第47課 橢圓的方程及幾何性質(zhì)最新考綱內(nèi)容要求ABC中心在坐標(biāo)原點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距(2)集合PM|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當(dāng)2a>F1F2時，M點的軌跡為橢圓；當(dāng)2aF1F2時，M點的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<F1F2時，M點的軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是_1橢圓的焦點在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.3(2015·廣東高考改編)已知橢圓1(m>0)的左焦點為F1(4,0)，則m_.3由左焦點為F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m>0，故m3.4(2016·全國卷改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為_如圖，OB為橢圓中心到l的距離，則OA·OFAF·OB，即bca·，所以e.5橢圓1的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A，B，當(dāng)FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_3直線xm過右焦點(1,0)時，F(xiàn)AB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a8，即a2，此時，AB2×3，SFAB×2×33.橢圓的定義及應(yīng)用(1)如圖47­1所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是_(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且.若PF1F2的面積為9，則b_.圖47­1(1)橢圓(2)3(1)由條件知PMPF.POPFPOPMOMR>OF.P點的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點的橢圓(2)由定義，PF1PF22a，且，PFPFF1F4c2，(PF1PF2)22PF1·PF24c2，2PF1·PF24a24c24b2，PF1·PF22b2.SPF1F2PF1·PF2×2b29，因此b3.規(guī)律方法(1)利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>F1F2這一條件(2)當(dāng)涉及到焦點三角形有關(guān)的計算或證明時，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意PF1PF2與PF1·PF2的整體代換變式訓(xùn)練1與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172260】1設(shè)動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有PC1r1，PC29r.所以PC1PC210>C1C2，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點P的軌跡方程為1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為_(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為_(1)y21或1(2)1(1)若焦點在x軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)，橢圓過P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程為y21.若焦點在y軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點P(3,0)1，即b3.又2a3×2b，a9.方程為1.所求橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0且mn)橢圓經(jīng)過點P1，P2，點P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.規(guī)律方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A>0，B>0，AB)的形式變式訓(xùn)練2(1)過點(，)，且與橢圓1有相同焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點若AF13F1B，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(1)1(2)x21(1)法一：橢圓1的焦點為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)所求橢圓方程為1(k<9)，將點(，)的坐標(biāo)代入可得1，解得k5(k21舍去)，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)點A在點B上方，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由AF13F1B，可得13，故即代入橢圓方程可得b21，得b2，故橢圓方程為x21.橢圓的幾何性質(zhì)(1)(2016·江蘇高考)如圖47­2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(a>b>0)的右焦點，直線y與橢圓交于B，C兩點，且BFC90°，則該橢圓的離心率是 _.圖47­2(2)橢圓1上有兩個動點P，Q，E(3,0)，EPEQ，則·的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172261】(1)(2)6(1)將y代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得1，所以x±a，故B，C.又因為F(c,0)，所以，.因為BFC90°，所以·0，所以20，即c2a2b20，將b2a2c2代入并化簡，得a2c2，所以e2，所以e(負值舍去)(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(m，n)，則1，所以PE，因為6m6，所以PE的最小值為，所以··()·，所以·的最小值為6.規(guī)律方法1.求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解2利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系變式訓(xùn)練3(1)已知直線xt與橢圓1交于P，Q兩點若點F為該橢圓的左焦點，則使·取得最小值時，t的值為_(2)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點，若AFBF4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是_(1)(2)易知橢圓的左焦點F(4,0)根據(jù)對稱性可設(shè)P(t，y0)，Q(t，y0)，則(t4，y0)，(t4，y0)，所以·(t4，y0)·(t4，y0)(t4)2y.又因為y99t2，所以·(t4)2yt28t169t2t28t7，所以當(dāng)t時，·取得最小值(2)左焦點F0，連結(jié)F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形AFBF4，AFAF04，a2.設(shè)M(0，b)，則，1b<2.離心率e.思想與方法1橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況2求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法當(dāng)橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，設(shè)方程為1(m>0，n>0，且mn)可以避免討論和煩瑣的計算，也可以設(shè)為Ax2By21(A>0，B>0，且AB)，這種形式在解題中更簡便3討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，常用方法：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解易錯與防范1判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小2注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1(a>b>0)上點的坐標(biāo)為P(x，y)時，則|x|a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽視而導(dǎo)致求最值錯誤的原因3橢圓上任意一點M到焦點F的最大距離為ac，最小距離為ac.課時分層訓(xùn)練(四十七)A組基礎(chǔ)達標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、填空題1(2017·徐州模擬)若方程1表示一個橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為_(2,4)(4,6)由題意可知解得2<m<6且m4.2已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e，則橢圓E的方程為_1設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由e，即，得a2c，則b2a2c23c2.所以橢圓方程可化為1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c24，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.3已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172262】4由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得BABFCACF2a，所以ABC的周長為BABCCABABFCFCA(BABF)(CFCA)2a2a4a4.4(2017·泰州模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結(jié)AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，則C的離心率為_如圖，設(shè)AFx，則cosABF.解得x6，AFB90°，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知AF18，F(xiàn)AF1FABFBA90°，F(xiàn)AF1是直角三角形，F(xiàn)1F10，故2a8614,2c10，.5已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是_橢圓點P在線段AN的垂直平分線上，故PAPN，又AM是圓的半徑，所以PMPNPMPAAM6>MN，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓6橢圓1的左焦點為F1，點P在橢圓上，若線段PF1的中點M在y軸上，則PF1_.因線段PF1的中點M在y軸上，故可知P，即P，所以PF110.7已知橢圓1(a>b>0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172263】(5,0)因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，所以c3.又b4，所以a5.因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(5,0)8已知圓M：x2y22mx30(m<0)的半徑為2，橢圓C：1的左焦點為F(c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為_2圓M的方程可化為(xm)2y23m2，則由題意得m234，即m21(m<0)，所以m1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0)由題意知直線l的方程為xc，又因為直線l與圓M相切，所以c1，所以a231，所以a2.9若m0，則橢圓1的離心率的取值范圍是_因為橢圓方程中m>0，m212m>m(m>0)，所以a2m21，b2m，c2a2b2m2m1，e2111，所以e<1.10若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，若P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為_6由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x1，y)，·x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，·x2x3(x2)22.2x2，當(dāng)x2時，·有最大值6.二、解答題11(2017·蘇州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C過點(0,2)，其焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點P在橢圓C上，且PF14，求PF1F2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：62172264】解(1)由題意可知，c，b2，所以a2b2c29，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一：由(1)可知，F(xiàn)1F22，PF1PF26，又PF14，所以PF22，所以PFPFF1F，所以PF1PF2，所以PF1F2的面積為×PF1·PF24.法二：由(1)可知e，設(shè)P(x0，y0)，因為PF14，所以3x04，解得x0，代入方程得1，解得|y0|，所以PF1F2的面積為×2×4.12已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(2,0)，且長軸與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點當(dāng)PM最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知解得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)P(x0，y0)，且1，所以PM2(x0m)2yx2mx0m212x2mx0m212(x04m)23m212(4x04)所以PM2為關(guān)于x0的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x04m.由題意知，當(dāng)x04時，PM2最小，所以4m4，所以m1.又點M(m,0)在橢圓長軸上，所以1m4.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1已知橢圓1(a>b>0)與1(m>0，n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率為_因為橢圓1(a>b>0)與1(m>0，n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2，因為c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化為，所以e.2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則PMPF1的最大值為_15PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M點在橢圓外，連結(jié)MF2并延長交橢圓于P點(圖略)，此時PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值為10MF21015.3已知點M(，)在橢圓C：1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2)，求PAB的面積解(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，則x0m，y0x0mm，即D.因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此時x1x23，x1x20，則|AB|x1x2|·3.又點P到直線l：xy20的距離為d，所以PAB的面積為S|AB|·d.4(2017·蘇州模擬)已知橢圓C1：1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2(y3)21的一條直徑，在y軸上截距為3的直線l與AF平行且與圓C2相切(1)求橢圓C1的離心率；(2)若橢圓C1的短軸長為8，求·的最大值解(1)由題意，得F(c,0)，A(0，b)，kAF，在y軸上截距為3的直線l與AF平行，直線l：yx3，即bxcy(3)c0.直線l與圓C2相切，1，1，e，(2)橢圓C1的短軸長為8，2b8，b4.a2b2c2，1，ac,2c2b2c2，cb4，a4，橢圓方程是1，設(shè)P(x，y)，·(2)·()()2·()·()2·x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249，又y4,4，·的最大值是49.