小題分層練(一)　本科闖關練(1) (建議用時：50分鐘) 1．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，則A∪B＝________． 2．設i是虛數(shù)單位，復數(shù)i3＋＝________． 3．(2019·徐州調研)高三(3)班共有學生56人，座號分別為1，2，3，…，56，現(xiàn)根據座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本．已知3號、17號、45號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是________． 4．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sin α＝，則sin β＝________． 5．擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于________． 6．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程為________． 7．閱讀如下流程圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為________． 8．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，則下列說法正確的序號是________． ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m⊥α，n?α，則m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ④若m∥α，m⊥n，則n⊥α. 9．已知函數(shù)f＝若≥ax恒成立，則a的取值范圍為__________． 10．已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且a2＋b2＝c2＋ab，4sin Asin B＝3，則tan ＋tan ＋tan ＝________． 11．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為________． 12．已知側棱與底面垂直的三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，該三棱柱存在一個與上、下底面及所有側面都相切的內切球，則該三棱柱的外接球與內切球的半徑之比為________． 13．已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前5項積為243，且2a3為3a2和a4的等差中項．若數(shù)列{bn}滿足bn＝bn－1·log3an＋2(n≥2且n∈N*)，且b1＝1，則bn＝________． 14．若f(x)＝x3－3x＋m有且只有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 小題分層練(一) 1．解析：根據并集的概念可知A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x<3}＝{x|－1<x<3}＝(－1，3)． 答案：(－1，3) 2．解析：i3＋＝－i＋＝1. 答案：1 3．解析：抽取容量為4的樣本，則要將總體分為4組，每組有14人，由題意可知抽取的座號分別為3，17，31，45. 答案：31 4．解析：當角α的終邊在第一象限時，取角α終邊上一點P1(2，1)，其關于y軸的對稱點(－2，1)在角β的終邊上，此時sin β＝；當角α的終邊在第二象限時，取角α終邊上一點P2(－2，1)，其關于y軸的對稱點(2，1)在角β的終邊上，此時sin β＝.綜合可得sin β＝. 答案： 5．解析：擲兩顆均勻的骰子，一共有36種情況，點數(shù)之和為5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4種，所以點數(shù)之和為5的概率為＝. 答案： 6．解析：因為y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲線在點(0，－2)處的切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案：5x＋y＋2＝0 7．解析：初始值，S＝0，i＝1，接下來按如下運算進行： 第一次循環(huán)，S＝lg>－1，再次進入循環(huán)，此時i＝3； 第二次循環(huán)，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次進入循環(huán)，此時i＝5； 第三次循環(huán)，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次進入循環(huán)，此時i＝7； 第四次循環(huán)，S＝lg＋lg＝lg>－1，再次進入循環(huán)，此時i＝9； 第五次循環(huán)，S＝lg＋lg＝lg<－1，退出循環(huán)，此時i＝9. 答案：9 8．解析：由題可知，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或異面，所以①錯誤；若m⊥α，n?α，則m⊥n，故②正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故③錯誤；若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n與α相交，故④錯誤． 答案：② 9．解析：由題意可作出函數(shù)y＝的圖象和函數(shù)y＝ax的圖象， 由圖象可知，函數(shù)y＝ax的圖象為過原點的直線，直線l為曲線的切線，當直線介于l和x軸之間時符合題意，且此時函數(shù)y＝在第二象限的部分解析式為y＝x2－2x，求其導數(shù)可得y′＝2x－2，因為x＝0，故y′＝－2，故直線l的斜率為－2，故只需直線y＝ax的斜率a介于－2與0之間即可，即a∈，故答案為. 答案：[－2，0] 10．解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又a2＋b2＝c2＋ab，則2abcos C＝ab，cos C＝，sin C＝，又4sin A·sin B＝3，因此sin Asin B＝sin2C，ab＝c2，a2＋b2－ab＝ab，a＝b＝c，A＝B＝C＝60°，故tan ＋tan ＋tan ＝. 答案： 11.解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω(如圖陰影部分所示，含邊界)，圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1的圓心為(a，b)，半徑為1.由圓C與x軸相切，得b＝1.解方程組得即直線x＋y－7＝0與直線y＝1的交點坐標為(6，1)，設此點為P.又點C∈Ω，則當點C與P重合時，a取得最大值， 所以，a2＋b2的最大值為62＋12＝37. 答案：37 12．解析：由題意知，三棱柱的內切球的半徑r等于底面內切圓的半徑，即r＝×2＝1，此時三棱柱的高為2r＝2，底面外接圓的半徑為2×＝2，所以三棱柱的外接球的半徑R＝＝.所以該三棱柱的外接球與內切球的半徑之比為＝∶1. 答案：∶1 13．解析：由前5項積為243得a3＝3.設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，由2a3為3a2和a4的等差中項，得3×＋3q＝4×3，由公比不為1，解得q＝3，所以an＝3n－2.由bn＝bn－1·log3an＋2＝bn－1·n(n≥2)，得bn＝··…··b1＝n×(n－1)×…×2×1＝n！(n≥2)，n＝1時也滿足，則bn＝n！. 答案：n! 14．解析：記g(x)＝x3－3x，則g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)·(x－1)，當x＜－1或x＞1時，g′(x)＞0；當－1＜x＜1時，g′(x)＜0.因此函數(shù)g(x)＝x3－3x在區(qū)間(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調遞增，在區(qū)間(－1，1)上單調遞減，且g(－1)＝2，g(1)＝－2，所以當x→－∞時，g(x)→－∞；當x→＋∞時，g(x)→＋∞.在坐標平面內畫出直線y＝－m與函數(shù)g(x)＝x3－3x的大致圖象(圖略)，結合圖象可知，當且僅當－m＜－2或－m＞2，即m＞2或m＜－2時，直線y＝－m與函數(shù)g(x)＝x3－3x的圖象有唯一公共點．因此，當函數(shù)f(x)有且只有一個零點時，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)