第6講 矩陣與變換 1．(2019·揚(yáng)州期中)已知矩陣A＝，屬于特征值4的一個(gè)特征向量為)，求A2. 解：由條件，)＝4)，所以解得 所以A＝， 所以A2＝. 2．(2019·江蘇省四校聯(lián)考)二階矩陣A有特征值λ＝6，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為e＝，并且矩陣A對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，2)變換成點(diǎn)(8，4)，求矩陣A. 解：設(shè)所求二階矩陣A＝，則 所以所以 解方程組得A＝. 3．已知矩陣M＝，點(diǎn)A(1，0)在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下變?yōu)锳′(1，2)，求矩陣M的逆矩陣M－1. 解：因?yàn)椋?，所以a＝1，b＝2. 所以M＝，所以M－1＝. 4．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(九))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P(x，5)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(y－2，y)，求M－1. 解：依題意，＝， 即解得 由逆矩陣公式知，矩陣M＝的逆矩陣M－1＝， 所以M－1＝＝. 5．(2019·鎮(zhèn)江模擬)已知矩陣M＝，N＝，試求曲線y＝sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式． 解：MN＝＝， 即在矩陣MN變換下 →＝＝， x′＝x，y′＝2y， 代入得：y′＝sin 2x′， 即曲線y＝sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin 2x. 6．(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(八))已知矩陣M的逆矩陣是M－1＝，向量α＝，β＝，若Mα＝β，求x＋y的值． 解：設(shè)矩陣M＝，則由MM－1＝， 可得＝， 所以，解得，所以M＝. 由Mα＝β，得＝， 即，解得，則x＋y＝. 7．(2019·南京六校聯(lián)考)已知矩陣A＝，B＝.若矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換把直線l：x＋y－2＝0變?yōu)橹本€l′，求直線l′的方程． 解：因?yàn)锳＝，B＝， 所以AB＝＝. 在直線l′上任取一點(diǎn)P(x，y)，它是由l上的點(diǎn)P0(x0，y0)經(jīng)矩陣AB所對(duì)應(yīng)的變換所得， 則一方面，因?yàn)辄c(diǎn)P0(x0，y0)在直線l：x＋y－2＝0上， 所以x0＋y0－2＝0.① AB)＝)，即)＝) ， 所以 所以② 將②代入①得x－y＋y－2＝0，即4x＋y－8＝0， 所以直線l′的方程為4x＋y－8＝0. 8．(2019·南京、鹽城模擬)已知矩陣A＝，A的逆矩陣A－1＝. (1)求a，b的值； (2)求A的特征值． 解：(1)因?yàn)锳A－1＝＝＝.所以 解得a＝1，b＝－. (2)由(1)得A＝， 則A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－3)( λ－1)． 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3. 9．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1，2)變換成(－2，4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系； (3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的直線l′的方程． 解：(1)設(shè)M＝，則＝8＝， 故＝，故 聯(lián)立以上兩方程組解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4， 故M＝. (2)由(1)知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一個(gè)特征值為λ＝2.設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2＝，則Me2＝＝2，解得2x＋y＝0. (3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)， 則＝， 即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直線l的方程后并化簡(jiǎn)得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.