要點導(dǎo)學(xué)各個擊破求動點的軌跡方程如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動點P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(點M,N分別為切點),使得PM=PN.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動點P的軌跡方程.(例1)思維引導(dǎo)首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,找到線段之間的關(guān)系,利用已知條件很容易找到動點滿足圓的條件,動點的軌跡應(yīng)該是圓.解答以O(shè)1O2的中點O為原點,O1O2所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則O1(-2,0),O2(2,0).因為PM=PN,所以PM2=2PN2.因為兩圓的半徑都為1,所以P-1=2(P-1).設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即(x-6)2+y2=33.故動點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33(或?qū)懗蓌2+y2-12x+3=0).精要點評建立的坐標(biāo)系不同,則得到的結(jié)果可能不同,但是動點的軌跡仍是圓,只是解析式不同而已,但是運算難易也會有所不同,所以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系會給解決問題帶來不同的效果.設(shè) A(-3,0),B(3,0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離之比為12,則點P的軌跡圖形所圍成的面積是.答案16解析設(shè)P(x,y),則由題意有=,所以x2+y2+10x+9=0,所以(x+5)2+y2=16,所以點P在半徑為4的圓上,故其面積為16.求圓的方程(2014·江蘇模擬)求圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程.思維引導(dǎo)可以利用“待定系數(shù)法”求出圓的方程.解答設(shè)圓為(0,b),由題設(shè)知圓的方程為x2+(y-b)2=1.因為過點(1,2),所以代入得b=2.故所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.精要點評求圓的方程時,要根據(jù)已知條件選擇合適的形式,一般地,與圓心和半徑有關(guān),選擇標(biāo)準(zhǔn)式,否則,選擇一般式.不論是哪種形式,都是確定三個獨立參數(shù),所以應(yīng)該有三個獨立等式.另外,充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì),也可以求得圓的方程中的三個參數(shù).常用的性質(zhì)有:圓心在過切點且與切點垂直的直線上;圓心在任意弦的中垂線上;兩圓相切時,切點與兩圓心三點共線.(2014·南安模擬)以(-1,2)為圓心、為半徑的圓的一般方程為.答案x2+y2+2x-4y=0解析由圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=5,化簡可得x2+y2+2x-4y=0.圓中的定值(定點)問題已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),在直線OA上(O為坐標(biāo)原點),存在定點B(不同于點A),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù).試求所有滿足條件的點B的坐標(biāo).思維引導(dǎo)由題意知點P為過A,B兩點的阿波羅尼斯圓,但其定比未知,故可以用特例求出定點B,然后再驗證是否為常數(shù)或先假設(shè)點B存在,再由恒等性確定B的坐標(biāo).解答方法一:假設(shè)存在這樣的點B(t,0),當(dāng)點P為圓C與x軸的左交點(-3,0)時,=,當(dāng)點P為圓C與x軸的右交點(3,0)時,=.依題意知=,解得t=-5(舍去)或t=-.下面證明點B對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù).設(shè)P(x,y),則y2=9-x2,所以=,從而=為常數(shù).方法二:假設(shè)存在這樣的點B(t,0),使得為常數(shù),則PB2=2PA2,所以(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2,將y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=2(x2+10x+25+9-x2),即2(52+t)x+342-t2-9=0對x-3,3恒成立,所以解得或(舍去).所以存在點B對于圓C上任一點P,都有為常數(shù).精要點評一般地,我們把“平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)(1)的點的軌跡是圓”叫作圓的第二定義,此圓被叫作“阿波羅尼斯圓”. 本題以阿波羅尼斯圓為背景構(gòu)建定點問題,體現(xiàn)了阿波羅尼斯圓在解析幾何中的重要位置.(2014·淮安模擬)已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.經(jīng)過A,P,M三點的圓是否經(jīng)過異于點M的定點?若經(jīng)過,請求出此定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.解答因為點P在直線l:x-2y=0上,設(shè)P(2m,m),MP的中點Q,因為PA是圓M的切線,所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以點Q為圓心、MQ為半徑的圓,故其方程為(x-m)2+=m2+.化簡,得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關(guān)于m的恒等式,故解得或所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過異于點M的定點.已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切.(1) 求直線l1的方程;(2) 設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點,點M是圓O上異于點P,Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P',直線QM交直線l2于點Q'.證明:以P'Q'為直徑的圓C總經(jīng)過定點,并求出定點坐標(biāo).思維引導(dǎo)動點M是問題之源.設(shè)M點坐標(biāo)為(s,t),且s2+t2=1,然后求出動圓方程.令含參數(shù)s,t的代數(shù)式的系數(shù)為0,余下部分為0,解方程組便得定點坐標(biāo).規(guī)范答題(1) 因為直線l1過點A(3,0),且與圓O:x2+y2=1相切,所以可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分)則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d=1,解得k=±.所以直線l1的方程為y=±(x-3). (4分)(2) 對于圓O:x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點A且與x軸垂直,所以直線l2的方程為x=3.設(shè)M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1).由方程組解得P'.同理可得Q'. (10分)所以以P'Q'為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0.又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0. (12分)若圓C經(jīng)過定點,則只需令y=0,從而有x2-6x+1=0,解得x=3±2.所以以P'Q'為直徑的圓C總經(jīng)過定點(3±2,0). (14分)精要點評 (1) 對于以P'Q'為直徑的圓C的方程而言,本題解答選用了直徑式,若選用標(biāo)準(zhǔn)式,則運算較繁.(2) 證明動曲線經(jīng)過定點的一般方法是:將整理好的方程中含有參變量的代數(shù)式的系數(shù)令為0,余下部分也令為0,然后解方程組即可求得定點坐標(biāo).如:動圓(x2+y2-6x+1)+(x2+y2-5)=0恒過定點(1,2),(1,-2).1. (2014·江蘇模擬)若圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為 .答案(x-2)2+(y+3)2=5解析由圓的幾何意義知圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=,所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.2. 經(jīng)過三點A(0,0),B(4,0),C(0,6)的圓的方程是 .答案(x-2)2+(y-3)2=133. 圓心為C(3,-5),且與直線x-7y+2=0相切的圓的方程為.答案(x-3)2+(y+5)2=324. 已知點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上,那么圓C的圓心坐標(biāo)為,半徑為.答案(0,1)2解析因為點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,點P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點(0,-1)也在圓C上,所以b=-3,a=0,故圓的方程為x2+y2-2y-3=0,圓心為(0,1),半徑為2.5. 已知點M(x,y)與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為,那么點M的軌跡方程為.答案x2+y2+2x-3=0解析由題意得=,化簡得x2+y2+2x-3=0.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第111-112頁).