(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 附加考查部分 5 第5講 隨機(jī)變量及其概率分布、均值與方差刷好題練能力 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 附加考查部分 5 第5講 隨機(jī)變量及其概率分布、均值與方差刷好題練能力 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 附加考查部分 5 第5講 隨機(jī)變量及其概率分布、均值與方差刷好題練能力 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 隨機(jī)變量及其概率分布、均值與方差 1.從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng). (1)求所選3人中恰有一名男生的概率; (2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的概率分布. 解:(1)所選3人中恰有一名男生的概率P==. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 故ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 2.(2019·宿遷模擬)某學(xué)校的三個(gè)學(xué)生社團(tuán)的人數(shù)分布如下表(每名學(xué)生只能參加一個(gè)社團(tuán)): 圍棋社 舞蹈社 拳擊社 男生 5 10
2、 28 女生 15 30 m 學(xué)校要對(duì)這三個(gè)社團(tuán)的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查,按分層抽樣的方法從三個(gè)社團(tuán)成員中抽取18人,結(jié)果拳擊社被抽出了6人. (1)求拳擊社團(tuán)被抽出的6人中有5人是男生的概率; (2)設(shè)拳擊社團(tuán)有X名女生被抽出,求X的概率分布. 解:(1)由于按分層抽樣的方法從三個(gè)社團(tuán)成員中抽取18人,拳擊社被抽出了6人, 所以=, 所以m=2. 設(shè)A為“拳擊社團(tuán)被抽出的6人中有5人是男生”, 則P(A)==. (2)由題意可知:X=0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==, X的概率分布為 X 0 1 2 P
3、 3.(2019·南通三校聯(lián)考)在一個(gè)盒子中有大小一樣的7個(gè)球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,1,2,2,2,3,3.現(xiàn)從盒子中同時(shí)摸出3個(gè)球,設(shè)隨機(jī)變量X為摸出的3個(gè)球上的數(shù)字和. (1)求P(X≥7); (2)求X的概率分布,并求其數(shù)學(xué)期望E(X). 解:(1)由題知P(X=7)==, P(X=8)==. 所以P(X≥7)=. (2)由題知P(X=6)==, P(X=5)==, P(X=4)==. 所以隨機(jī)變量X的概率分布為 X 4 5 6 7 8 P 所以E(X)=4×+5×+6×+7×+8×=6. 4.(2019·揚(yáng)州期中)3個(gè)女生,4個(gè)男
4、生排成一排,記X表示相鄰女生的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望. 解:X的可能取值有0,2,3, P(X=0)==;P(X=2)==;P(X=3)==,所以隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 2 3 P E(X)=0×+2×+3×=. 5.設(shè)ξ為隨機(jī)變量,從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時(shí),ξ=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí),ξ的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí),ξ=1. (1)求概率P(ξ=0); (2)求ξ的概率分布,并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解:(1)若兩條棱相交,則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè),過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱,所以共有8
5、C對(duì)相交棱,因此P(ξ=0)===. (2)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對(duì). 故P(ξ=)==, 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布是 ξ 0 1 P 因此E(ξ)=1×+×=. 6.(2019·連云港模擬)某人向一目標(biāo)射擊4次,每次擊中目標(biāo)的概率為.該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分,第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6,擊中目標(biāo)時(shí),擊中任何一部分的概率與其面積成正比. (1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù),求X的概率分布; (2)若目標(biāo)被擊中2次,A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被
6、擊中2次”,求P(A). 解:(1)依題意知X~B, P(X=0)=C=, P(X=1)=C=, P(X=2)=C=, P(X=3)=C=, P(X=4)=C=. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 4 P (2)設(shè)Ai表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”,i=1,2. Bi表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”,i=1,2. 依題意知P(A1)=P(B1)=0.1, P(A2)=P(B2)=0.3, A=A11∪1B1∪A1B1∪A2B2, 所求的概率為 P(A)=P(A11)+P(1B1)+P(A1B1)+P(A2
7、B2)=P(A1)P(1)+P(1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)·P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28. 7.(2019·徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)某校開設(shè)8門校本課程,其中4門課程為人文科學(xué),4門為自然科學(xué),學(xué)校要求學(xué)生在高中三年內(nèi)從中選修3門課程,假設(shè)學(xué)生選修每門課程的機(jī)會(huì)均等. (1)求某同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程的概率; (2)已知某同學(xué)所選修的3門課程中有1門人文科學(xué),2門自然科學(xué),若該同學(xué)通過人文科學(xué)課程的概率都是,自然科學(xué)課程的概率都是,且各門課程通過與否相互獨(dú)立.用ξ表示該同學(xué)所選的3門課程通過的門
8、數(shù),求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 解:(1) 記“某同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程”為事件A, 則P(A)=1-=1-=, 所以該同學(xué)至少選修1門自然科學(xué)課程的概率為. (2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值有0,1,2,3. 因?yàn)镻(ξ=0)=×=, P(ξ=1)=×+×C××=, P(ξ=2)=×C××+×=, P(ξ=3)=×=, 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=2.3. 8.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表: 降水量X X<300 300≤X
9、<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求: (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差; (2)在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率. 解:(1)由已知條件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=
10、1-0.9=0.1. 所以Y的概率分布為 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; V(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8. (2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=
11、==. 故在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是. 1.某高中共派出足球、排球、籃球三個(gè)球隊(duì)參加市學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì),他們獲得冠軍的概率分別為,,. (1)求該高中獲得冠軍個(gè)數(shù)X的概率分布; (2)若球隊(duì)獲得冠軍,則給其所在學(xué)校加5分,否則加2分,求該高中得分Y的概率分布. 解:(1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3, 則P(X=0)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=2)=××+××+××=, P(X=3)=××=. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P (2)因?yàn)榈梅諽=5X+2(3-X)
12、=6+3X, 因?yàn)閄的可能取值為0,1,2,3. 所以Y的可能取值為6,9,12,15則 P(Y=6)=P(X=0)=,P(Y=9)=P(X=1)=, P(Y=12)=P(X=2)=,P(Y=15)=P(X=3)=. 所以Y的概率分布為 Y 6 9 12 15 P 2.(2019·南京六校聯(lián)考)袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚,從中任取2枚棋子都是白色的概率為. 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后均不放回,直到有一人取到白棋即終止. 每枚棋子在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.用X表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).
13、 (1)求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X); (2)求甲取到白棋子的概率. 解:設(shè)袋中白棋子共有x個(gè),x∈N*,則依題意知:=,所以=, 即x2-x-6=0,解之得x=3(x=-2舍去). (1)袋中的7枚棋子3白4黑,隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5. P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)==. 隨機(jī)變量X的概率分布為 X 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=2. (2)記事件A=“甲取到白棋子”,則事件A包括以下三個(gè)互斥事件
14、: A1=“甲第1次取棋子時(shí)取出白棋子”; A2=“甲第2次取棋子時(shí)取出白棋子”; A3=“甲第3次取棋子時(shí)取出白棋子”. 依題意知:P(A1)==,P(A2)==, P(A3)==, 所以,甲取到白棋子的概率為 P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 3.某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度,按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則,規(guī)定參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有A、B、C三家社區(qū)醫(yī)院,并且他們的選擇是等可能的、相互獨(dú)立的. (1)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)
15、醫(yī)院的概率; (2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率; (3)設(shè)在4名參加保險(xiǎn)人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ,求ξ的概率分布. 解:(1)設(shè)“甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院”為事件M,那么P(M)=×=, 所以甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率為. (2)設(shè)“甲、乙兩人選擇同一家社區(qū)醫(yī)院”為事件N,那么P(N)=C××=,所以甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率為P()=1-P(N)=. (3)依題意ξ~B, 所以P(ξ=k)=C××=C×(k=0,1,2,3,4),故ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 4 P 4.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的
16、概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響. (1)假設(shè)這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標(biāo)的概率; (2)假設(shè)這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)的概率; (3)假設(shè)這名射手射擊3次,每次射擊擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,在3次射擊中,若有2次連續(xù)擊中,而另外1次未擊中,則額外加1分;若3次全擊中,則額外加3分,記ξ為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù),求ξ的概率分布. 解:(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù), 則X~B.在5次射擊中,恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X=2)=C××=. (2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在5次射擊
17、中,有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A, 則P(A)=P(A1A2A3)+P(A2A3A4)+P(A3A4 A5)=×+××+×=. (3)由題意可知,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6, P(ξ=0)=P( )==, P(ξ=1)=P(A1 )+P(A2)+P( A3) =×+××+×=. P(ξ=2)=P(A1A3)=××=, P(ξ=3)=P(A1A2)+P(A2A3) =×+×=, P(ξ=6)=P(A1A2A3)==, 所以ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 3 6 P 5.(2019·江蘇省重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖
18、刺卷(九))某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),在該商場(chǎng)消費(fèi)的顧客按如下規(guī)則參加抽獎(jiǎng)活動(dòng): 當(dāng)日消費(fèi) 金額X(元) [500,1 000) [1 000,1 500) [1 500,+∞) 抽獎(jiǎng)次數(shù) 1 2 4 已知抽獎(jiǎng)箱中有9個(gè)大小和形狀完全相同的小球,其中4個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黑球(每次只能抽取1個(gè),且每位顧客抽取時(shí)不放回,抽取完畢后統(tǒng)一放回).若抽得紅球,獲獎(jiǎng)金10元;若抽得白球,獲獎(jiǎng)金20元;若抽得黑球,獲獎(jiǎng)金40元. (1)若某顧客在該商場(chǎng)當(dāng)日的消費(fèi)金額為2 000元,求該顧客獲得獎(jiǎng)金70元的概率; (2)若某顧客在該商場(chǎng)當(dāng)日的消費(fèi)金額為1 200元,獲得獎(jiǎng)金ξ元,
19、求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)因?yàn)閄=2 000,所以該顧客有4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì), 獲得獎(jiǎng)金70元有兩種情況:抽得3個(gè)紅球,1個(gè)黑球;抽得1個(gè)紅球,3個(gè)白球. 所以該顧客獲得獎(jiǎng)金70元的概率P==. (2)因?yàn)閄=1 200,所以該顧客有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì), 所以ξ的取值可能為20,30,40,50,60,80, P(ξ=20)==,P(ξ=30)==,P(ξ=40)==,P(ξ=50)==,P(ξ=60)==, P(ξ=80)==, 所以ξ的概率分布為 ξ 20 30 40 50 60 80 P 所以E(ξ)=20×+30×+40×+
20、50×+60×+80×=40. 6.(1)山水城市鎮(zhèn)江有“三山”——金山、焦山、北固山.一位游客游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這三個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望; (2)某城市有n(n為奇數(shù),n≥3)個(gè)景點(diǎn),一位游客游覽每個(gè)景點(diǎn)的概率都是0.5,且該游客是否游覽這n個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立,用ξ表示這位游客游覽的景點(diǎn)數(shù)和沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值,求ξ的數(shù)學(xué)期望. 解:(1)游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,1,2,3,ξ可能取值為:1,3. P(ξ=1)=C+C =2C=; P(ξ=3)=C+C=2C=. ξ的概率
21、分布為 ξ 1 3 P 所以E(ξ)=1×+3×=. (2)當(dāng)n=2k+1,k∈N*時(shí),游客游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為:0,1,2,…,2k+1. ξ可能取值為:1,3,5,…,2k+1. P(ξ=1)=C×+C×=2×C, P(ξ=3)=C×+C·×=2×C, P(ξ=2k+1)=C×+C·×=2×C, 所以E(ξ)=(2k+1-0)×2×C+[(2k+1-1)-1]×2×C+[(2k+1-2)-2]×2×C+…+[(2k+1-k)-k]×2×C=2×{[(2k+1)C+2kC+(2k-1)·C+…+(2k+1-k)C]-[0×C+1×C+2×C+…+kC]} =2×{[(2k+1)×C+2k×C+(2k-1)×C+…+(k+1)×C]-[0×C+1×C+…+kC]} 又iC=nC(i=1,2,3,…n), 所以E(ξ)=2×{(2k+1)×[C+C+…+C]-(2k+1)×[C+C+…+C]} =2××(2k+1)×[(C+C+…+C)-(C+C+…+C)] =2××(2k+1)×C=Cn-1. 故ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為Cn-1.
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