(-1，3)，那么過點(diǎn)P與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程是.【答案】x-3y+10=0【解析】過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l垂直于直線OP，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為y-3=(x+1)，即x-3y+10=0.1.經(jīng)過直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為.【答案】4x-3y+9=0【解析】聯(lián)立直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0，解得交點(diǎn)為，由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進(jìn)而得所求直線方程為4x-3y+9=0.2.點(diǎn)P(-1，3)到直線l：y=k(x-2)的距離的最大值等于.【答案】3【解析】方法一：將直線l：y=k(x-2)的方程化為kx-y-2k=0，所以點(diǎn)P(-1，3)到直線l的距離d=3，由于1，所以d3.方法二：直線l：y=k(x-2)過定點(diǎn)Q(2，0)，所以所求距離的最大值即為PQ=3.3.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，1)，且被兩平行直線l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的線段之長為5，則直線l的方程為.【答案】x=3或y=1【解析】由題意得，直線l1，l2之間的距離為d=，且直線l被平行直線l1，l2所截得的線段AB的長為5(如圖).(第3題)設(shè)直線l與直線l1的夾角為，則sin =，故=45°.由直線l1：x+y+1=0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又直線l過點(diǎn)P(3，1)，故直線l的方程為x=3或y=1.4.(2015·宿遷一模)已知光線通過點(diǎn)M(-3，4)，被直線l：x-y+3=0反射，反射光線通過點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由題意得反射光線經(jīng)過點(diǎn)M(-3，4)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q(x，y)與點(diǎn)N(2，6).由解得所以Q(1，0)，所以反射光線所在直線的方程為=，即y=6x-6.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評(píng)估中的練習(xí)第109110頁.【檢測與評(píng)估】第55課兩條直線的位置關(guān)系一、 填空題1.兩平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0的距離為.2.若直線l過點(diǎn)(-1，2)且與直線2x-3y+4=0垂直，則直線l的方程為.3.若直線x+ay=2a+2與直線ax+y=a+1平行，則實(shí)數(shù)a的值為.4.若直線l經(jīng)過直線2x-y+3=0和3x-y+2=0的交點(diǎn)，且與直線y=2x-1垂直，則直線l的方程為.5.已知直線l：x+2y-2=0，那么點(diǎn)P(-2，-1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.6.已知直線l到直線l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0的距離相等，那么直線l的方程為.7.已知直線l：y=3x+3，那么直線x-y-2=0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程為.8.已知點(diǎn)P(-2，-2)，Q(0，-1)，取一點(diǎn)R(2，m)，使PR+RQ最小，那么實(shí)數(shù)m的值為.二、 解答題 9.已知直線l1：(m+3)x+2y=5-3m，l2：4x+(5+m)y=16，求分別滿足下列條件的m的值.(1)l1與l2相交；(2)l1與l2平行；(3)l1與l2重合；(4)l1與l2垂直.10.已知直線l1：ax-by+4=0，直線l2：(a-1)x+y+b=0，求分別滿足下列條件的a，b的值：(1)直線l1過點(diǎn)(-3，-1)，且直線l1與l2垂直；(2)直線l1與直線l2平行，且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1，l2的距離相等.11.若直線y=2x是ABC中角C的平分線所在的直線，且A，B的坐標(biāo)分別為A(-4，2)，B(3，1)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷ABC的形狀.三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為.13.若ABC的頂點(diǎn)為A(3，-1)，AB邊上的中線所在的直線方程為6x+10y-59=0，角B的平分線所在的直線方程為x-4y+10=0，則BC邊所在的直線方程為.【檢測與評(píng)估答案】第55課兩條直線的位置關(guān)系1.2. 3x+2y-1=0【解析】由題意知直線l的斜率為-，因此直線l的方程為y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.3.1【解析】由平行直線斜率相等得=a，解得a=±1，由于當(dāng)a=-1時(shí)兩直線重合，所以a=1. 4.x+2y-11=0【解析】由得即交點(diǎn)(1，5)，直線y=2x-1的斜率k=2，與其垂直的直線斜率為-=-，所以所求直線方程為y-5=-(x-1)，即x+2y-11=0.5.【解析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x0，y0)，則線段PP'的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸l上，且PP'l，所以解得即點(diǎn)P'的坐標(biāo)為.6.2x-y+1=0【解析】因?yàn)橹本€l到兩直線的距離相等，所以直線l一定與兩直線平行.設(shè)直線l為2x-y+m=0，則由兩條平行線之間的距離公式有=，解得m=1，所以直線l的方程為2x-y+1=0.7.7x+y+22=0【解析】由 得交點(diǎn)坐標(biāo)P.又直線x-y-2=0上的點(diǎn)Q(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q'，故所求直線(即PQ')的方程為=，即7x+y+22=0.8. -【解析】因?yàn)镽(2，m)在直線x=2上，又P(-2，-2)，Q(0，-1)在直線x=2的同側(cè)，所以可求得P(-2，-2)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)P'(6，-2)，所以(PR+RQ)min=P'Q，于是所求的R(2，m)為直線P'Q與直線x=2的交點(diǎn).由P'，R，Q三點(diǎn)共線，得=，解得m=-.9. 可先從平行的條件=(化為a1b2=a2b1)著手.由=，得m2+8m+7=0，解得m1=-1，m2=-7.由=，得m=-1.(1) 當(dāng)m-1且m-7時(shí)，l1與l2相交.(2) 當(dāng)m=-7時(shí)，=.l1l2.(3) 當(dāng)m=-1時(shí)，=，l1與l2重合.(4) 當(dāng)a1a2+b1b2=0，即(m+3)·4+2·(5+m)=0，m=-時(shí)，l1l2.10. (1) 因?yàn)閘1l2，所以a(a-1)+(-b)·1=0，即a2-a-b=0.又點(diǎn)(-3，-1)在l1上，所以-3a+b+4=0.由解得a=2，b=2.(2) 因?yàn)閘1l2，所以=1-a，所以b=，故l1和l2的方程可分別表示為(a-1)x+y+=0，(a-1)x+y+=0.又原點(diǎn)到l1，l2的距離相等，所以4=，所以a=2或，所以a=2，b=-2或a=，b=2.11. 由題意畫出大致圖象如圖所示，設(shè)點(diǎn)A(-4，2)關(guān)于直線l：y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為A'(a，b)，則點(diǎn)A'必在直線BC上.由對(duì)稱性可得解得所以A'(4，-2).所以直線BC的方程為=，即3x+y-10=0.由得C(2，4).所以kAC=，kBC=-3，所以ACBC.所以ABC是直角三角形.(第11題)12.3【解析】依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0距離都相等的直線，則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x+y+m=0，根據(jù)平行線間的距離公式得=，|m+7|=|m+5|，解得m=-6，所以l的方程為x+y-6=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.13.2x+9y-65=0.【解析】設(shè)B(4y1-10，y1)，由線段AB的中點(diǎn)在直線6x+10y-59=0上，可得6·+10·-59=0，解得y1=5，所以B(10，5).設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x-4y+10=0的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x'，y')，則有即A'(1，7).故BC邊所在的直線方程為2x+9y-65=0.