第57課 直線與圓的位置關(guān)系(本課對應(yīng)學(xué)生用書第128-130頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1. 直線與圓有三種位置關(guān)系:相離、相交、相切.2. 直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法:代數(shù)法和幾何法.(1) 代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,根據(jù)方程組的解的個數(shù),判定它們的位置關(guān)系.將直線方程代入圓的方程,得到關(guān)于x或者y的二次方程.若>0,則直線與圓相交;若=0,則直線與圓相切;若<0,則直線與圓相離.(2) 幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小來判斷.當(dāng)d<r時,直線與圓相交;當(dāng)d=r時,直線與圓相切;當(dāng)d>r時,直線與圓相離.3. 圓的切線(1) 若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上時,則經(jīng)過點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,則經(jīng)過點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2) 當(dāng)點P(x0,y0)在圓外時,切線有兩條.求圓的切線方程時,常設(shè)出切線的點斜式方程,然后運用點到直線的距離求出斜率.如果只能解出斜率的一個值,要注意斜率不存在的情形.(3) 當(dāng)點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外時,直線x0x+y0y=r2是切點弦所在的直線方程.4. 圓的弦(直線與圓相交時)(1) 當(dāng)直線與圓相交時,設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為R,則直線被圓截得的弦長為2.(2) 直線y=kx+b與曲線C相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=|x1-x2|=|y1-y2|.1. (必修2P128復(fù)習(xí)12改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓(x-2)2+(y+1)2=4被直線x+2y-3=0截得的弦長為.答案解析圓(x-2)2+(y+1)2=4的圓心為C(2,-1),半徑為r=2,圓心C到直線x+2y-3=0的距離d=,故所求弦長為2=2=.2. (必修2P104例2改編)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是.答案-3,1解析設(shè)圓(x-a)2+y2=2的圓心C(a,0)到直線x-y+1=0的距離為d,則 dr=,即,解得-3a1.3. (必修2P113例2改編)若直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實數(shù)m=.答案-3或解析圓x2+y2-2x-2=0的圓心C(1,0),半徑r=,直線x-y+m=0與圓相切時,d=r,即=,解得m=-3或m=.4. (必修2P117習(xí)題5改編)若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是.答案(-,0)(10,+)解析將圓x2+y2-2x+4y+4=0化為(x-1)2+(y+2)2=1,圓心為(1,-2),半徑為1.因為直線與圓無公共點,所以圓心到直線的距離大于半徑,即d=>1,解得m<0或m>10.5. (必修2P103例3改編)若PQ是圓x2+y2=9的弦,PQ的中點是(1,2),則直線PQ的方程是 .答案x+2y-5=0解析由題意知kPQ=-,故直線PQ的方程為y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.