第66練 高考大題突破練立體幾何基礎(chǔ)保分練1.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，點(diǎn)M在棱PD上，AMPD，點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn)，求證：(1) MN平面PAB；(2) AM平面PCD.2.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90°，BFFC，H為BC的中點(diǎn)(1)求證：FH平面EDB；(2)求證：AC平面EDB.3.如圖，已知正四棱錐PABCD中，PAAB2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且.(1)求異面直線MN與PC所成角的大?。?2)求二面角NPCB的余弦值能力提升練4.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACBDA1C1B1D1中，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(1)證明：AB平面A1B1C；(2)若點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，求二面角MA1B1C的余弦值；(3)判斷點(diǎn)M到平面A1B1C的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由答案精析1證明(1)因?yàn)樵赑AD中，APAD，AMPD，所以點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn)又點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn)，所以MN是PDC的中位線，所以MNDC.因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以ABDC，所以MNAB.又AB平面PAB, MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD, CD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD.又AM平面PAD，所以CDAM.因?yàn)镻DAM，CDAM, CDPDD，CD平面PCD，PD平面PCD，所以AM平面PCD.2證明(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，連結(jié)GE，GH，如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，令BH1，則A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1，0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(0，1,0)，(0,0,1), 又(0,0,1)，GE平面EDB，HF平面EDB，F(xiàn)H平面EDB.(2)(2,2,0)，(0,0,1)，·0，ACGE.又ACBD，且GE平面EDB，BD平面EDB，GEBDG，AC平面EDB.3解(1)設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，在正四棱錐PABCD中，OP平面ABCD，又PAAB2，所以O(shè)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖則A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)，(1,1，)故，所以，(1,1，)，所以cos，所以異面直線MN與PC所成角的大小為.(2)由(1)知(1,1，)，(2,0,0)，.設(shè)m(x，y，z)是平面PCB的法向量，則m·0，m·0，可得令y，則z1，即m(0，1)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，則n·0，n·0，可得令x12，則y14，z1，即n(2,4，)，所以cosm，n，則二面角NPCB的余弦值為.4(1)證明在正方體ACBDA1C1B1D1中，ABA1B1，A1B1平面A1B1C，AB平面A1B1C，AB平面A1B1C.(2)解在正方體ACBDA1C1B1D1中，CB，CA，CC1兩兩互相垂直，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz如圖所示，則M(1,1,0)，A1(0,2,2)，B1(2,0,2)，C(0，0,0)，(1,1,2)，(1，1,2)，(2,0,2)，(0,2,2)，設(shè)向量n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分別為平面MA1B1和平面CA1B1的法向量，由取x11，則y11，z10，n1(1,1,0)同理取x21，則y21，z21，n2(1，1,1)，cosn1，n2，又二面角MA1B1C的平面角為銳角，二面角MA1B1C的余弦值為.(3)解由(1)知AB平面A1B1C且M在AB上，點(diǎn)M到平面A1B1C的距離等于AB上任意一點(diǎn)到平面A1B1C的距離，取點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，結(jié)合(2)和點(diǎn)M到平面A1B1C的距離d.點(diǎn)M到平面A1B1C的距離為定值.