第5課 函數(shù)的定義域與值域(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修1P93習(xí)題1改編)函數(shù)f(x)=+的定義域?yàn)?【答案】1，+)【解析】由解得x1.2.(必修1P93習(xí)題5改編)已知函數(shù)y=x2-x的定義域?yàn)?，1，2，3，那么其值域?yàn)?【答案】0，2，6【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x=1時(shí)，y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=2；當(dāng)x=3時(shí)，y=6，所以值域?yàn)?，2，6.3.(必修1P27練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=x2-2x-3，x-1，2的最大值為.【答案】0【解析】因?yàn)閒(x)=(x-1)2-4，所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值0.4.(必修1P32例2改編)函數(shù)f(x)=的最大值是.【答案】【解析】1-x(1-x)=x2-x+1=+.因此，有0<，所以f(x)的最大值為.5.(必修1P36習(xí)題13改編)已知函數(shù)f(x)=x2的值域?yàn)?，4，則這樣的函數(shù)有個(gè).【答案】9【解析】定義域?yàn)閮蓚€(gè)元素有-2，-1，-2，1，-1，2，1，2；定義域?yàn)槿齻€(gè)元素有-2，-1，1，-2，-1，2，-1，1，2，-2，1，2；定義域?yàn)樗膫€(gè)元素有-2，-1，1，2，故這樣的函數(shù)一共有9個(gè).1.函數(shù)的定義域(1)函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的非常重要的部分，若沒(méi)有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域是使得函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍.(2)分式中分母應(yīng)不等于0；偶次根式中被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)，奇次根式中被開(kāi)方數(shù)為一切實(shí)數(shù)；零指數(shù)冪中底數(shù)不等于0.(3)對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，底數(shù)必須大于0且不等于1，含有三角函數(shù)的角要使該三角函數(shù)有意義等.(4)實(shí)際問(wèn)題中還需考慮自變量的實(shí)際意義，若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集.2.求函數(shù)值域的主要方法(1)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則直接制約著函數(shù)的值域，對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)可直接通過(guò)觀察法求得值域.(2)二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的問(wèn)題，常用配方法求值域.(3)分子、分母是一次函數(shù)或二次齊次式的有理函數(shù)常用分離變量法求值域；分子、分母中含有二次項(xiàng)的有理函數(shù)，常用判別式法求值域(主要適用于定義域?yàn)镽的函數(shù)).(4)單調(diào)函數(shù)常根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.(5)很多函數(shù)可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.(6)有些函數(shù)具有明顯的幾何意義，可根據(jù)幾何意義的方法求值域.(7)只要是能求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)常采用導(dǎo)數(shù)的方法求值域.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破求函數(shù)的定義域例1(1)函數(shù)y=的定義域是.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ln ，則函數(shù)g(x)=f+f的定義域是.【思維引導(dǎo)】(1)分式函數(shù)中分母不等于零；偶次根式函數(shù)，被開(kāi)方式大于或等于0；(2)對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0，列出不等式組，求解，對(duì)應(yīng)法則“f”作用下的是f(x)的定義域內(nèi)的值，同時(shí)要記住函數(shù)的定義域要用集合或區(qū)間表示.【答案】(1)(-3，2)(2)【解析】(1)由函數(shù)解析式可知6-x-x2>0，即x2+x-6<0，故-3<x<2.(2)由>0，得f(x)的定義域?yàn)?2<x<2，故解得-4<x<-或<x<4.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集.(2)已知f(x)的定義域是a，b，求f(g(x)的定義域，是指滿足ag(x)b的x的取值范圍，而已知f(g(x)的定義域是a，b，指的是xa，b.【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.(2016·蘇州期中)函數(shù)y=ln(x2-x-2)的定義域是.【答案】(-，-1)(2，+)【解析】由題意知，x2-x-2>0，解得x>2或x<-1，故函數(shù)的定義域?yàn)?-，-1)(2，+).2.函數(shù)f(x)=的定義域是.【答案】(-1，4【解析】?jī)蓚€(gè)分段區(qū)間是(-1，1和(1，4，取它們的并集得所求函數(shù)的定義域?yàn)?-1，4.3.(2014·山東卷)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?【答案】(2，+)【解析】由題意得解得所以f(x)的定義域?yàn)?2，+).4.(2014·珠海模擬)函數(shù)y=的定義域?yàn)?【答案】【解析】由題意得解得x>-，所以函數(shù)的定義域?yàn)?5.已知函數(shù)f(x)的定義域是3，10，則函數(shù)f(x+1)的定義域是.【答案】2，9【解析】因?yàn)閒(x)的定義域是3，10，所以使f(x+1)有意義的條件是3x+110，即2x9，所以函數(shù)f(x+1)的定義域是2，9.求函數(shù)的值域微課1 問(wèn)題提出函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域，都應(yīng)先考慮其定義域.有時(shí)我們需要求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域，結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的分布得出函數(shù)的值域.那么，求函數(shù)值域的方法有哪些呢? 典型示例例2求下列函數(shù)的值域.(1)y=3x2-x+2，x1，3；(2)y=；(3)y=x+4；(4)y=.【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】(1)(配方法)因?yàn)閥=3x2-x+2=3+，所以函數(shù)y=3x2-x+2在1，3上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)取得最小值4；當(dāng)x=3時(shí)，原函數(shù)取得最大值26，所以函數(shù)y=3x2-x+2(x1，3)的值域?yàn)?，26.(2)(分離常數(shù)法)y=3+，因?yàn)?，所以3+3，所以函數(shù)y=的值域?yàn)閥|y3.(3)(換元法)設(shè)t=，t0，則x=1-t2，所以原函數(shù)可化為y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0)，所以y5，所以原函數(shù)的值域?yàn)?-，5.(4)(基本不等式法)y=x+=x-+，因?yàn)閤>，所以x->0，所以x-+2=，當(dāng)且僅當(dāng)x-=，即x=時(shí)等號(hào)成立，所以y+，即原函數(shù)的值域?yàn)?【精要點(diǎn)評(píng)】配方法、分離常數(shù)法和換元法是求常見(jiàn)函數(shù)值域的有效方法，但要注意各種方法所適用的函數(shù)形式，還要注意函數(shù)定義域的限制.換元法多用于無(wú)理函數(shù)，換元的目的是進(jìn)行化歸，把無(wú)理式轉(zhuǎn)化為有理式來(lái)解；二次分式型函數(shù)求值域，多采用分離出整式利用基本不等式法求解. 總結(jié)歸納(1)首先我們要掌握初中學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)，y=kx，y=kx+b(k0)，y=ax2+bx+c(a0)，y=(k0)的值域.(2)求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、逆求法、換元法、配方法、基本不等式法、判別式法、單調(diào)性法等. 題組強(qiáng)化1.(2016·蘇州期中)函數(shù)f(x)=sin x-cos x-2(x>0)的值域是.【答案】-4，0【解析】因?yàn)閒(x)=sin x-cos x-2=2sin-2，且x>0，所以sin-1，1，所以函數(shù)f(x)的值域是-4，0.2.(2015·揚(yáng)州調(diào)研)函數(shù)y=x-的值域?yàn)?【答案】【解析】方法一：(換元法)令=t，t0，x=，于是y=-t=-(t+1)2+1，由于t0，所以y，故函數(shù)的值域?yàn)?方法二：(單調(diào)性法)函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)y=x-在上單調(diào)遞增，所以y，故函數(shù)的值域?yàn)?3.(2014·海門(mén)中學(xué))函數(shù)f(x)=的值域是.【答案】(-，2【解析】當(dāng)0<x<1時(shí)，值域?yàn)?-，0)；當(dāng)x1時(shí)，值域?yàn)?-，2.故原函數(shù)的值域?yàn)?-，2.4.(2015·南通中學(xué))函數(shù)y=的值域是.【答案】(0，5【解析】因?yàn)?x2-4x+3=2(x-1)2+11，所以0<1，所以0<y5，所以值域?yàn)?0，5.5.(2014·青陽(yáng)中學(xué))若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)閒(x)=x2-3x-4=-，所以f=-.又f(0)=f(3)=-4，故由二次函數(shù)圖象可知m3.已知函數(shù)定義域(值域)求參數(shù)的取值范圍例3若函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思維引導(dǎo)】 可先求出使函數(shù)有意義的不等式(組)，再對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行分類討論即可.【解答】由題意知當(dāng)xR時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.當(dāng)a2-1=0，即時(shí)，得a=1，此時(shí)有(a2-1)x2+(a-1)x+=1.可知當(dāng)xR時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.當(dāng)a2-10，即時(shí)，有解得1<a9.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，9.【精要點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的定義域是R的意義，并會(huì)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行分類討論，特別要注意不要遺漏對(duì)第一種情況a2-1=0的討論.變式(1)(2014·常州一中)若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)若函數(shù)y=lg(x2+2x+m)的值域是R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】(1)(2)(-，1【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)镽，即mx2+4mx+30恒成立.當(dāng)m=0時(shí)，符合題意.當(dāng)m0時(shí)，=(4m)2-4×m×3<0，即m(4m-3)<0，所以0<m<.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)由題意可知x2+2x+m能取遍一切正實(shí)數(shù)，從而可知=4-4m0，則m1.新定義下的函數(shù)值域創(chuàng)新問(wèn)題例4已知函數(shù)fM(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，滿足fM(x)=(M是R的非空真子集).在R上有兩個(gè)非空真子集A，B，且AB=，則F(x)=的值域?yàn)?【思維引導(dǎo)】求F(x)的值域確定fA(x)，fB(x)以及(x)的取值探討x與A，B，AB的關(guān)系.【答案】1(例4)【解析】因?yàn)锳，B是R的兩個(gè)非空真子集，且AB=，畫(huà)出韋恩圖如圖所示，則實(shí)數(shù)x與集合A，B的關(guān)系可分為xA，xB，xA且xB三種.當(dāng)xA時(shí)，根據(jù)定義，得fA(x)=1.因?yàn)锳B=，所以xB，故fB(x)=0.又因?yàn)锳(AB)，則必有xAB，所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.當(dāng)xB時(shí)，根據(jù)定義，得fB(x)=1.因?yàn)锳B=，所以xA，故fA(x)=0.又因?yàn)锽(AB)，則必有xAB，所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.當(dāng)xA且xB時(shí)，根據(jù)定義，得fA(x)=0，fB(x)=0.由圖可知，顯然xAB，故fAB(x)=0，所以F(x)=1.綜上，函數(shù)的值域中只有一個(gè)元素1，即函數(shù)的值域?yàn)?.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，那么f(g(x)的定義域是使函數(shù)g(x)A的x的取值范圍.(2)如果f(g(x)的定義域?yàn)锳，那么函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)g(x)的值域.(3)f(g(x)與f(h(x)聯(lián)系的紐帶是g(x)與h(x)的值域相同.本題以集合之間的關(guān)系為背景考查新定義函數(shù)值的計(jì)算，所以準(zhǔn)確利用已知條件梳理各個(gè)集合之間的關(guān)系是解決該題的關(guān)鍵.可借助韋恩圖表示出各個(gè)集合，再根據(jù)圖形的直觀性進(jìn)行分類，簡(jiǎn)單又直接.變式把本例中“AB=”變?yōu)閤AB，其他條件不變，試求之.【解答】當(dāng)xAB時(shí)，因?yàn)?AB)(AB)，所以必有xAB.由定義，可知fA(x)=1，fB(x)=1，fAB(x)=1，所以F(x)=.故函數(shù)F(x)的值域?yàn)?1.(2014·蘇北四市期末)函數(shù)f(x)=lg(2x-3x)的定義域?yàn)?【答案】(-，0)【解析】由2x-3x>0得>1，所以x<0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-，0).2.(2014·江西卷)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?【答案】(-，0)(1，+)【解析】由x2-x>0，得x>1或x<0.3.函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的值域?yàn)?【答案】(0，+)【解析】因?yàn)?x+1>1，所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0.4.若函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?，+)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)a=0時(shí)，符合要求；當(dāng)a>0時(shí)，方程ax2+(2a-1)x+=0一定有解，所以=(2a-1)2-4a×0，所以a1或0<a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5.已知函數(shù)f(x)=.(1)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的定義域?yàn)?2，1，求實(shí)數(shù)a的值.【解答】(1)若1-a2=0，即a=±1.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=，定義域?yàn)镽，符合題意；當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=，定義域?yàn)?1，+)，不合題意.若1-a20，則g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6為二次函數(shù).由題意知g(x)0對(duì)xR恒成立，所以即解得-a<1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)由題意知，不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集為-2，1，顯然1-a20且-2，1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的兩個(gè)根，所以解得a=2，即實(shí)數(shù)a的值為2.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)第910頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第5課函數(shù)的定義域與值域一、 填空題1.(2014·江蘇壓題卷)函數(shù)y= 的定義域是.2.函數(shù)y=的定義域是.3.函數(shù)y=2-的值域是.4.若函數(shù)f(x)=的定義域是R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.5.已知函數(shù)y=的值域?yàn)?，+)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6.若函數(shù)y=f(x)的值域是1，3，則函數(shù)F(x)=1-2f(x+3)的值域是.7.(2015·福建卷)若函數(shù)f(x)= (a>0 且a1)的值域是4，+)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.8.已知對(duì)于函數(shù)f(x)=，存在一個(gè)正數(shù)b，使得f(x)的定義域和值域相同，則非零實(shí)數(shù)a的值為.二、 解答題9.已知全集U=R，函數(shù)f(x)=+lg(3-x)的定義域?yàn)榧螦，集合B=x|-2<x<a.(1)求集合UA；(2)若AB=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10.(2015·鎮(zhèn)江中學(xué))已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(aR).(1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，+)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)榉秦?fù)數(shù)，求函數(shù)g(a)=2-a|a+3|的值域.11.已知函數(shù)g(x)=+1， 函數(shù)h(x)=，x(-3，a，其中a>0，令函數(shù)f(x)=g(x)·h(x).(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求其定義域；(2)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.三、 選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-1|.(1)試求f(x)的值域；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(a>0)，若對(duì)s(0，+)，t(-，+)恒有g(shù)(s)f(t)成立，試求實(shí)數(shù)a的取值氛圍.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第5課函數(shù)的定義域與值域1.(-2，+)【解析】由題意得0，解得x>-2，故所求定義域?yàn)?-2，+).2.(-1，1)【解析】函數(shù)y=的定義域需滿足 解得-1<x<1.3. 0，2【解析】-x2+4x=-(x-2)2+44，所以02，所以02-2，所以0y2.4.0，1【解析】由題意知kx2-6kx+(k+8)0在R上恒成立.當(dāng)k=0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k>0時(shí)，有=(-6k)2-4k(k+8)0，得0<k1.綜上，0k1.5. 4，+)【解析】當(dāng)m=0時(shí)，不符合題意，所以即m4.6.-5，-1【解析】因?yàn)?f(x)3，所以1f(x+3)3，所以-6-2f(x+3)-2，所以-5F(x)-1.7.(1，2【解析】當(dāng)x2時(shí)，-x+64，要使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，+)，只需f1(x)=3+logax(x>2)的值域包含于4，+)即可，故a>1，所以f1(x)>3+loga2，所以3+loga24，解得1<a2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2.8.-4【解析】若a>0，對(duì)于正數(shù)b，f(x)的定義域?yàn)镈=0，+)，但f(x)的值域A0，+)，故DA，不合要求.若a<0，對(duì)于正數(shù)b，f(x)的定義域?yàn)镈=.由于此時(shí)f(x)max=f=，故函數(shù)的值域A=.由題意得-=，由于b>0，所以a=-4.9.(1) 因?yàn)榧螦表示y=+lg(3-x)的定義域，所以，即A=(-2，3)，所以UA=(-，-23，+). (2) 因?yàn)锳B=B， 所以AB，所以a3.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，+).10.(1)因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，+)，所以=16a2-4(2a+6)=0，所以2a2-a-3=0，解得a=-1或a=.(2)因?yàn)閷?duì)一切xR，函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，所以=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)0，所以-1a，所以a+3>0，所以g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-+.因?yàn)槎魏瘮?shù)g(a)在上單調(diào)遞減，所以gg(a)g(-1)，即-g(a)4.所以函數(shù)g(a)的值域?yàn)?11. (1) f(x)=，x0，a(a>0).(2) 由(1)知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?令+1=t，則x=(t-1)2，t，則f(x)=F(t)=.因?yàn)楫?dāng)t=時(shí)，t=±2，又當(dāng)t時(shí)，y=t+單調(diào)遞減，故F(t)單調(diào)遞增，所以F(t).所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?12.(1)f(x)-3，3.(2) 當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=ax-3+2-3，當(dāng)且僅當(dāng)ax2=3時(shí)等號(hào)成立，即g(x)min=2-3.由(1)知f(x)max=3.對(duì)s(0，+)，t(-，+)恒有g(shù)(s)f(t)成立，即g(x)minf(x)max，由2-33，得a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，+).