(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時(shí) 專題8 立體幾何 第66練 高考大題突破練—立體幾何 理(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
第66練 高考大題突破練立體幾何基礎(chǔ)保分練1.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,APAD,點(diǎn)M在棱PD上,AMPD,點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn),求證:(1) MN平面PAB;(2) AM平面PCD.2.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB2EF,BFC90°,BFFC,H為BC的中點(diǎn)(1)求證:FH平面EDB;(2)求證:AC平面EDB.3.如圖,已知正四棱錐PABCD中,PAAB2,點(diǎn)M,N分別在PA,BD上,且.(1)求異面直線MN與PC所成角的大?。?2)求二面角NPCB的余弦值能力提升練4.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ACBDA1C1B1D1中,M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(1)證明:AB平面A1B1C;(2)若點(diǎn)M是AB中點(diǎn),求二面角MA1B1C的余弦值;(3)判斷點(diǎn)M到平面A1B1C的距離是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由答案精析1證明(1)因?yàn)樵赑AD中,APAD,AMPD,所以點(diǎn)M是棱PD的中點(diǎn)又點(diǎn)N是棱PC的中點(diǎn),所以MN是PDC的中位線,所以MNDC.因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以ABDC,所以MNAB.又AB平面PAB, MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD, CD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CDAD,所以CD平面PAD.又AM平面PAD,所以CDAM.因?yàn)镻DAM,CDAM, CDPDD,CD平面PCD,PD平面PCD,所以AM平面PCD.2證明(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連結(jié)GE,GH,如圖,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,令BH1,則A(1,2,0),B(1,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(xiàn)(0,0,1),G(0,1,0),(0,0,1), 又(0,0,1),GE平面EDB,HF平面EDB,F(xiàn)H平面EDB.(2)(2,2,0),(0,0,1),·0,ACGE.又ACBD,且GE平面EDB,BD平面EDB,GEBDG,AC平面EDB.3解(1)設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,在正四棱錐PABCD中,OP平面ABCD,又PAAB2,所以O(shè)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖則A(1,1,0),B(1,1,0),C(1,1,0),D(1,1,0),P(0,0,),(1,1,)故,所以,(1,1,),所以cos,所以異面直線MN與PC所成角的大小為.(2)由(1)知(1,1,),(2,0,0),.設(shè)m(x,y,z)是平面PCB的法向量,則m·0,m·0,可得令y,則z1,即m(0,1)設(shè)n(x1,y1,z1)是平面PCN的法向量,則n·0,n·0,可得令x12,則y14,z1,即n(2,4,),所以cosm,n,則二面角NPCB的余弦值為.4(1)證明在正方體ACBDA1C1B1D1中,ABA1B1,A1B1平面A1B1C,AB平面A1B1C,AB平面A1B1C.(2)解在正方體ACBDA1C1B1D1中,CB,CA,CC1兩兩互相垂直,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CA,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz如圖所示,則M(1,1,0),A1(0,2,2),B1(2,0,2),C(0,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(2,0,2),(0,2,2),設(shè)向量n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2)分別為平面MA1B1和平面CA1B1的法向量,由取x11,則y11,z10,n1(1,1,0)同理取x21,則y21,z21,n2(1,1,1),cosn1,n2,又二面角MA1B1C的平面角為銳角,二面角MA1B1C的余弦值為.(3)解由(1)知AB平面A1B1C且M在AB上,點(diǎn)M到平面A1B1C的距離等于AB上任意一點(diǎn)到平面A1B1C的距離,取點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),結(jié)合(2)和點(diǎn)M到平面A1B1C的距離d.點(diǎn)M到平面A1B1C的距離為定值.