第44課直接證明與間接證明一、 填空題 1. (2014·邢臺一中)用反證法證明“如果a,bN*,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設內容為 . 2. (2014·廣東模擬)設a=lg2+lg5,b=ex(x<0),則a與b的大小關系為. 3. (2014·廣東模擬)設a=+2,b=2+,則a,b的大小關系為. 4. 若0<a<1,0<b<1且ab,則在a+b,2,a2+b2和2ab中最大的是. 5. 將下面的證明過程補充完整:已知a是整數,且a2是偶數,求證:a是偶數.證明:(反證法)假設a不是偶數,即a是奇數,設a=2n+1(nZ),則a2=(2n+1)2=4n2+4n+1.因為4n2+4n是偶數,所以4n2+4n+1是奇數,這與相矛盾.所以假設不正確,從而a是偶數. 6. (2014·廣東模擬)已知,是三個不重合的平面, a,b是兩條不同的直線,給出下列三個條件:a,bÌ a,b; b,aÌ.如果命題“若=a,bÌ,且(),則ab”為真命題,那么在括號中補充的條件是.(填序號) 7. 如果a+ba+b,那么實數a,b應滿足的條件是. 8. 已知a,b是兩個實數,給出下列條件:a+b>1; a+b=2; a+b>2; a2+b2>2; ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是.(填序號)二、 解答題 9. (2014·順義模擬)求證:兩條相交直線有且只有一個交點.10. (2014·福建模擬)已知非向零量ab,求證:.11. (2014·溫州聯考)已知數列an的前n項和 Sn=2an-2n+1,求證:數列是等差數列.第44課直接證明與間接證明1. a,b都不能被5整除解析:反證法是從結論的反面出發(fā),經過推導得到與已知或者公理、定理矛盾的結論,從而說明原命題成立的證明方法,所以應假設“a,b都不能被5整除”.2. a>b解析:因為a=lg2+lg5=lg10=1,b=ex(x<0)<e0=1,故a>b.3. a<b解析:將a=+2,b=2+兩式的兩邊分別平方,可得a2=11+4,b2=11+4,因為<,所以a<b.4. a+b解析:由ab,知a+b>2,a2+b2>2ab.因為0<a<1,0<b<1,所以a>a2,b>b2,因此a+b>a2+b2. 5. a2是偶數解析:a2=4n2+4n+1是奇數,與a2是偶數矛盾. 6. 或解析:若填入,則由a,bÌ,bÌ,b=,知ab.若填入,則由aÌ,a=,知a=,又bÌ,b,則ba.若填入,不能推出ab.7. a0,b0,且ab解析:a+ba+bÛa(-)b(-)Û(-)(a-b)>0Û(-)2(+)0,所以實數a,b應滿足的條件是a0,b0,且ab. 8. 解析:若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故推不出;若a=b=1,則a+b=2,故推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,ab>1,故推不出.對于,若a+b>2,則a,b中至少有一個大于1,證明如下:假設a1且b1,則a+b2與a+b>2矛盾,因此假設不成立,所以a,b中至少有一個大于1.9. 假設結論不成立,即有兩種可能:若直線a,b無交點,則ab,與已知矛盾;若直線a,b不止有一個交點,則至少有兩個交點A和B,這樣同時經過點A,B就有兩條直線,這與“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾.綜上所述,兩條相交直線有且只有一個交點.10. 因為ab,所以a·b=0.要證 ,只需證|a|+|b|a-b|,只需證|a|2+|b|2+2|a|b|2(|a|2+|b|2-2a·b),即證|a|2+|b|2-2|a|b|0,即(|a|-|b|)20,顯然成立.故原不等式成立.11. 當n=1時,S1=a1=2a1-22,所以a1=4.又因為Sn=2an-2n+1,當n2時,Sn-1=2an-1-2n,兩式相減得an=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n,所以-=-=+1-=1.又因為=2,所以數列是以2為首項、1為公差的等差數列.