要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個擊破多點(diǎn)共線與多線共點(diǎn)的證明如圖,已知ABC的各頂點(diǎn)均在平面外,直線AB,AC,BC分別交平面于點(diǎn)P,Q,R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.(例1)思維引導(dǎo)根據(jù)公理2,選擇恰當(dāng)?shù)膬蓚€平面,只要證明R,Q,P三點(diǎn)都是某兩個平面的公共點(diǎn),即可證明三點(diǎn)在這兩個平面的交線上.證明設(shè)ABC確定了一個平面,因?yàn)辄c(diǎn)RBC,所以R.又R,所以R在平面和平面的交線上.同理,點(diǎn)P,Q也在平面和平面的交線上.而平面和平面的交線只有一條,故P,Q,R三點(diǎn)共線.精要點(diǎn)評(1) 證明點(diǎn)共線的方法:先考慮兩個平面的交線,再證明有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn);先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,再證明其他點(diǎn)也在這條直線上.(2) 公理的正確運(yùn)用,嚴(yán)密的邏輯推理過程,文字、符號、圖形語言的轉(zhuǎn)化是解立體幾何題的基本要求,也是高考考查的重點(diǎn).已知E,F,G,H分別為空間四邊形(四個頂點(diǎn)不共面的四邊形)ABCD各邊AB,AD,BC,CD上的點(diǎn),且直線EF和GH交于點(diǎn)P,求證:B,D,P在同一條直線上.(變式)證明因?yàn)镻EF,而EAB,FAD,所以EFÌ平面ABD,所以P平面ABD;同理,P平面BDC.所以點(diǎn)P在平面ABD與平面BDC的交線上.又因?yàn)槠矫鍭BD平面BDC=BD,所以PBD,即B,D,P在同一條直線上.點(diǎn)線共面的證明已知直線l與三條平行直線a,b,c都相交,求證:l與a,b,c共面.思維引導(dǎo)先由兩平行直線確定一個平面,再確定另一個平面,最后說明兩平面重合且直線l在三平行直線所確定的平面內(nèi)即可.(例2)證明如圖,因?yàn)閍b,所以直線a,b可確定一個平面.因?yàn)閎c,所以直線b,c可確定一個平面.因?yàn)锳a,Bb,Cc,且A,B,Cl,所以lÌ,lÌ,所以存在兩條相交直線b,l既在平面內(nèi)又在平面內(nèi),所以由公理3及推論知,平面,必重合,所以直線l與直線a,b,c共面.精要點(diǎn)評證明幾條線共面的方法:先由有關(guān)元素確定一個基本平面,再證其他的點(diǎn)(或線)在這個平面內(nèi);先由部分點(diǎn)線確定平面,再由其他點(diǎn)線確定平面,然后證明這些平面重合.求證:若不交于同一個點(diǎn)的四條直線兩兩相交,則這四條直線共面.證明若三直線l1,l2,l3交于一點(diǎn)A(如圖(1),則由點(diǎn)A與l4確定一個平面,A,B,ABÌ,l1Ì,同理可得l2Ì,l3Ì,所以l1,l2,l3,l4四線共面.圖(1)圖(2)(變式)若四直線無三線共點(diǎn),設(shè)兩直線l1,l2交于一點(diǎn)A(如圖(2),則l1,l2確定一個平面,則B,CÞl3Ì.同理,l4Ì,所以l1,l2,l3,l4四線共面.求異面直線所成的角(2014·全國卷)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),求異面直線CE與BD所成角的余弦值.(例3)解答設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF,CF,則EFBD,所以異面直線CE與BD所成的角是FEC或其補(bǔ)角.設(shè)正四面體ABCD的棱長為2a,則EF=a,CE=CF=a,由余弦定理可得cosCEF=.故異面直線CE與BD所成角的余弦值為.(2014·通城模擬)已知四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長都為,底面ABCD是邊長為2的正方形,求CD與PA所成角的余弦值.解答在正方形ABCD中,CDAB,所以PAB或其補(bǔ)角就是異面直線CD與PA所成的角.在PAB中,PA=PB=,AB=2,所以cosPAB=,故CD與PA所成角的余弦值為.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn).(范題賞析)(1) 求證:C1,O,M三點(diǎn)共線;(2) 求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面;(3) 求證:CE,D1F,DA三線共點(diǎn).規(guī)范答題(1) 因?yàn)镃1,O,M平面BDC1,點(diǎn)C1,O,M平面A1ACC1,由公理3知點(diǎn)C1,O,M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,(3分)所以C1,O,M三點(diǎn)共線.(4分)(2) 連接A1B,CD1.因?yàn)镋,F分別是AB,A1A的中點(diǎn),所以EFA1B.(6分)因?yàn)锳1BCD1,所以EFCD1,所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(8分)(3) 由(2)可知,E,C,D1,F四點(diǎn)共面.又EF=A1B,所以D1F,CE為相交直線,設(shè)交點(diǎn)為P, (10分)則PD1FÌ平面ADD1A1,PCEÌ平面ADCB.(12分)又平面ADD1A1平面ADCB=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三線共點(diǎn).(14分)1. 如果a,b是異面直線,b,c也是異面直線,那么直線a與c的位置是.答案平行、相交或異面解析事實(shí)上,直線a與c的位置關(guān)系是不確定的.2. 若lm=Æ,則直線l與m的位置關(guān)系是.答案平行或異面3. (2014·南安模擬)下列圖形中不一定是平面圖形的是.(填序號)三角形; 四邊相等的四邊形; 梯形; 平行四邊形.答案解析根據(jù)確定平面的公理以及推論知中的圖形是平面圖形,根據(jù)空間四邊形知四邊相等的四邊形不一定是平面圖形.注意在立體幾何中的四邊形不一定是平面圖形,也可構(gòu)成幾何體即三棱錐.4. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),E1,F1分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求證:EFE1F1.(第4題)證明連接AC,則在三角形ABC中,因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以EFAC.同理,在A1B1C1中,E1F1A1C1.又因?yàn)锳A1BB1,CC1BB1,且AA1=BB1,CC1=BB1,所以四邊形AA1C1C是平行四邊形,所以ACA1C1.所以E1F1AC,所以EFE1F1.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第97-98頁).