【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】（江蘇專用）2016高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第二部分 考前增分指導(dǎo)一 融會(huì)貫通5大解題技巧，又快又準(zhǔn)解決高考填空題 理技巧巧解填空題的5大妙招題型概述解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫填空題的基本特點(diǎn)是：(1)具有考查目標(biāo)集中、跨度大、知識(shí)覆蓋面廣、形式靈活、答案簡(jiǎn)短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結(jié)論等特點(diǎn)；(2)填空題與選擇題有質(zhì)的區(qū)別：填空題沒有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)不受誘誤干擾，但同時(shí)也缺乏提示；填空題的結(jié)構(gòu)往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活；(3)從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系由于填空題缺少選項(xiàng)的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或填寫給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)等方法一直接法對(duì)于計(jì)算型的試題，多通過直接計(jì)算求得結(jié)果，這是解決填空題的基本方法它是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法解決問題【例1】 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若PF1PF26a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為_解析設(shè)P點(diǎn)在雙曲線右支上，由題意得故PF14a，PF22a，由條件得PF1F230°，由，得sin PF2F11，PF2F190°，在RtPF2F1中，2c2a，e.答案探究提高直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵【訓(xùn)練1】 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_解析由已知Snan.當(dāng)n1時(shí)，S1a1，解a11；當(dāng)n2時(shí)，Sn1an1.整理，得an2an1，即2.因此an為a11，公比q2的等比數(shù)列，ana1qn1(2)n1.答案(2)n1方法二特殊值法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論【例2】 若f(x)a是奇函數(shù)，則a_解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且1，1是其定域內(nèi)的值，所以f(1)f(1)，而f(1)a，f(1)aa.故a，解得a.答案探究提高求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解【訓(xùn)練2】 如圖，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若，則_解析由題意可知，的值與點(diǎn)P、Q的位置無關(guān)，而當(dāng)直線PQ與直線BC重合時(shí)，則有1，所以2.答案2方法三圖象分析法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，往往能迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果韋恩圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形【例3】 (2015·湖北卷)函數(shù)f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x·|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)ysin 2x與函數(shù)y|ln(x1)|的大致圖象如圖所示觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)答案2探究提高圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果【訓(xùn)練3】 已知，是三次函數(shù)f(x)x3ax22bx(a，bR)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且(0，1)，(1，2)，則的取值范圍是_解析f(x)x2ax2b(a，bR)，由題意知，是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由(0，1)，(1，2)及二次函數(shù)圖象的特征，可知即整理得畫出可行域，如圖(陰影部分，不包括邊界)，表示連接可行域內(nèi)一點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)D(1，2)的直線的斜率k，又A(3，1)，B(2，0)，C(1，0)，則kAD，kCD1，由圖可知kADkkCD，則的取值范圍為.故填.答案方法四構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決【例4】 如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_解析如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑，所以|CD|2R，所以R，故球O的體積V.答案探究提高構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問題很容易得到解決【訓(xùn)練4】 已知aln ，bln ，cln ，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析令f(x)ln xx，則f(x)1.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)在(0，1)上是增函數(shù)10，abc.答案abc方法五綜合分析法對(duì)于開放性的填空題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件的特征綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行觀察、分析，從而得出正確的結(jié)論【例5】 定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)f(2x)，在區(qū)間1，2上是減函數(shù)關(guān)于函數(shù)f(x)有下列結(jié)論：圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；最小正周期是2；在區(qū)間2，1上是減函數(shù)；在區(qū)間1，0上是增函數(shù)其中正確結(jié)論的序號(hào)是_(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)解析由f(x)f(2x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故正確；又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，而圖象又關(guān)于直線x1對(duì)稱，故函數(shù)f(x)必是一個(gè)周期函數(shù)，其最小正周期為4×(10)4，故不正確；因?yàn)槠婧瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性是相同的，且f(x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，所以其在區(qū)間2，1上也是減函數(shù)，故正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱，在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，而函數(shù)在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性是相反的，故函數(shù)在區(qū)間0，1上為增函數(shù)，又由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，0上是增函數(shù)，故正確所以正確的結(jié)論有.故填.答案探究提高對(duì)于規(guī)律總結(jié)類與綜合型的填空題，應(yīng)從題設(shè)條件出發(fā)，通過逐步計(jì)算、分析總結(jié)探究其規(guī)律，對(duì)于多選型的問題更要注重分析推導(dǎo)的過程，以防多選或漏選做好此類題目要深刻理解題意，捕捉題目中的隱含信息，通過聯(lián)想、歸納、概括、抽象等多種手段獲得結(jié)論【訓(xùn)練5】 已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，有f(x1)f(x)，且當(dāng)x0，1)時(shí)，f(x)log2(x1)，給出下列命題：f(2 013)f(2 014)的值為0；函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；直線yx與函數(shù)f(x)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，1)其中正確命題的序號(hào)有_解析對(duì)于，當(dāng)x0時(shí)，有f(x2)f(x1)f(x)，f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(2×1 0061)f(2×1 007)f(1)f(0)0，因此正確；對(duì)于，注意到fflog2 ，fffflog2，因此ff，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期為2的周期函數(shù)，不正確；對(duì)于，注意到當(dāng)x1，2)時(shí)，x10，1)，f(x)f(x1)log2x；當(dāng)x0時(shí)，f(x2)f(x)，在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)與直線yx的大致圖象，結(jié)合圖象可知，它們的公共點(diǎn)只有1個(gè)，因此正確；對(duì)于，當(dāng)x0，1)時(shí)，f(x)log2(x1)的值域是0，1)；當(dāng)x1，2)時(shí)，f(x)log2x的值域是(1，0，因此函數(shù)yf(x)的值域是(1，1)，正確綜上所述，其中正確命題的序號(hào)有.答案1解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對(duì)于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果2解填空題不要求求解過程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：(1)要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確；(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；(3)要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn)