第49課 平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系(本課時對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號表示“點P在直線l外，直線l在平面內(nèi)”為.【答案】Pl，l【解析】考查點、線、面之間的符號表示.2.(必修2P26練習(xí)2改編)如果OAO1A1，OBO1B1，那么AOB與A1O1B1的大小關(guān)系為.【答案】相等或互補(bǔ)【解析】考慮兩種情況.3.(必修2P31習(xí)題12改編)在正方體ABCD-A'B'C'D'中，對角線AD'與BD所成角的大小為.【答案】60°【解析】DBC'就是對角線AD'與BD所成角的平面角.4.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是.(填序號)兩兩相交的三條直線共面；四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形；平行四邊形的四邊所在的四條直線共面；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面.【答案】【解析】當(dāng)三條直線交于一點時有可能不共面；四條線段首尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證.1.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).它是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù).2.公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線.它是判定兩平面相交、作兩個平面交線的依據(jù).3.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.5.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等.6.空間兩條直線的位置關(guān)系有以下三種：位置關(guān)系共面情況公共點相交在同一個平面內(nèi)有且只有一個平行在同一個平面內(nèi)沒有異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有【要點導(dǎo)學(xué)】要點導(dǎo)學(xué)各個擊破多點共線與多線共點的證明例1如圖(1)，已知ABC的各頂點均在平面外，直線AB，AC，BC分別交平面于點P，Q，R.求證：P，Q，R三點共線.(例1(1)【思維引導(dǎo)】根據(jù)公理2，選擇恰當(dāng)?shù)膬蓚€平面，只要證明R，Q，P三點都是這兩個平面的公共點即可證明這三點在這兩個平面的交線上.【解答】如圖(2)，設(shè)ABC確定了一個平面，因為點RBC，所以R.(例1(2)又因為R，所以R在平面和平面的交線上.同理，點P，Q也在平面和平面的交線上.而平面和平面的交線只有一條，故P，Q，R三點共線.【精要點評】(1)證明點共線的方法：先考慮兩個平面的交線，再證明有關(guān)的點都是這兩個平面的公共點；先選擇其中兩點確定一條直線，再證明其他點也在這條直線上.(2)公理的正確運(yùn)用，嚴(yán)密的邏輯推理過程，文字、符號、圖形語言的轉(zhuǎn)化是立體幾何的基本要求，也是高考考查的重點.變式如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，AD，BC，CD上的點，且直線EF和GH交于點P，求證：B，D，P三點在同一直線上.(變式)【解答】因為EFGH=P，所以PEF，PGH.因為EAB，F(xiàn)AD，所以EF平面ABD，所以P平面ABD.因為GBC，HCD，所以GH平面BCD，所以P平面BCD.因為平面ABD平面BCD=BD，所以PBD，即B，D，P三點在同一直線上.點、線共面的證明例2已知直線l與三條平行直線a，b，c都相交，求證：直線l與直線a，b，c共面.【思維引導(dǎo)】先由兩平行直線確定一個平面，再確定另一個平面，最后說明兩平面重合且直線l在三條平行直線所確定的平面內(nèi)即可.(例2)【解答】如圖，設(shè)直線l與直線a，b，c分別交于點A，B，C，因為ab，所以過a，b可確定一個平面.因為bc，所以過b，c可確定一個平面.因為Aa，Bb，Cc，且A，B，Cl，所以l，l，所以存在兩條相交直線b，l既在內(nèi)又在內(nèi)，所以由公理3及推論知，必重合，所以直線l與直線a，b，c共面.【精要點評】證明幾條線共面的方法：先由有關(guān)元素確定一個基本平面，再證其他的點(或線)在這個平面內(nèi)；先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然后證明這些平面重合.變式如圖，Al，Bl，Cl，Dl，求證：直線AD，BD，CD共面.(變式)【解答】因為Dl，所以過點D及直線l可確定一個平面.因為Al，Bl，Cl，所以A，B，C，所以直線AD，BD，CD共面于.求異面直線所成的角例3如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中.(例3)(1)哪些棱所在的直線與直線BA'是異面直線?(2)求異面直線BA'與CC'所在角的大小.(3)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直?【思維引導(dǎo)】找異面直線要嚴(yán)格依據(jù)定義，而要求角，先找角；要找角，先找平行.根據(jù)異面直線所成角的定義找到平面角，然后再借助解三角形求角的大小.【解答】(1)由異面直線的判定方法，可知與直線BA'成異面直線的有B'C'，AD，CC'，DD'，DC，D'C'.(2)由BB'CC'，可知B'BA'等于異面直線BA'與CC'所成的角，所以異面直線BA'與CC'所成的角為45°.(3)直線AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'與直線AA'都垂直.【精要點評】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是借助平行關(guān)系找到平面角，然后再放到某個三角形中求解角的大小，即“找角求角”.雖然在近幾年的高考中求角問題不太常見，但仍需適當(dāng)關(guān)注.變式如圖，已知A是BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點.(變式)(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.【解答】(1)假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中，由EG=FG=AC，求得FEG=45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.1.下列圖形中，不一定是平面圖形的是.(填序號)三角形；菱形；梯形；四邊相等的四邊形.【答案】2.已知=m，a，b，ab=A，那么直線m與點A的位置關(guān)系可用集合符號表示為.【答案】Am3.如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，則直線BA'和AD'所成的角的大小為.(第3題)【答案】60°【解析】連接BC'，A'C'，易知A'B C'是正三角形，且有B C'AD'，所以A'B C'就是直線BA'和AD'所成的角，又A'B C'=60°，所以直線BA'和AD'所成的角的大小為60°.4.如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE=FC1=1，求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面.(第4題)【解答】在DD1上取一點N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFD1N是平行四邊形，所以D1FCN.同理，四邊形DNEA也是平行四邊形，所以ENAD，且EN=AD.又BCAD，且AD=BC.所以ENBC，EN=BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以CNBE，即D1FBE，故E，B，F(xiàn)，D1四點共面.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)第9798頁.【檢測與評估】第九章立體幾何初步第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系一、 填空題1.給出下列三個命題：書桌面是平面；有一個平面的長是50 m，寬是20 m；平面是絕對的平、無厚度，可以無限延展的抽象數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個數(shù)為.2.空間中，可以確定一個平面的條件是.(填序號)兩條直線；一點和一條直線； 一個三角形；三個點.3.已知平面與平面，都相交，那么這三個平面可能的交線有條.4.兩條異面直線所成的角的范圍為.5.如果兩條直線a和b沒有公共點，那么a與b的位置關(guān)系是.6.如果OAO1A1，OBO1B1，且與方向相同，而與方向相反，那么AOB與A1O1B1.7.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角的大小為.(第7題)8.以下命題中錯誤的是.(填序號)和同一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個不同公共點的兩個平面重合；三條兩兩平行的直線確定三個平面.二、 解答題 9.在如圖所示的正方體ABCD-AB'C'D'中，E是棱A'D'的中點.(1)求異面直線AE和CC'所成角的正切值；(2)找到直線AE和BA'所成的角.(第9題)10.如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，AB，BC，DC，AD(或延長線)分別與平面相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一條直線上.(第10題)11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC，BD交于點M，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點.(1)求證：C1，O，M三點共線；(2)求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(第11題)三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90°，BCAD，BEFA，G，H分別為棱FA，F(xiàn)D的中點.(第12題)(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形.(2)問：C，D，F(xiàn)，E四點是否共面?為什么?【檢測與評估答案】第九章立體幾何初步第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系1.12.3.1，2或34. 【解析】注意異面直線所成的角不能為0.5. 平行或異面6. 互補(bǔ)7. 60°【解析】構(gòu)造ACD1，然后再借助長度關(guān)系求CAD1的大小.8. 【解析】和同一條直線都相交的兩條直線可以異面；三條兩兩相交的直線若交于一點，可以異面；有三個不同公共點的平面可以相交；三條兩兩平行的直線可以共面.9. (1) 因為 AA'BB'CC'，故AE和AA'所成的銳角A'AE就是AE和CC'所成的角.在RtAA'E中，tanA'AE=，所以AE和CC'所成角的正切值是.(2) 如圖，取B'C'的中點F，連接EF，BF，則有EFA'B'AB，所以四邊形ABFE是平行四邊形，從而BFAE，即BFAE且BF=AE.所以BF與BA'所成的銳角A'BF就是AE和BA'所成的角.(第9題)10.因為ABCD，所以AB，CD確定平面AC.因為AD=H，H平面AC，H，由公理2可知，H必在平面AC與平面的交線上.同理，F(xiàn)，G，E都在平面AC與平面的交線上，因此E，F(xiàn)，G，H必在同一條直線上.11.(1)因為C1，O，M平面BDC1，且C1，O，M平面A1ACC1，由公理2知，點C1，O，M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，所以C1，O，M三點共線.(2)連接A1B，CD1，EF.因為E，F(xiàn)分別是AB，A1A的中點，所以EFA1B.因為A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面.12. (1) 由題知FG=GA，F(xiàn)H=HD，可得GHAD.又BCAD，所以GHBC，所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2) 方法一：C，D，F(xiàn)，E四點共面.理由如下：由BEAF，G為FA的中點知BEFG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，所以EF與CH共面.又DFH，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.方法二：C，D，E，F(xiàn)四點共面.理由如下：如圖，延長FE，DC分別與AB的延長線交于點M，M'，因為BEAF，所以B為MA的中點.因為BCAD，所以B為M'A的中點.所以M與M'重合，即FE與DC的延長線交于點M(M')，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.(第12題)