要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破利用基本不等式證明已知a>0,b>0,c>0,求證:+a+b+c.思維引導(dǎo)先局部運(yùn)用基本不等式,再利用不等式的性質(zhì)相加得到.證明因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以+2=2c(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號);+2=2b(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號);+2=2a(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號).以上三式相加得22(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號),即+a+b+c.精要點(diǎn)評利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:9.證明因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以1+=1+=2+.同理,1+=2+.所以=·=5+25+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號成立.利用基本不等式求函數(shù)的最值(2014·重慶卷)若log4(3a+4b)=log2,求a+b的最小值.思維引導(dǎo)基本不等式的應(yīng)用一定要注意一正、二定、三相等,特別是等號成立的條件.解答由題意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0.又log4(3a+4b)=log2,所以3a+4b=ab,所以+=1.所以a+b=(a+b)=7+7+2=7+4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4+2,b=3+2時(shí),等號成立.故a+b的最小值為7+4.精要點(diǎn)評一正、二定、三相等不滿足時(shí),相應(yīng)的處理方法分別是一正不滿足則變?yōu)檎?二定不滿足則湊定值,三相等不滿足則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性.(2014·北京東城區(qū)期末)求函數(shù)y=+的最大值.解答因?yàn)楹瘮?shù)y=+的定義域?yàn)?,1,所以y2=x+(1-x)+2=1+21+x+(1-x)=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,即x=時(shí)等號成立.因?yàn)閥>0,所以ymax=.利用基本不等式解決恒成立問題(2014·河南中原名校聯(lián)考)已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案(-4,2)解析因?yàn)?2=8,要使+>m2+2m恒成立,則m2+2m<8,解得-4<m<2.精要點(diǎn)評分離參數(shù)是處理此類問題的首選的方法,一般轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值或某個(gè)函數(shù)的最值問題.要注意恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為af(x)min或是af(x)max.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足lnx+lny=0,且k(x+2y)x2+4y2恒成立,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案(-,解析方法一:由題意知xy=1,x>0,y>0,k=(x+2y)-,令m=x+2y,則k.因?yàn)閙=x+2y2=2,且y=m-在2,+)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)m=2時(shí),=2-=,即k.方法二:令t=x+2y,t2,因此t2-kt-40對t2,+)恒成立,記f(t)=t2-kt-4,則f(2)=4-2k0Þk.某地區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品A第x天(1x20)的銷售價(jià)格p=50-|x-6|(單位:元百斤),一農(nóng)戶在第x天(1x20)農(nóng)產(chǎn)品A的銷售量q=40+|x-8|(單位:百斤).(1) 求該農(nóng)戶在第7天銷售農(nóng)產(chǎn)品A的收入;(2) 這20天中該農(nóng)戶在哪一天的銷售收入最大?規(guī)范答題(1) 由已知得第7天的銷售價(jià)格p=49,銷售量q=41. 所以第7天的銷售收入W7=49×41=2009 (元) .(3分)(2) 設(shè)第x天的銷售收入為Wx,則Wx= (6分)當(dāng)1x6時(shí),Wx=(44+x)(48-x)=2116(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號).所以當(dāng)x=2時(shí)取最大值W2=2116.(9分)當(dāng)8x20時(shí),Wx=(56-x)(32+x)=1936(當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)取等號).所以當(dāng)x=12時(shí)取最大值W12=1936. (12分)由于W2>W7>W12,所以第2天該農(nóng)戶的銷售收入最大. (13分)答:第7天的銷售收入為2009元;第2天該農(nóng)戶的銷售收入最大. (14分)1. 若x>0,則x+的最小值為.答案2解析因?yàn)閤>0Þx+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=Þx=時(shí),取等號.2. 已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,那么a2+4b2+的最小值為.答案解析因?yàn)?=a+2b2Þab,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí)取等號.又因?yàn)閍2+4b2+2a·(2b)+=4ab+.令t=ab,所以f(t)=4t+在上單調(diào)遞減,所以f(t)min=f=,此時(shí)a=2b=.3. (2014·上海卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為.答案2解析x2+2y22=2·=2,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2時(shí)等號成立.4. (2014·福建卷改編)要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,求該容器的最低總造價(jià)(單位:元).解答設(shè)底面矩形的一邊長為x,由容器的容積為4 m3,高為1 m,得另一邊長為 m.記容器的總造價(jià)為y元,則y=4×20+2×1×10=80+2080+20×2=160,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí),等號成立.因此,當(dāng)x=2時(shí),y取得最小值160,即容器的最低總造價(jià)為160元.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第93-94頁).