要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破綜合法若正數(shù)a,b,c滿足a2+2ab+4bc+2ca=16,求證:a+b+c4.思維引導(dǎo)從平方關(guān)系入手,然后再把條件中的數(shù)值代入化簡.證明因?yàn)閍2+2ab+4bc+2ca=16,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+1616,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立.又a,b,c均為正數(shù),所以a+b+c4.精要點(diǎn)評利用綜合法證明的前提是結(jié)合分析法進(jìn)行探求解題思路.但是,一定要注意表達(dá)條理清晰.(2014·西安模擬)若cosxcosy+sinx·siny=,sin2x+sin2y=,求證:sin(x+y)=.證明因?yàn)閏osxcosy+sinxsiny=,所以cos(x-y)=.因?yàn)閟in2x+sin2y=,所以2sin(x+y)cos(x-y)=,所以2sin(x+y)·=,所以sin(x+y)=.分析法已知ABC的三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:B<90°.證明因?yàn)閏os B=,故要證明B<90°,即證cos B>0,只需證a2+c2>b2.又三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,即=+Þb=,只需證a2+c2>,即(a2+c2)(a+c)2>(2ac)2.又a2+c2>2ac,只需證(a+c)2>2ac,即證a2+c2>0.而上式顯然成立,所以B<90°.精要點(diǎn)評分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明過程來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說,即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證命題的已知條件時(shí),則所證命題得證.已知a>0,求證:-a+-2.證明要證-a+-2,只要證+2a+,因?yàn)閍>0,故只要證,即證a2+4+4a2+2+2+2,從而只要證2,只要證42,即證a2+2,而該不等式顯然成立,故原不等式成立.反證法(2014·北京順義區(qū)模擬)求證:若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)也是偶數(shù).證明假設(shè)這個(gè)數(shù)是奇數(shù),可以設(shè)為2k+1,kZ,則有(2k+1)2=4k2+4k+1,而4k2+4k+1(kZ)不是偶數(shù),這與原命題的條件矛盾.故原命題成立.(2014·江蘇模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) 求證:數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列.解答(1) 當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=an,所以an是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列,所以an=.(2) 假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,rN*),則2·=+,所以2·=+1.又因?yàn)閜<q<r,所以r-q,r-pN*.所以式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式顯然不成立,所以假設(shè)不成立,原命題得證.1. (2014·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”時(shí),要做的假設(shè)是.答案方程x2+ax+b=0沒有實(shí)數(shù)根2. 一般地,欲證-<-,即需證 .答案>3. 設(shè)ab>0,求證:3a3+2b33a2b+2ab2.證明3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因?yàn)閍b>0,所以a-b0,3a2-2b2>0. 從而(3a2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2.4. (2014·北京順義區(qū)模擬)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和,求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.證明假設(shè)Sn是等比數(shù)列,則=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).因?yàn)閍10,所以(1+q)2=1+q+q2.即q=0,與等比數(shù)列中公比q0矛盾.故Sn不是等比數(shù)列.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第87-88頁).