第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1如圖48­5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為.圖48­5(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：ykxm(k0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且ABAC，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172267】解(1)由條件知橢圓1(a>b>0)的離心率為e，所以b2a2c2a2.又點(diǎn)A(2,1)在橢圓1(a>b>0)上，所以1，解得所以，所求橢圓的方程為1.(2)將ykxm(k0)代入橢圓方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由線段BC被y軸平分，得xBxC0，因?yàn)閗0，所以m0.因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因?yàn)锳BAC，A(2,1)，所以·(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k±.由于k時(shí)，直線yx過點(diǎn)A(2,1)，故k不符合題設(shè)所以，此時(shí)直線l的方程為yx. 2已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由條件可得a2，c，b1，故橢圓C的方程x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.設(shè)OAB的面積為S，由x1x2<0，知S(|x1|x2|)|x1x2|2，令k23t，知t3，S2，對(duì)函數(shù)yt(t3)，知y1>0，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0<，S.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)P，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，記ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值；若直線l的斜率為，試探究OA2OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172268】解(1)1，得a24，b23.所以橢圓C：1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy1，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化簡(jiǎn)得(3m24)y26my90，易知>0，所以y1y2，y1y2，所以kAP·kBP···，所以tkAB·kAP·kBP2，所以當(dāng)m時(shí)，t有最大值.設(shè)直線l的方程為yxn，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)24×3(2n26)>0，即<n<.x1x2，x1x2，OA2OB2xyxy(xx)(yy)xx22(xx)n(x1x2)2n2(x1x2)2x1x2n(x1x2)2n22n2n27.所以當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，OA2OB2為定值7.2(2017·泰州期末)如圖48­6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2y24，橢圓C：y21，A為橢圓右頂點(diǎn)過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.圖48­6(1)求k1k2的值；(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，說明理由；(3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q.解(1)設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，y0)，y1，A(2,0)，所以k1k2·.(2)聯(lián)立得(1k)x24kx4(k1)0，解得xp，ypk1(xp2)，聯(lián)立得(14k)x216kx4(4k1)0，解得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常數(shù)，使得kPQkBC.(3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，Q，則kAQk2，所以直線AC必過點(diǎn)Q.當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為：y，聯(lián)立，解得xQ，yQ，所以kAQk2，故直線AC必過點(diǎn)Q.