第54課 直線的基本量與方程(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P76練習(xí)1改編)已知直線l的方程為-3x+2y=12，那么直線l的斜率為，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為.【答案】-46【解析】化直線為斜截式y(tǒng)=x+6，故k=；令y=0，得x=-4，所以直線在x軸上的截距為-4；令x=0，得y=6，所以直線在y軸上的截距為6.2.(必修2P73練習(xí)3改編)已知兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，3)，點(diǎn)C(8，a)在直線AB上，那么實(shí)數(shù)a=.【答案】-3【解析】由kAB=kAC，得=，所以a=-3.3.(必修2P72練習(xí)2改編)若直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(-3，)，則直線l的傾斜角為.【答案】150°【解析】因?yàn)閗=tan =-，所以直線l的傾斜角為150°.4.(必修2P73練習(xí)3改編)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，且傾斜角是直線y=2x+3的傾斜角的2倍，那么直線l的方程為.【答案】4x+3y-10=0【解析】設(shè)直線y=2x+3的傾斜角為，則tan =2，所以直線l的傾斜角為2，所以k=tan 2=-，所以直線l的方程為4x+3y-10=0.1.直線的傾斜角的取值范圍是0，).2.已知直線上不同的兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，當(dāng)x1x2時(shí)，直線PQ的斜率為；當(dāng)x1=x2時(shí)，直線PQ的斜率不存在.3.當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，直線的斜率k與傾斜角之間的關(guān)系是k=tan .4.直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含直線x=x0斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式=不含直線x=x1(x1=x2)和y=y1(y1=y2)截距式+=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A，B不全為0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破直線的斜率例1若直線ax+y+1=0與連接點(diǎn)A(2，3)，B(-3，2)的線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【思維引導(dǎo)】直線與線段AB相交，即可得直線與線段的交點(diǎn)在線段上，于是只需在直線上取一定點(diǎn)，與線段兩端點(diǎn)求出斜率即可.【答案】(-，-21，+)【解析】直線的斜率為k=-a，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(0，-1)，分別求出直線PA，PB的斜率為2，-1，可得斜率k的取值范圍是(-，-12，+)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-，-21，+).【精要點(diǎn)評(píng)】解答已知直線過(guò)某定點(diǎn)且與已知線段有交點(diǎn)，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合法，分別求出該定點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率，再根據(jù)圖形列出不等式(組)來(lái)求解.變式1如圖，直線l過(guò)點(diǎn)P(-1，2)，且與以A(-2，-3)，B(4，0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則直線l的斜率的取值范圍為.(變式1)【答案】變式2若直線(k2-1)x-y-1+2k=0不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】(-，-1【解析】直線方程可化為y=(k2-1)x+2k-1，因?yàn)橹本€不過(guò)第二象限，所以或或解得k-1.即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-，-1.直線的斜率與傾斜角例2設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=(x+1)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率為k，傾斜角為.(1)求k的最小值；(2)求的取值范圍.【思維引導(dǎo)】本題需要先通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再根據(jù)所得函數(shù)模型，求出斜率的取值范圍，再算出傾斜角的取值范圍.【解答】(1)k=y'=，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)，所以k的最小值為.(2)又k=tan ，0，所以.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為90°，直線垂直于x軸；(2)傾斜角和斜率的變化關(guān)系，請(qǐng)結(jié)合y=tan x，x的圖象考慮.變式1如果直線l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，m2)(mR)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是.【答案】【解析】k=tan =1-m21，所以.變式2直線x+(a2+1)y+1=0(aR)的傾斜角的取值范圍是.【答案】【解析】由題知斜率k=-，故k-1，0)，由正切函數(shù)的圖象知傾斜角.直線的方程例3(1)已知直線l的縱截距為-1，傾斜角是直線l1：3x+4y-1=0的傾斜角的一半，求直線l的方程.(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)A(-2，4)，分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，且滿足=，求直線l的方程.【思維引導(dǎo)】(1)設(shè)直線l的方程為斜截式，由傾斜角的關(guān)系求出斜率；(2)設(shè)直線l的方程為截距式，由向量關(guān)系求出橫截距和縱截距.【解答】(1)設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，直線l1的傾斜角為，則tan =-，且=2.由tan =tan 2=-，得tan =-或3.若tan =-，則90°<<180°，從而180°<<360°，不合題意，所以k=tan =3.又直線l的縱截距為-1，所以直線l的方程為y=3x-1，即3x-y-1=0.(2)方法一：設(shè)直線l的方程為+=1，則B(a，0)，C(0，b)，=(-2-a，4)，=(2，b-4).由=，得解得所以直線l的方程為+=1，即4x-y+12=0.方法二：設(shè)直線l的方程為y-4=k(x+2)，分別令y=0，x=0，得B，C(0，2k+4)，所以=(2，2k).由=，得解得k=4，所以直線l的方程為y-4=4(x+2)，即4x-y+12=0.【精要點(diǎn)評(píng)】求直線方程時(shí)，要依據(jù)條件靈活選擇方程的形式.一般地，與傾斜角有關(guān)的，方程設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式，如例3(1)；與截距有關(guān)的，方程設(shè)為截距式，如例3(2).在使用斜截式方程時(shí)，可以將斜率k作為變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問(wèn)題來(lái)解.對(duì)于直線方程的各種形式，要注意它們的使用范圍，即對(duì)方程中的參數(shù)要分類(lèi)討論，特別要注意斜率不存在的情況.【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.過(guò)點(diǎn)(2，1)，且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是.【答案】x=2【解析】直線y=-x-1的斜率為-1，故其傾斜角為，所以所求直線的傾斜角是，直線與x軸垂直，故所求直線的方程是x=2.2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，2)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為.【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0【解析】設(shè)直線l的方程為+=1，由已知可得解得或所以直線l的方程為2x+y+2=0或x+2y-2=0.3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程是.【答案】x+2y+1=0或2x+5y=0【解析】設(shè)直線在x軸上的截距為2a，則其在y軸上的截距為a.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為+=1，將(-5，2)代入所設(shè)方程，解得a=-，所以直線方程為x+2y+1=0.當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx，代入(-5，2)得k=-，所以直線方程為y=-x，即2x+5y=0.綜上可知，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.4.已知點(diǎn)A(-1，0)，B(cos ，sin )，且AB=，那么直線AB的方程為.【答案】y=x+或y=-x-【解析】AB=，所以cos =，所以tan =±，即直線的方程為y=±(x+1)，所以直線的方程為y=x+或y=-x-.直線方程的綜合問(wèn)題例4過(guò)點(diǎn)P(4，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A，B兩點(diǎn).(1)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)OA+OB取最小值時(shí)，求直線l的方程.【思維引導(dǎo)】在比較中合理選擇直線方程的形式，根據(jù)題意，求得基本量.【解答】設(shè)直線l：+=1(a>0，b>0)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，1)，所以+=1.(1)+=12=，所以ab16，當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立，所以a=8，b=2時(shí)，AOB的面積最小，此時(shí)直線的方程為+=1，即x+4y-8=0.(2)因?yàn)?=1，a>0，b>0，所以O(shè)A+OB=a+b=(a+b)(+)=5+9，當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時(shí)等號(hào)成立，所以O(shè)A+OB最小時(shí)，直線l的方程為x+2y-6=0.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)本題使用直線方程的截距式，幾何關(guān)系清晰，解法比較簡(jiǎn)捷，當(dāng)然也可以使用點(diǎn)斜式，但是要注意斜率k<0.(2)通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，選用直線方程的不同形式求解問(wèn)題的效果不同，這就需要我們充分認(rèn)識(shí)不同形式的直線方程的特點(diǎn).例5已知直線l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l恒過(guò)一定點(diǎn)M；(2)過(guò)定點(diǎn)M作一條直線l1，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被點(diǎn)M平分，求直線l1的方程.【思維引導(dǎo)】(1)把直線的方程形式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的恒等式再求定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)M設(shè)方程，然后求交點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)M的中點(diǎn)問(wèn)題，最后求方程中的參數(shù)k的值.【解答】(1)因?yàn)閙(x-2y-3)+2x+y+4=0，所以由題意可得解得所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)M(-1，-2).(2)設(shè)所求直線l1的方程為y+2=k(x+1)，直線l1與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，則A，B(0，k-2).由題意知AB的中點(diǎn)為M，所以解得k=-2.所以所求直線l1的方程為2x+y+4=0.【精要點(diǎn)評(píng)】求直線的定點(diǎn)是常見(jiàn)問(wèn)題.解決該類(lèi)問(wèn)題的方法有兩種：(1)構(gòu)造關(guān)于某參數(shù)(如題中m)的恒等式，然后再尋找方程組求定點(diǎn)；(2)任意取參數(shù)(如題中m)的特殊值構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組，求定點(diǎn)，并代回驗(yàn)證.除直線中的定點(diǎn)問(wèn)題外，還有涉及到各類(lèi)函數(shù)(指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù))、圓以及圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題，值得關(guān)注.1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+1的傾斜角為.【答案】【解析】因?yàn)閠an =k=-，又0，)，所以=.2.不論m取何值，直線(m-1)x-y+2m+1=0恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(-2，3)【解析】由直線方程(m-1)x-y+2m+1=0，整理得(x+2)m-(x+y-1)=0，則解得3.若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，且在x軸上的截距的取值范圍是(-1，3)，則傾斜角的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的傾斜角為，方程為x=1，此時(shí)滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y-2=k(x-1)，在x軸上的截距為1-，令-1<1-<3，解得k<-1或k>1，故傾斜角的取值范圍是.綜上，傾斜角的取值范圍是().4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2，2)且在第二象限與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小時(shí)的直線的方程為.【答案】x-y+4=0【解析】方法一：設(shè)所求直線方程為+=1(a<0，b>0)，因?yàn)?=1，所以a=.又因?yàn)閍<0，所以b>2.SABC=-ab=-·= =(b+2)+=+42+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)b-2=，即b=4時(shí)S最小.此時(shí)a=-4，b=4，故所求直線方程為x-y+4=0.方法二：設(shè)所求直線方程為y-2=k(x+2)，顯然k>0，根據(jù)題意，知SABC=|2k+2|· =4+28.當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，故所求直線方程為x-y+4=0.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)第107108頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第十章解析幾何初步第54課直線的基本量與方程一、 填空題1.直線x=tan的傾斜角為.2.若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4，2y+1)，B(2，-3)的直線的傾斜角為，則y=.3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1，8)和(4，-2)的直線的兩點(diǎn)式方程是，截距式方程是，一般式方程是.4.若點(diǎn)A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)a=.5.設(shè)直線l的傾斜角為，且，則直線l的斜率k的取值范圍是.6.已知點(diǎn)A(1，3)，B(-2，-1)，若直線l：y=k(x-2)+1與線段AB相交，則斜率k的取值范圍是.7.若k，-1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線y=kx+b必經(jīng)過(guò)定點(diǎn).8.(2014·合肥三檢)記直線x-3y-1=0的傾斜角為，若曲線y=ln x在點(diǎn)(2，ln 2)處切線的傾斜角為，則+=.二、 解答題 9.求傾斜角是直線y=-x+1傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，-1)；(2)在y軸上的截距是-5.10.過(guò)點(diǎn)P(1，4)引一條直線，使它在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距均為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程.11.已知直線l：kx-y+1+2k=0.(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，AOB的面積為S，求S的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程.三、 選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)MA·MB取得最小值時(shí)，求直線l的方程.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第十章解析幾何初步第54課直線的基本量與方程1. 【解析】因?yàn)橹本€的方程為x=tan=1，斜率不存在，所以傾斜角為.2.-3【解析】由題意知=tan =-1，解得y=-3.3.=+=12x+y-6=0.4.4【解析】kAC=1，kAB=a-3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a-3=1，即a=4.5.1，+)【解析】由k=tan ，根據(jù)正切函數(shù)圖象可知k1，+).6.【解析】由題意知直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(2，1)，如圖所示.若l與線段AB相交，則kPAkkPB.因?yàn)閗PA=-2，kPB=，所以-2k.(第6題)7.(1，-2)【解析】因?yàn)閗，-1，b成等差數(shù)列，所以k+b=-2，即b=-2-k，于是直線方程可化為y=kx-k-2，即y+2=k(x-1)，故直線必過(guò)定點(diǎn)(1，-2).8.【解析】直線x-3y-1=0的斜率k'=tan =，曲線y=ln x在點(diǎn)(2，ln 2)處的切線的斜率k=tan =，故tan(+)=1，又0<<，0<<，所以+=.9. 因?yàn)橹本€的方程為y=-x+1，所以k=-，傾斜角=120°，由題知所求直線的傾斜角為30°，即斜率為.(1) 因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，-1)，所以所求直線方程為y+1=(x-)，即x-3y-6=0.(2) 因?yàn)橹本€在y軸上的截距為-5，所以由斜截式知所求直線方程為y=x-5，即x-3y-15=0.10. 方法一：設(shè)所求的直線方程為y-4=k(x-1).顯見(jiàn)，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1-，4-k.由于1->0且4-k>0，可得k<0.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為S=+(4-k)=5+(-k)+5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)-k=-，即k=-2時(shí)，S有最小值9.故所求直線方程為y-4=-2(x-1)，即2x+y-6=0.方法二：設(shè)所求直線方程為+=1(a>0，b>0).根據(jù)題設(shè)有+=1，令S=a+b.×，有S=(a+b)=5+5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，即2a=b，且+=1，即a=3，b=6時(shí)，取等號(hào).故所求直線方程為+=1，即2x+y-6=0.11. (1) 由題設(shè)得k(x+2)+(1-y)=0，所以無(wú)論k取何值，直線過(guò)定點(diǎn)(-2，1).(2) 令y=0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，令x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，2k+1)(k>0)，所以SAOB=|2k+1|=(2k+1)=(4+4)=4.當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=時(shí)取等號(hào).即AOB的面積的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x-y+1+1=0，即x-2y+4=0.12. (1) 如圖，設(shè)OA=a，OB=b，ABO的面積為S，則S=ab，且直線l的截距式方程是+=1.(第12題)由直線通過(guò)點(diǎn)(2，1)，得+=1，所以=.因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b-1>0.由此得S=×b=×b=b+1+=b-1+22+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)b-1=，即b=2時(shí)面積S取得最小值4，此時(shí)a=4，直線l的方程為+=1，即直線l的方程為x+2y-4=0.(2) 如圖，設(shè)BAO=，則MA=，MB=，所以MA·MB=·=，則當(dāng)=45°時(shí)，MA·MB有最小值4，此時(shí)直線l的斜率為-1，所以直線l的方程為x+y-3=0.