第83練 古典概型與幾何概型 基礎(chǔ)保分練1.高三畢業(yè)時(shí)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為_.2.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為_.3.(2018·蘇州市第五中學(xué)期初)從集合1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a，從集合2,3,4中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)b，則b>a的概率是_.4.隨機(jī)從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)，取出的恰好都為偶數(shù)的概率為_.5.(2018·蘇州模擬)在區(qū)間5,5內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)a，則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2axa2<0的一個(gè)解的概率為_.6.(2018·如東調(diào)研)在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則cosx的值介于0到之間的概率為_.7.如圖所示，A是圓O上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A，連結(jié)AA，它是一條弦，它的長度大于或等于半徑的概率為_.8.一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為4的正方體玻璃箱內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與玻璃箱的六個(gè)面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_.9.(2018·南通調(diào)研)某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計(jì)和機(jī)器人制作4個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇2個(gè)，則數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的概率為_.10.歐陽修賣油翁中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕.可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.已知銅錢的形狀是直徑為3cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計(jì))正好落入孔中的概率是_.能力提升練1.將一顆骰子拋擲兩次，用m表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則m10的概率為_.2.(2018·常州模擬)函數(shù)f(x)的定義域記作集合D，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2，6)，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t，則事件“tD”的概率為_.3.在圓的一條直徑上任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦，則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為_.4.從區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)選三個(gè)數(shù)x，y，z，若滿足x2y2z2>1，則記參數(shù)t1，否則t0，在進(jìn)行1000次重復(fù)試驗(yàn)后，累計(jì)所有參數(shù)的和為477，由此估算圓周率的值應(yīng)為_.5.從1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)，從而組成不同的二次函數(shù)，其中使二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為_.6.假設(shè)在5秒內(nèi)的任何時(shí)刻，兩條不相關(guān)的短信機(jī)會(huì)均等地進(jìn)入同一部手機(jī)，若這兩條短信進(jìn)入手機(jī)的時(shí)間之差小于2秒，手機(jī)就會(huì)受到干擾，則手機(jī)受到干擾的概率為_.答案精析基礎(chǔ)保分練1.解析4人排成一排，其中甲、乙相鄰的情況有12種：(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲).其中甲、丙相鄰的情況只有4種，所求概率P.2.解析如圖所示，在正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P.3.解析從集合1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a，有5種方法；從集合2,3,4中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)b，有3種方法，共有5×315種方法，其中b>a有1236種方法，因此b>a的概率是.4.解析由題意得，從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)的所有可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，其中取出的恰好都為偶數(shù)的情況只有(2,4)一種，故所求概率為P.5.0.7解析由已知得，當(dāng)x1時(shí)，原不等式成立，即2aa2<0，解得a>2或a<1，所以當(dāng)a5，1)(2,5時(shí)，1是關(guān)于x的不等式2x2axa2<0的一個(gè)解.故所求概率P0.7.6.解析若cosx，x，則利用三角函數(shù)的性質(zhì)解得x.在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)是等可能的，結(jié)合幾何概型是概率公式可得，所求概率P.7.解析如圖所示，當(dāng)AA長度等于半徑R時(shí)，A位于點(diǎn)B或點(diǎn)C處，此時(shí)BOC120°，則優(yōu)弧BC的長為R，所求概率P.8.解析根據(jù)幾何概型可知，所求概率P.9.解析從4個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇2個(gè)，有6種選法，其中數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的選法有3種，所以概率為.10.解析根據(jù)幾何概型可知，所求概率P.能力提升練1.解析將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，用m表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則基本事件總數(shù)n6×636，事件“m10”包含的基本事件有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6個(gè)，事件“m10”的概率P.2.解析要使函數(shù)f(x)有意義，則lnx0且x>0，即x>0且x1，即D(0,1)(1，)，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t，則t1,2,3,4,5,6，則事件“tD”的概率為P.3.解析如圖所示，設(shè)圓的半徑為r，圓心為O，AB為圓的一條直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為M.若CD為圓內(nèi)接正三角形的一條邊，則O到CD的距離為.設(shè)EF為與CD平行且到圓心O的距離為的弦，交直徑AB于點(diǎn)N.易知當(dāng)過AB上的點(diǎn)且垂直于AB的弦的長度超過CD時(shí)，該點(diǎn)在線段MN上移動(dòng)，所以所求概率P.4.3.138解析由題意，1××13，3.138.5.解析首先取a，a0，a的取法有3種，再取b，b的取法有3種，最后取c，c的取法有2種，樹形圖如圖所示：組成不同的二次函數(shù)共有3×3×218(個(gè)).若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則不論a>0還是a<0，均應(yīng)有>0，即b24ac>0，b2>4ac.結(jié)合樹形圖可得，滿足b2>4ac的取法有64414(種)，所求概率P.6.解析分別設(shè)兩個(gè)互相獨(dú)立的短信收到的時(shí)間為x，y.則所有事件集可表示為0x5,0y5.由題目得，如果手機(jī)受到干擾的事件發(fā)生，必有|xy|2.三個(gè)不等式聯(lián)立，則該事件即為xy2和yx2在0x5,0y5的正方形中圍起來的圖形，即圖中陰影區(qū)域，而所有事件的集合即為正方形面積5225，陰影部分的面積為252×(52)216，所以陰影區(qū)域面積和正方形面積比值即為手機(jī)受到干擾的概率為.